Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-03-23T17:04:53Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_wlteodoro.pdf: 1423597 bytes, checksum: 8ddabb47c9d7fecd8000966f04ef9f06 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Oi Jessyca. Estou devolvendo a dissertação do Wilkson. Não está normalizada. Vou enviar um e-mail para ele explicando o que deve ser feito. on 2017-03-27T15:42:14Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-03-29T12:38:39Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_wlteodoro.pdf: 1892280 bytes, checksum: 6c5a3e842e9de85c5c6dbe8f28ab5931 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-04-04T11:12:04Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_wlteodoro.pdf: 1892280 bytes, checksum: 6c5a3e842e9de85c5c6dbe8f28ab5931 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-04T11:12:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_wlteodoro.pdf: 1892280 bytes, checksum: 6c5a3e842e9de85c5c6dbe8f28ab5931 (MD5) Previous issue date: 2017-01-30 / The present work aims to show the applicability of mathematics in the solution of physical problems. First, the behavior of a solution will be observed through local analysis. Next, demonstrate the solutions by power series and the special functions (Bessel, Hermite, Legendre and Laguerre) and, finally, the application by ordinary differential equation (ODE). / O presente trabalho visa mostrar a aplicabilidade da matemática na solução de problemas físicos. Primeiramente, será observado o comportamento de uma solução através da análise local. Em seguida, demonstrar as soluções por séries de potência e as funções especiais (Bessel, Hermite, Legendre e Laguerre) e, por fim, a aplicação por equação diferencial ordinária (EDO).

O estudo da evolução da concentração de elementos de uma reação química, conhecida como Cinética Química, é de extrema importância para a compreensão das complexas interações em sistemas biológicos. Uma maneira de descrever a cinética de uma reação química é utilizando um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Uma vez que para resolver um sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser uma tarefa difícil (ou mesmo inviável), métodos numéricos são utilizados para realizar simulações, ou seja, para obter concentrações aproximadas das espécies químicas envolvidas durante um determinado período de tempo. No entanto, quanto maior for o sistema simulado de EDOs, mais os métodos numéricos estão sujeitos a erros. Além disso, o aumento do tamanho do sistema muitas vezes resulta em simulações que são mais exigentes do ponto de vista computacional. Assim, o objetivo deste projeto de mestrado é o desenvolvimento de regras para simplificar os sistemas de equações diferenciais ordinárias que modelam a cinética de reações químicas e, portanto, a obtenção de um algoritmo para executar simulações numéricas de um modo mais rápido e menos propenso a erros. Mais do que diminuir o erro e o tempo de execução, esta simplificação possibilita o biólogo escolher a solução mais factível do ponto de vista de medida. Isso porque, a identificação dos sistemas (i.e., inferência dos parâmetros) requer que a concentração de todas as espécies químicas seja conhecida, ao menos em um certo intervalo de tempo. Contudo, em muitos casos, não é possível medir a concentração de todas as espécies químicas consideradas. Esta simplificação gera sistemas equivalentes ao original, mas que dispensa a utilização de certas concentrações de espécies químicas. Um sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser simplificado considerando as relações de conservação de massa, que são equações algébricas. Além disso, no caso de reações enzimáticas, o sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser simplificado pelo pressuposto de que a concentração do complexo enzima-substrato mantém-se constante, o que permite a utilização da equação de Michaelis-Menten. De todas as combinações possíveis das equações algébricas com as equações diferenciais, uma família de sistemas simplificados de EDOs foi construída, permitindo a escolha do sistema mais simples. Esta escolha segue um critério guloso que favorece a minimização do número de equações diferenciais e do número total de termos. As regras em desenvolvimento de simplificação dos sistemas de equações diferenciais ordinárias foram utilizados para projetar um algoritmo, que foi implementado usando a linguagem de programação Python. O algoritmo concebido foi testado utilizando instâncias artificiais. / The study of the evolution of the concentration of species in a chemical reaction, known as Chemical Kinetics, is of paramount importance for the understanding of complex interactions in biological systems. One way to describe the kinetics of a chemical reaction is using a system of ordinary differential equations (ODEs). Once to solve a system of ODEs can be a difficult (or even unfeasible) task, numerical methods are employed to carry out simulations, that is, to obtain approximated concentrations of the involved chemical species for a certain time frame. However, the larger is the simulated system of ODEs, the more numerical methods are subject to error. Moreover, the increase of the system size often results in simulations that are more demanding from the computational point of view. Thus, the