Wir untersuchen ein Defektkorrekturverfahren, das ein einfaches Upwind-Differenzenverfahren erster Ordnung mit einem zentralen Differenzenverfahren kombiniert, für ein- und zweidimensionale singulär gestörte Konvektions-Diffusions-Probleme auf einer Klasse von Shishkin-Typ-Gittern. Im eindimensionalen Fall wird nachgewiesen, dass das Verfahren von (fast) zweiter Ordnung, gleichmäßig bezüglich des Diffusionsparameters $\epsilon$ konvergiert. Zur Konvergenzanalyse für das zweidimensionale Modellproblem werden verschiedene Techniken diskutiert. In einem Spezialfall kann auf einem stückweise uniformen Shishkin-Gitter die $\epsilon$-gleichmäßige Konvergenz des Verfahrens von fast zweiter Ordnung gezeigt werden. Ferner sind die bisher bekannten Stabilitätsaussagen und ihre Verwendung zur Konvergenzanalysis der betrachteten Differenzenverfahren sowie Methoden zur Analyse von Defektkorrekturverfahren zusammengestellt. Einige Bemerkungen zu Defektkorrekturverfahren und Finite-Elemente-Methoden schließen die Arbeit ab. Numerische Experimente untermauern die theoretischen Resultate. / We consider a defect correction method that combines a first-order upwinded difference scheme with a second-order central difference scheme for model singularly perturbed convection-diffusion problems in one and two dimensions on a class of Shishkin-Type meshes. In one dimension, the method is shown to be convergent uniformly in the diffusion parameter $\epsilon$ of second order in the discrete maximum norm. To analyze the two-dimensional case, we discuss several proof techniques for defect correction methods. For a special problem with constant coefficients on a piecewise uniform Shishkin-mesh we can show the second order convergence of the considered scheme, uniformly with respect to the diffusion parameter. Moreover the known stability properties and their impact on the convergence analysis of the considered differnce schemes are compiled. Some remarks on defect correction and finite elements conclude the theses. Numerical experiments support our theoretical results.

Wir untersuchen ein Defektkorrekturverfahren, das ein einfaches Upwind-Differenzenverfahren erster Ordnung mit einem zentralen Differenzenverfahren kombiniert, für ein- und zweidimensionale singulär gestörte Konvektions-Diffusions-Probleme auf einer Klasse von Shishkin-Typ-Gittern. Im eindimensionalen Fall wird nachgewiesen, dass das Verfahren von (fast) zweiter Ordnung, gleichmäßig bezüglich des Diffusionsparameters $\epsilon$ konvergiert. Zur Konvergenzanalyse für das zweidimensionale Modellproblem werden verschiedene Techniken diskutiert. In einem Spezialfall kann auf einem stückweise uniformen Shishkin-Gitter die $\epsilon$-gleichmäßige Konvergenz des Verfahrens von fast zweiter Ordnung gezeigt werden. Ferner sind die bisher bekannten Stabilitätsaussagen und ihre Verwendung zur Konvergenzanalysis der betrachteten Differenzenverfahren sowie Methoden zur Analyse von Defektkorrekturverfahren zusammengestellt. Einige Bemerkungen zu Defektkorrekturverfahren und Finite-Elemente-Methoden schließen die Arbeit ab. Numerische Experimente untermauern die theoretischen Resultate. / We consider a defect correction method that combines a first-order upwinded difference scheme with a second-order central difference scheme for model singularly perturbed convection-diffusion problems in one and two dimensions on a class of Shishkin-Type meshes. In one dimension, the method is shown to be convergent uniformly in the diffusion parameter $\epsilon$ of second order in the discrete maximum norm. To analyze the two-dimensional case, we discuss several proof techniques for defect correction methods. For a special problem with constant coefficients on a piecewise uniform Shishkin-mesh we can show the second order convergence of the considered scheme, uniformly with respect to the diffusion parameter. Moreover the known stability properties and their impact on the convergence analysis of the considered differnce schemes are compiled. Some remarks on defect correction and finite elements conclude the theses. Numerical experiments support our theoretical results.

