In der gegebenen Arbeit werden hoeherdimensionale lokale Schiefkoerper, die natuerliche Verallgemeinerung von n-dimensionalen lokalen Koerpern, untersucht. Wir untersuchen nur Schiefkoerper mit kommutativem Restschiefkoerper. Wir geben eine hinreichende Bedingung fuer die Spaltbarkeit von Schiefkoerpern. Naemlich, ein lokaler Schiefkoerper ist spaltbar, falls er einen kanonischen Automorphismus unendlicher Ordnung hat. Wir klassifizieren alle Schiefkoerper, die diese Bedingung bis auf Isomorphie erfuellen. Die Ergebnisse sind unabhaengig von der Charakteristik des Schiefkoerpers. Wir klassifizieren auch alle lokalen spaltbaren Schiefkoerper von Charakteristik 0 mit kommutativem Restschiefkoerper und mit kanonischem Automorphismus von endlicher Ordnung. Unter anderem geben wir ein Kriterium, wann zwei Elemente aus einem solchen Schiefkoerper konjugiert sind. Als Folgerung beweisen wir, dass fast alle solche Schiefkoerper unendlichdimensional ueber ihrem Zentrum sind. Ausserdem beweisen wir, dass das Skolem-Noether Theorem nur in dem Fall des klassischen Ringes der Pseudodifferentialoperatoren richtig ist. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Die Untersuchung von lokalen Schiefkoerpern fuehrte zu einigen neuen unerwarteten Ergebnissen in der Bewertungstheorie auf endlichdimensionalen Algebren. Wir bekommen den Zerlegungssatz fuer wilde Divisionalgebren ueber Laurentreihen-Koerpern mit beliebigem Restkoerper der Charakteristik groesser als zwei. Dieses Theorem ist die Verallgemeinerung des Zerlegungssatzes fuer zahme Divisionalgebren von Jacob und Wadsworth. Als Folgerung bekommen wir die positive Antwort auf die folgende Vermutung: Fuer jede Divisionalgebra A ueber den Koerper F((t)), wo F ein quasialgebraisch abgeschlossener Koerper ist, muss der Exponent von A gleich dem Index von A sein. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Anderseits, fuehrt das Problem der Klassifizierung lokaler Schiefkoerper zu dem Problem der Klassifizierung der Konjugationsklassen in der Automorphismengruppe von n-dimensionalen lokalen (kommutativen) Koerpern. Wir loesen diese Aufgabe fuer die Gruppe der stetigen Automorphismen von 1- und 2-dimensionalen lokalen Koerpern. / In this work we study local skew fields, which are natural generalization of n-dimensional local fields, and their applications to the theory of central division algebras over henselian fields. We study mostly two-dimensional local skew fields with commutative residue skew field. The sufficient condition for a skew field to be split is given. Namely, a local skew field splits if the canonical automorphism has infinite order. We classify all the skew fields which posess this condition up to isomorphism. These results don't depend on the characteristic of a skew field. We classify all local splittable skew fields of characteristic 0 with commutative residue skew field and with the canonical automorphism of finite order as well. Some other properties of local skew fields are studied. In particular, we give a criterium when two elements from such a skew field conjugate. As a corollary we prove that almost all such skew fields are infinite dimensional over their center. Also we prove that the Scolem-Noether theorem holds only in the case of the classical ring of pseudo-differential operators. Studying of local skew fields leads to some new unexpected results in the valuation theory on finite dimensional division algebras. We get a decomposition theorem for some class of wild division algebras over a Laurent series field with arbitrary residue field of characteristic greater than two. This theorem is a generalization of the decomposition theorem for tame division algebras given by B.Jacob and A.Wadsworth. As a corollary we get the positive answer on the following conjecture: the exponent of a division algebra is equal to its index if the centre of this algebra is a Laurent series field with arbitrary quasialgebraically closed residue field. Using some ideas of A.N. Parshin, who raised a problem of classifying local skew fields, we get some applications of developed theory to the Krichever correspondence. Namely, we get some generalizations of the classical KP-equations (hierarchy). The problem of classification of local skew fields leads to the problem of classification of conjugacy classes in the automorphism group of an n-dimensional local (commutative) field. We solve this problem for the group of continuous automorphisms of one- and two- dimensional local fields.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'arithmétique de certains corps de fonctions. Nous cherchons à établir dans un premier temps des théorèmes de dualité arithmétique sur ces corps, pour les appliquer ensuite à l'étude des points rationnels sur certaines variétés algébriques. Dans les trois premiers chapitres, nous travaillons sur le corps des fonctions d'une courbe sur un corps local supérieur (comme Qp, Qp((t)), C((t)) ou C((t))((u))). Dans le premier chapitre, nous établissons sur un tel corps des théorèmes de dualité arithmétique « à la Poitou-Tate » pour les modules finis, les tores, et même pour certains complexes de tores. Nous montrons aussi l'existence, sous certaines hypothèses, de certaines portions des suites exactes de Poitou-Tate correspondantes. Ces résultats sont appliqués dans le deuxième chapitre à l'étude du principe local-global pour les algèbres simples centrales, de l'approximation faible pour les tores, et des obstructions au principe local-global pour les torseurs sous des groupes linéaires connexes. Dans le troisième chapitre, nous nous penchons sur les variétés abéliennes et établissons des théorèmes de dualité arithmétique « à la Cassels-Tate ». Cela demande aussi de mener une étude fine des variétés abéliennes sur les corps locaux supérieurs. Dans le quatrième et dernier chapitre, nous travaillons sur les corps des fractions de certaines algèbres locales normales de dimension 2 (typiquement C((x, y)) ou Fp((x, y))). Nous établissons d'abord un théorème de dualité en cohomologie étale « à la Artin-Verdier » dans ce contexte. Cela nous permet ensuite de montrer des théorèmes de dualité arithmétique en cohomologie galoisienne « à la Poitou-Tate » pour les modules finis et les tores. Nous appliquons finalement ces résultats à l'étude de l'approximation faible pour les tores et des obstructions au principe local-global pour les torseurs sous des groupes linéaires connexes. / In this thesis, we are interested in the arithmetic of some function fields. We first want to establish arithmetic duality theorems over those fields, in order to apply them afterwards to the study of rational points on algebraic varieties. In the first three chapters, we work on the function field of a curve defined over a higher-dimensional local field (such as Qp, Qp((t)), C((t)) or C((t))((u))). In the first chapter, we establish "Poitou-Tate type" arithmetic duality theorems over such fields for finite modules, tori and even some complexes of tori. We also prove the existence, under some hypothesis, of parts of the corresponding Poitou-Tate exact sequences. These results are applied in the second chapter to the study of the local-global principle for central simple algebras, of weak approximation for tori, and of obstructions to local-global principle for torsors under connected linear algebraic groups. In the third chapter, we are interested in abelian varieties and we establish "Cassels-Tate type" arithmetic duality theorems. To do so, we also need to carry out a precise study of abelian varieties over higher-dimensional local fields. In the fourth and last chapter, we work on the field of fractions of some 2-dimensional normal local algebras (such as C((x, y)) or Fp((x, y))). We first establish in this context an "Artin-Verdier type" duality theorem in étale cohomology. This allows us to prove "Poitou-Tate type" arithmetic duality theorems in Galois cohomology for finite modules and tori. In the end, we apply these results to the study of weak approximation for tori and of obstructions to local-global principle for torsors under connected linear algebraic groups.