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Nous generalisons la definition de la K-theorie hermitienne des anneaux avec involution aux categories exactes avec dualite. Ensuite nous demontrons des theoremes de localisation et de devissage pour les anneaux de Dedekind, ce qui resolut une conjecture de Karoubi de 1974. Enfin nous etudions la K-theorie hermitienne des corps de nombres.

L'étude de lois de commande performantes pour les processus est le domaine de recherche le plus actif en automatique. Cette recherche répond aux besoins des industriels qui exploitent des machines de plus en plus performantes. Les approches proposées exigent une connaissance précise des phénomènes physiques mis en jeu dans ces processus et la possibilité d'adaptabilité à des situations différentes.<br />Le travail de recherche apporte une contribution à ces approches, par l'étude de la dualité aux différents niveaux de la conception de loi de commande.<br />Le travail a permis d'effectuer une caractérisation de la dualité au niveau modèle (dualité entre les représentations d'état, dualité entre les modules),<br />l'étude de la dualité entre les propriétés des modèles (commandabilité/observabilité) et l'étude de la dualité dans la conception de loi de commande<br />(retour d'état, injection de sortie). Ces concepts s'appliquent à différents types de modèles (linéaires LTI et LTV, non linéaires,...). Nous avons reformulé certains concepts d'analyse et de commande par une étude unifiée entre les différentes approches classiques, graphiques, algébriques (modules) et bond graphs, entre autre. De nombreuses perspectives sont envisagées.

Dans la première partie de la thèse, nous étudions le problème de l'équivalence quantique de modèles sigma reliés entre eux par la T-dualité non-abelienne. Nous prouvons que la renormalisabilité à une boucle de divers modèles initiaux implique la renormalisabilité à une boucle de leur partenaire dualisé, et qu'ils partagent les mêmes fonctions beta. Ceci est fait pour tous les modèles sigma principaux (G_L X G_R)/G_D, quelle que soit la brisure de G_R, ainsi que pour la large classe de métriques à quatre dimensions, inhomogènes et d'isométrie SU(2) X U(1). Pour l'exemple simple du modèle sigma T-dualisé SU(2), dont la non-renormalisabilité à deux boucles a été démontrée dans le schéma dimensionel minimal, nous prouvons qu'il est encore possible, à cet ordre, de définir une théorie quantique correcte en modifiant, à l'ordre \hbar, la métrique de l'espace cible de façon finie. Dans la seconde partie, nous construisons de façon explicite, grâce au super-espace harmonique et à l'approche du quotient quaternionique, une extension quaternion-Kähler de la métrique hyper-Kähler à deux centres la plus générale. Elle possède le groupe d'isométrie U(1) X U(1) et contient comme cas particuliers les extensions quaternion-Kähler des métriques de Taub-NUT et d'Eguchi-Hanson. Elle fait aussi apparaître un paramètre supplémentaire qui disparaît dans la limite hyper-Kähler.