The presentation shows sample paths of stochastic processes in form of animations. Those stochastic procsses are usually used to model financial quantities like exchange rates, interest rates and stock prices. In the second part the solution of the Black-Scholes PDE using the finite difference method is illustrated. / Der Vortrag zeigt Animationen von Realisierungen stochstischer Prozesse, die zur Modellierung von Groessen im Finanzbereich haeufig verwendet werden (z.B. Wechselkurse, Zinskurse, Aktienkurse). Im zweiten Teil wird die Loesung der Black-Scholes Partiellen Differentialgleichung mittels Finitem Differenzenverfahren graphisch veranschaulicht.

The Heston stochastic volatility model is one extension of the Black-Scholes model which describes the money markets more accurately so that more realistic prices for derivative products are obtained. From the stochastic differential equation of the underlying financial product a partial differential equation (p.d.e.) for the value function of an option can be derived. This p.d.e. can be solved with the finite difference method (f.d.m.). The stability and consistency of the method is examined. Furthermore a boundary condition is proposed to reduce the numerical error. Finally a non uniform structured grid is derived which is fairly optimal for the numerical result in the most interesting point. / Das stochastische Volatilitaetsmodell von Heston ist eines der Erweiterungen des Black-Scholes-Modells. Von der stochastischen Differentialgleichung fuer den unterliegenden Prozess kann eine partielle Differentialgleichung fuer die Wertfunktion einer Option abgeleitet werden. Es wird die Loesung mittels Finiter Differenzenmethode untersucht (Konsistenz, Stabilitaet). Weiterhin wird eine Randbedingung und ein spezielles nicht-uniformes Netz vorgeschlagen, was zu einer starken Reduzierung des numerischen Fehlers der Wertfunktion in einem ganz bestimmten Punkt fuehrt.

The Heston stochastic volatility model is one extension of the Black-Scholes model which describes the money markets more accurately so that more realistic prices for derivative products are obtained. From the stochastic differential equation of the underlying financial product a partial differential equation (p.d.e.) for the value function of an option can be derived. This p.d.e. can be solved with the finite difference method (f.d.m.). The stability and consistency of the method is examined. Furthermore a boundary condition is proposed to reduce the numerical error. Finally a non uniform structured grid is derived which is fairly optimal for the numerical result in the most interesting point. / Das stochastische Volatilitaetsmodell von Heston ist eines der Erweiterungen des Black-Scholes-Modells. Von der stochastischen Differentialgleichung fuer den unterliegenden Prozess kann eine partielle Differentialgleichung fuer die Wertfunktion einer Option abgeleitet werden. Es wird die Loesung mittels Finiter Differenzenmethode untersucht (Konsistenz, Stabilitaet). Weiterhin wird eine Randbedingung und ein spezielles nicht-uniformes Netz vorgeschlagen, was zu einer starken Reduzierung des numerischen Fehlers der Wertfunktion in einem ganz bestimmten Punkt fuehrt.

Using the dual Black-Scholes partial differential equation, Dupire derived an explicit formula, involving the ratio of partial derivatives of the evolving fair value of a European call option (ECO), for recovering information about its variable volatility. Because the prices, as a function of maturity and strike, are only available as discrete noisy observations, the evaluation of Dupire’s formula reduces to being an ill-posed numerical differentiation problem, complicated by the need to take the ratio of derivatives. In order to illustrate the nature of ill-posedness, a simple finite difference scheme is first used to approximate the partial derivatives. A new method is then proposed which reformulates the determination of the volatility, from the partial differential equation defining the fair value of the ECO, as a parameter identification activity. By using the weak formulation of this equation, the problem is localized to a subregion on which the volatility surface can be approximated by a constant or a constant multiplied by some known shape function which models the local shape of the volatility function. The essential regularization is achieved through the localization, the choice of the analytic weight function, and the application of integration-by-parts to the weak formulation to transfer the differentiation of the discrete data to the differentiation of the analytic weight function.

