L'objet de ce travail est l'étude des points tournants dégénérés. Nous considèrerons des équations différentielles réelles, du premier ordre, singulièrement perturbées à un paramètre réel et admettant une telle singularité. En nous plaçant dans les hypothèses d'apparition de solutions (de type) "vrai canard", nous donnerons alors à cette équation une forme, dite préparée, plus adaptée au travail que nous effectuerons.<br />Nous montrerons ensuite, pour une classe générale d'équations de ce type, l'existence de solutions "canard". À la suite de quoi, nous étudierons asymptotiquement ces solutions à travers la mise en place d'un cadre formel général. La correspondance ainsi mise en place nous permettra d'implémenter le développement asymptotique en puissances du petit paramètre de perturbation de ces solutions.

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Le but de cette thèse est de fournir des moyens de calcul et de visualisation d'objets mathématiques issus de l'analyse complexe. Dans ce cadre, de nombreux problèmes d'origine mathématique empêchent d'utiliser les nombres complexes aussi naturellement que les nombres réels : indéterminations dans les calculs, nombre élevé de dimensions empêchant les méthodes naïves de visualisation, phénomènes multiformes. Au niveau calcul, quelques méthodes ont été étudiées, menant à la définition d'un modèle de programmation permettant de gérer les indéterminations. Au niveau visualisation, des méthodes adaptées aux objets mathématiques complexes ont été mises au point, en particulier dans le cadre des solutions d'équations différentielles complexes. Toutes ces méthodes (calcul, visualisation) ont été implémentées sous forme de modules dans un environnement commun permettant le prototypage rapide d'expériences, axées notamment sur un couplage entre calcul et visualisation. Les différentes applications présentées dans le document (intégration numérique d'équations différentielles avec des fonctions multiformes, visualisation de solutions d'équations différentielles complexes, visualisation de l'erreur globale estimée pendant une intégration) y ont été intégrées.

Nous utilisons la méthode d'équivalence de Cartan pour réaliser une étude géométrique des équations différentielles ordinaires du second ordre et du premier ordre, sous l'action des transformations ponctuelles préservant les aires dans le cas du second ordre et de certaines autres transformations dans le cas du premier. Cela nous permet de caractériser de manière invariante toutes les équations différentielles du second ordre se ramenant à y"=0. De plus nous associons à toute telle équation, une connexion de Cartan affine normale dont la courbure contient tous ses invariants. Dans le cas du premier ordre nous apportons un regard nouveau sur une étude de R. Liouville concernant l'équation différentielle d'Abel. Enfin dans un autre ordre d'idées nous réalisons une étude de certaines solutions algébriques de l'équation de Riccati. / Abstract

L'étude des systèmes aux équations différentielles ordinaires vise à prédire le futur des systèmes considérés. La connaissance de l'évolution dans le temps de toutes les variables d' état du modèle permet de prédire de possibles changements radicaux des variables ou des défaillances, par exemple, un moteur peut exploser, un pont peut s'écrouler, une voiture peut se mettre à consommer plus d'essence. De plus, les systèmes dynamiques peuvent contenir des dérivées spatiales et leur discrétisation peut ajouter un très grand nombre d'équations. La résolution des équations différentielles ordinaires est alors une étape essentielle dans la construction des systèmes physiques en terme de dimensionnement et de faisabilité. Le solveur de tels systèmes EDOs doit être rapide, précis et pertinent.En pratique, il n'est pas possible de trouver une fonction continue qui soit solution exacte du problème EDO. C'est pourquoi, des méthodes numériques sont utilisées afin de donner des solutions discrèes qui approchent la solution continue avec une erreur contrôlable. La gestion précise de ce contrôle est très importante afin d'obtenir une solution pertinente en un temps raisonnable.Cette thèse développe un nouveau solveur qui utilise plusieurs méthodes d'amélioration de la vitesse d'exécution des systèmes EDOs. La première méthode est l'utilisation d'un nouveau schéma numérique. Le but est de minimiser le coût de l'intégration en produisant une erreur qui soit le plus proche possible de la tolérance maximale permise par l'utilisateur du solveur. Une autre méthode pour améliorer la vitesse d'exécution est de paralléliser le solveur EDO en utilisant une architecture multicoeur et multiprocesseur. Enfin, le solveur a été testé avec différentes applications d'OpenModelica. / The study of systems of Ordinary Differential Equations aims at predicting the future of the considered systems. The access to the evolution of all states of a system's model allows us to predict possible drastic shifts of the states or failures, e.g. an engine blowing up, a bridge collapsin, a car consuming more gasoline etc. Solving ordinary differential equations is then an essential step of building industrial physical systems in regard to dimensioning and reliability. The solver of such ODE systems needs to be fast, accurate and relevant.In practice, it is not possible to find a continuous function as the exact solution of the real ODE problem. Consequently numerical methods are used to give discrete solutions which approximates the continuous one with a controllable error. The correct handline of this control is very important to get a relevant solution within an acceptable recovery time. Starting from existing studies of local and global errors, this thesis work goes more deeply and adjusts the time step of the integration time algorithm and solves the problem in a very efficient manner.A new scheme is proposed is this thesis, to minimize the cost of integration. Another method to improve the execution speed is to parallelize the ODE solver by using a multicore and a multiprocessor architecture. Finally, the solver has been tested with different applications from OpenModelica.