objective is the development of rules to simplify systems of ODEs that models the kinetics of chemical reactions, hence obtaining an algorithm to execute numerical simulations in a faster way and less prone to error. More than decrease error and run time, this simplification allows the biologist to choose the most feasible solution from the point of view of measurement. This is because the identification of systems (i.e., inferring parameters) requires that the concentration of all chemical species is known, at least in a certain time interval. However, in many cases it is not possible to measure the concentration of all chemical species considered. This simplification creates systems equivalent to the original, but that does not require the use of certain concentrations of chemical species. A system of ODEs can be simplified considering the relations of mass conservation, which are algebraic equations. Furthermore, in the case of enzymatic reactions, the system of ODEs can be simplified under the assumption that the concentration of enzyme-substrate complex remains constant, which allows us to use the Michaelis-Menten equation. From all possible combinations of the algebraic equations with differential equations, a family of simplified systems of ODEs will be built, allowing the choice of a simplest system. This choice will follow a greedy criterion which favors the minimization of number of differential equations and the total number of terms. The rules under development to simplify systems of ODEs will be used to design an algorithm, which will be implemented using Python programming language. The designed algorithm will be tested using synthetic data.

O objetivo deste trabalho é estudar, sob que condições, o problema de valor inicial associado a uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, no contexto das funções generalizadas temperadas de Colombeau, admite pelo menos uma (ou somente uma) solução generalizada ou solução generalizada temperada. Para essa finalidade estudamos algumas propriedades das funções generalizadas, das funções generalizadas temperadas e das funções generalizadas temperadas na segunda variável. Além do estudo dessas propriedades, apresentamos uma imersão do espaço das distribuições na álgebra das funções generalizadas de Colombeau e uma imersão do espaço das distribuições temperadas na álgebra das funções generalizadas temperadas de Colombeau. Finalizamos o trabalho estudando, no contexto das funções generalizadas temperadas de Colombeau, uma equação de Euler-Lagrange e solução para frente em sistemas autônomos. / The objective of this work is to study, under which conditions, the initial value problem associated with a first-order ordinary differential equation, in the framework of Colombeau\'s tempered generalized functions, it admits at least one (or only one) generalized solution or generalized tempered solution. For this purpose we studied some properties of the generalized functions, of the generalized tempered functions and the generalized tempered functions in the second variable. Besides the study of these properties, we present an embedding of the space of distributions into the algebra of Colombeau\'s generalized functions and an embedding of the space of tempered distributions into the algebra of Colombeau\'s tempered generalized functions. We end the work studying, in the framework of Colombeau\'s tempered generalized functions, an Euler-Lagrange equation and forward solution for autonomous system.

O objetivo deste trabalho é estudar, sob que condições, o problema de valor inicial associado a uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, no contexto das funções generalizadas temperadas de Colombeau, admite pelo menos uma (ou somente uma) solução generalizada ou solução generalizada temperada. Para essa finalidade estudamos algumas propriedades das funções generalizadas, das funções generalizadas temperadas e das funções generalizadas temperadas na segunda variável. Além do estudo dessas propriedades, apresentamos uma imersão do espaço das distribuições na álgebra das funções generalizadas de Colombeau e uma imersão do espaço das distribuições temperadas na álgebra das funções generalizadas temperadas de Colombeau. Finalizamos o trabalho estudando, no contexto das funções generalizadas temperadas de Colombeau, uma equação de Euler-Lagrange e solução para frente em sistemas autônomos. / The objective of this work is to study, under which conditions, the initial value problem associated with a first-order ordinary differential equation, in the framework of Colombeau\'s tempered generalized functions, it admits at least one (or only one) generalized solution or generalized tempered solution. For this purpose we studied some properties of the generalized functions, of the generalized tempered functions and the generalized tempered functions in the second variable. Besides the study of these properties, we present an embedding of the space of distributions into the algebra of Colombeau\'s generalized functions and an embedding of the space of tempered distributions into the algebra of Colombeau\'s tempered generalized functions. We end the work studying, in the framework of Colombeau\'s tempered generalized functions, an Euler-Lagrange equation and forward solution for autonomous system.