The presentation shows sample paths of stochastic processes in form of animations. Those stochastic procsses are usually used to model financial quantities like exchange rates, interest rates and stock prices. In the second part the solution of the Black-Scholes PDE using the finite difference method is illustrated. / Der Vortrag zeigt Animationen von Realisierungen stochstischer Prozesse, die zur Modellierung von Groessen im Finanzbereich haeufig verwendet werden (z.B. Wechselkurse, Zinskurse, Aktienkurse). Im zweiten Teil wird die Loesung der Black-Scholes Partiellen Differentialgleichung mittels Finitem Differenzenverfahren graphisch veranschaulicht.

Using the dual Black-Scholes partial differential equation, Dupire derived an explicit formula, involving the ratio of partial derivatives of the evolving fair value of a European call option (ECO), for recovering information about its variable volatility. Because the prices, as a function of maturity and strike, are only available as discrete noisy observations, the evaluation of Dupire’s formula reduces to being an ill-posed numerical differentiation problem, complicated by the need to take the ratio of derivatives. In order to illustrate the nature of ill-posedness, a simple finite difference scheme is first used to approximate the partial derivatives. A new method is then proposed which reformulates the determination of the volatility, from the partial differential equation defining the fair value of the ECO, as a parameter identification activity. By using the weak formulation of this equation, the problem is localized to a subregion on which the volatility surface can be approximated by a constant or a constant multiplied by some known shape function which models the local shape of the volatility function. The essential regularization is achieved through the localization, the choice of the analytic weight function, and the application of integration-by-parts to the weak formulation to transfer the differentiation of the discrete data to the differentiation of the analytic weight function.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Simulation von Streuung und Absorption von elektromagnetischen Wellen in Gewebephantomen im Kontext optischer Cochlea-Implantate. Dabei werden wellen- und strahlenoptische Ansätze diskutiert und auf ihre Eignung für die Modellierung des Streuverhaltens in gewebeähnlichen Schichten untersucht. Im Einzelnen werden FDTD-Simulationen mit einem Mie-Streuprogramm verglichen, sowie Monte-Carlo-Simulationen durchgeführt. Die gewonnenen Daten für Gewebephantome werden mit einem experimentellem Ansatz und Literaturwerten für echtes Gewebe verglichen. Es wird gezeigt unter welchen Parametern die Lichtstreuung optimal für die gewünschte Anwendung in optischen Cochlea-Implantaten ist. Weiterhin ergibt sich, im Rahmen dieser Arbeit, die Monte-Carlo-Simulation in Verbund mit einem Mie-Streuprogramm als die praktikabelste Lösung, um mit Experiment und Literatur vergleichbare Schichtdicken zu simulieren und entsprechende Ergebnisse zu gewinnen. Die Übereinstimmung zwischen Simulationen und experimentellen Daten lies sich für Gewebephantome nachweisen. Weiterhin konnten erste Schlüsse über die Übereinstimmung des Verhaltens dieser Phantome gegenüber echter menschlicher Dermis gezogen werden. / This work addresses the simulation of scattering and absorption of electromagnetic waves in tissue phantoms in the context of optical cochlear implants. Wave-optical and ray-optical approaches are discussed and investigated for their suitability for modeling the scattering behavior in tissue-like layers. Specifically, FDTD simulations are compared with a Mie-scattering program, and Monte Carlo simulations are performed. The obtained data for tissue phantoms will be compared with an experimental approach and literature values for real tissue. It is shown under which parameters the light scattering is optimal for the desired application in optical cochlear implants. Furthermore, in the context of this work, the Monte-Carlo simulation in combination with a Mie-scattering program is most practicable to simulate layer thicknesses comparable to experiment and literature and to obtain the corresponding results. The agreement between simulations and experimental data could be demonstrated for tissue phantoms. Furthermore, first conclusions could be drawn about the agreement of the behavior of these phantoms compared to real human dermis.