Ce travail de thèse constitue une première étape vers l'élaboration d'un simulateur cellulaire destiné aux biologistes. Nous proposons une approche dynamique en trois dimensions pour la modélisation de systèmes biologiques en combinant des mécanismes d'origine diverse (élasticité cellulaire, dynamique du cytosquelette, réactions chimiques) à différentes échelles de temps (de la seconde à la minute) et d'espace (depuis l'intérieur de la cellule jusqu'à une population de cellules). Une relation explicite est ainsi établie entre les réactions chimiques hébergées par la cellule et la dynamique de son mouvement tout en considérant les signaux extracellulaires. Nous nous intéressons également aux lois d'interaction entre objets biologiques et nous attachons à décrire différents types de contacts (cellule-cellule, cellule-substrat), leur évolution dynamique (glissement, roulement) et les conséquences sur l'architecture de la cellule ou du tissu.

La quantité totale de lipides et la composition en acides gras participent au déterminisme de la qualité des produits carnés et jouent un rôle dans de nombreuses pathologies. Par conséquent la maitrise du métabolisme des lipides constitue un important enjeu industriel et de santé publique. De nombreuses données expérimentales et bibliographiques sont actuellement disponibles sur le métabolisme des lipides dans différentes espèces. Néamoins, la hiérarchie d'importance des voies métaboliques et les régulateurs clefs de ce métabolisme dans différentes conditions expérimentales restent mal connus. Cette these propose d'utiliser les outils de la modélisation pour intégrer les données disponibles sur le métabolisme des lipides et des acides gras. Pour cela, deux modèles complémentaires ont été développés : un modèle dynamique simple comprenant le minimum de fonctions biologiques et de régulations nécessaire pour expliquer des données expérimentales métaboliques, et un modèle à large échelle comprenant un maximum d'informations issues des bases de données de connaissances. Le premier est un ensemble d'équations différentielles ordinaires décrivant les principales voies biochimiques du métabolisme des lipides indépendamment de l'espèce, de l'organe et des conditions expérimentales. Ce modèle a été confronté aux données biologiques décrivant les variations des acides gras dans le foie et le tissu adipeux lors de 72 heures de mise à jeun chez des souris de génotype sauvages et knockout pour PPARα (un facteur de transcription responsable notamment de l'activation de l'oxydation des acides gras). Nous mettons ainsi en évidence l'importance de la captation des acides gras sanguins par le foie, de l'oxydation hépatique des acides gras mais aussi et de maniere plus surprenante, des voies de désaturation et élongation des acides gras actives meme chez l'animal a jeun. L'existence d'un régulateur inconnu de l'élongation-désaturation des acides gras autre que PPARα est également suggérée. Le second modèle est un graphe d'influence qui réunit un maximum d'informations bibliogra- phiques pour les croiser avec des données transcriptomiques obtenues à haut débit. L'analyse de trois bases de connaissances bibliographiques (Gardon, une base interne experte ; TRANSPATH et Ingenuity, deux bases commerciales) a permis de mettre en évidence une forte complémenta- rité de la bibliographie extraite et des influences exploitables qu'elles référencent. Suite à cette analyse un graphe d'influence a été construit et l'analyse de sa topologie a permis de mettre en évidence les éléments les plus connectés possédant un lien avec le métabolisme énergétique. Ces deux démarches ont souligné l'intéret de la modélisation pour mettre en exergue des voies connues mais aussi inconnues, et suggérer ainsi de nouvelles expérimentations.

Cette thèse porte sur le calcul d'une sur-approximation conservative pour les solutions d'équations différentielles ordinaires en présence d'incertitudes et sur son application à l'estimation et l'analyse de systèmes dynamiques à temps continu. L'avantage principal des méthodes et des algorithmes de calculs présentés dans cette thèse est qu'ils apportent une preuve numérique de résultats. Cette thèse est organisée en deux parties. La première partie est consacrée aux outils mathématiques et aux méthodes d'intégration numérique garantie des équations diff érentielles incertaines. Ces méthodes permettent de caractériser de manière garantie l'ensemble des trajectoires d'état engendrées par un système dynamique incertain dont les incertitudes sont naturellement représentées par des intervalles bornés. Dans cette optique, nous avons développé une méthode d'intégration hybride qui donne de meilleurs résultats que les méthodes d'intégration basées sur les modèles de Taylor intervalles. La seconde partie aborde les problèmes de l'identification et de l'observation dans un contexte à erreurs bornées ainsi que le problème d'atteignabilité continue pour la véri cation de propriétés des systèmes dynamiques hybrides.

Réguler la prise alimentaire et la dépense énergétique permet en général de limiter d'importants changements de poids corporel. Hormones (leptine, ghréline, insuline) et nutriments sont impliqués dans ces régulations. La résistance à la leptine, souvent associée à l'obésité, limite la régulation de la prise alimentaire. La modélisation mathématique de la dynamique du poids contribue en particulier à une meilleure compréhension des mécanismes de régulation (notamment chez l’humain). Or les régulations hormonales sont largement ignorées dans les modèles existants.Dans cette thèse, nous considérons un modèle de régulation hormonale du poids appliqué aux rats, composé d'équations différentielles non-linéaires. Il décrit la dynamique de la prise alimentaire, du poids et de la dépense énergétique, régulés par la leptine, la ghréline et le glucose. Il reproduit et prédit l'évolution du poids et de la prise alimentaire chez des rats soumis à différents régimes hypocaloriques, et met en évidence l'adaptation de la dépense énergétique. Nous introduisons ensuite le premier modèle décrivant le développement de la résistance à la leptine, prenant en compte la régulation de la prise alimentaire par la leptine et ses récepteurs. Nous montrons que des perturbations de la prise alimentaire, ou de la concentration en leptine, peuvent rendre un individu sain résistant à la leptine et obèse. Enfin, nous présentons une simplification réaliste de la dynamique du poids dans ces modèles, permettant de construire un nouveau modèle combinant les deux modèles précédents / The regulation of food intake and energy expenditure usually limits important loss or gain of body weight. Hormones (leptin, ghrelin, insulin) and nutrients (glucose, triglycerides) are among the main regulators of food intake. Leptin is also involved in leptin resistance, often associated with obesity and characterized by a reduced efficacy to regulate food intake. Mathematical models describing the dynamics of body weight have been used to assist clinical weight loss interventions or to study an experimentally inaccessible phenomenon, such as starvation experiments in humans. Modeling of the effect of hormones on body weight has however been largely ignored.In this thesis, we first consider a model of body weight regulation by hormones in rats, made of nonlinear differential equations. It describes the dynamics of food intake, body weight and energy expenditure, regulated by leptin, ghrelin and glucose. It is able to reproduce and predict the evolution of body weight and food intake in rats submitted to different patterns of caloric restriction, showing the importance of the adaptation of energy expenditure. Second, we introduce the first model of leptin resistance development, based on the regulation of food intake by leptin and leptin receptors. We show that healthy individuals may become leptin resistant and obese due to perturbations in food intake or leptin concentration. Finally, modifications of these models are presented, characterized by simplified yet realistic body weight dynamics. The models prove able to fit the previous, as well as new sets of experimental data and allow to build a complete model combining both previous models regulatory mechanisms

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