In an effort to improve the accuracy of common 1-D analysis for frequency domain helicopter-borne electromagnetic data at reasonable computing costs, a 3-D inversion approach is developed. The strategy is based on the prior localization of an entire helicopter-borne electromagnetic survey to parts which are actually affected by expected local 3-D anomalies and a separate inversion of those sections of the surveys (cut-&-paste strategy). The discrete forward problem, adapted from the complete Helmholtz equation, is formulated in terms of the secondary electric field employing the finite difference method. The analytical primary field calculation incorporates an interpolation strategy that allows to effectively handle the enormous number of transmitters. For solving the inverse problem, a straightforward Gauss-Newton method and a Tikhonov-type regularization scheme are applied. In addition, different strategies for the restriction of the domain where the inverse problem is solved are used as an implicit regularization. The derived linear least squares problem is solved with Krylov-subspace methods, such as the LSQR algorithm, that are able to deal with the inherent ill-conditioning. As the helicopter-borne electromagnetic problem is characterized by a unique transmitter-receiver relation, an explicit representation of the Jacobian matrix is used. It is shown that this ansatz is the crucial component of the 3-D HEM inversion. Furthermore, a tensor-based formulation is introduced that provides a fast update of the linear system of the forward problem and an effective handling of the sensitivity related algebraic quantities. Based on a synthetic data set of a predefined model problem, different application examples are used to demonstrate the principal functionality of the presented algorithm. Finally, the algorithm is applied to a data set obtained from a real field survey in the Northern German Lowlands. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der 3-D Inversion von Hubschrauberelektromagnetikdaten im Frequenzbereich. Das vorgestellte Verfahren basiert auf einer vorhergehenden Eingrenzung des Messgebiets auf diejenigen Bereiche, in denen tatsächliche 3-D Strukturen im Untergrund vermutet werden. Die Resultate der 3-D Inversion dieser Teilbereiche können im Anschluss wieder in die Ergebnisse der Auswertung des komplementären Gesamtdatensatzes integriert werden, welche auf herkömmlichen 1-D Verfahren beruht (sog. Cut-&-Paste-Strategie). Die Diskretisierung des Vorwärtsproblems, abgeleitet von einer Sekundärfeldformulierung der vollständigen Helmholtzgleichung, erfolgt mithilfe der Methode der Finiten Differenzen. Zur analytischen Berechnung der zugehörigen Primärfelder wird ein Interpolationsansatz verwendet, welcher den Umgang mit der enorm hohen Anzahl an Quellen ermöglicht. Die Lösung des inversen Problems basiert auf dem Gauß-Newton-Verfahren und dem Tichonow-Regularisierungsansatz. Als Mittel der zusätzlichen impliziten Regularisierung dient eine räumliche Eingrenzung des Gebiets, auf welchem das inverse Problem gelöst wird. Zur iterativen Lösung des zugrundeliegenden Kleinste-Quadrate-Problems werden Krylov-Unterraum-Verfahren, wie der LSQR Algorithmus, verwendet. Aufgrund der charakteristischen Sender-Empfänger-Beziehung wird eine explizit berechnete Jakobimatrix genutzt. Ferner wird eine tensorbasierte Problemformulierung vorgestellt, welche die schnelle Assemblierung leitfähigkeitsabhängiger Systemmatrizen und die effektive Handhabung der zur Berechnung der Jakobimatrix notwendigen algebraischen Größen ermöglicht. Die Funktionalität des beschriebenen Ansatzes wird anhand eines synthetischen Datensatzes zu einem definierten Testproblem überprüft. Abschließend werden Inversionsergebnisse zu Felddaten gezeigt, welche im Norddeutschen Tiefland erhoben worden.