O estudo da evolução da concentração de elementos de uma reação química, conhecida como Cinética Química, é de extrema importância para a compreensão das complexas interações em sistemas biológicos. Uma maneira de descrever a cinética de uma reação química é utilizando um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Uma vez que para resolver um sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser uma tarefa difícil (ou mesmo inviável), métodos numéricos são utilizados para realizar simulações, ou seja, para obter concentrações aproximadas das espécies químicas envolvidas durante um determinado período de tempo. No entanto, quanto maior for o sistema simulado de EDOs, mais os métodos numéricos estão sujeitos a erros. Além disso, o aumento do tamanho do sistema muitas vezes resulta em simulações que são mais exigentes do ponto de vista computacional. Assim, o objetivo deste projeto de mestrado é o desenvolvimento de regras para simplificar os sistemas de equações diferenciais ordinárias que modelam a cinética de reações químicas e, portanto, a obtenção de um algoritmo para executar simulações numéricas de um modo mais rápido e menos propenso a erros. Mais do que diminuir o erro e o tempo de execução, esta simplificação possibilita o biólogo escolher a solução mais factível do ponto de vista de medida. Isso porque, a identificação dos sistemas (i.e., inferência dos parâmetros) requer que a concentração de todas as espécies químicas seja conhecida, ao menos em um certo intervalo de tempo. Contudo, em muitos casos, não é possível medir a concentração de todas as espécies químicas consideradas. Esta simplificação gera sistemas equivalentes ao original, mas que dispensa a utilização de certas concentrações de espécies químicas. Um sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser simplificado considerando as relações de conservação de massa, que são equações algébricas. Além disso, no caso de reações enzimáticas, o sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser simplificado pelo pressuposto de que a concentração do complexo enzima-substrato mantém-se constante, o que permite a utilização da equação de Michaelis-Menten. De todas as combinações possíveis das equações algébricas com as equações diferenciais, uma família de sistemas simplificados de EDOs foi construída, permitindo a escolha do sistema mais simples. Esta escolha segue um critério guloso que favorece a minimização do número de equações diferenciais e do número total de termos. As regras em desenvolvimento de simplificação dos sistemas de equações diferenciais ordinárias foram utilizados para projetar um algoritmo, que foi implementado usando a linguagem de programação Python. O algoritmo concebido foi testado utilizando instâncias artificiais. / The study of the evolution of the concentration of species in a chemical reaction, known as Chemical Kinetics, is of paramount importance for the understanding of complex interactions in biological systems. One way to describe the kinetics of a chemical reaction is using a system of ordinary differential equations (ODEs). Once to solve a system of ODEs can be a difficult (or even unfeasible) task, numerical methods are employed to carry out simulations, that is, to obtain approximated concentrations of the involved chemical species for a certain time frame. However, the larger is the simulated system of ODEs, the more numerical methods are subject to error. Moreover, the increase of the system size often results in simulations that are more demanding from the computational point of view. Thus, the objective is the development of rules to simplify systems of ODEs that models the kinetics of chemical reactions, hence obtaining an algorithm to execute numerical simulations in a faster way and less prone to error. More than decrease error and run time, this simplification allows the biologist to choose the most feasible solution from the point of view of measurement. This is because the identification of systems (i.e., inferring parameters) requires that the concentration of all chemical species is known, at least in a certain time interval. However, in many cases it is not possible to measure the concentration of all chemical species considered. This simplification creates systems equivalent to the original, but that does not require the use of certain concentrations of chemical species. A system of ODEs can be simplified considering the relations of mass conservation, which are algebraic equations. Furthermore, in the case of enzymatic reactions, the system of ODEs can be simplified under the assumption that the concentration of enzyme-substrate complex remains constant, which allows us to use the Michaelis-Menten equation. From all possible combinations of the algebraic equations with differential equations, a family of simplified systems of ODEs will be built, allowing the choice of a simplest system. This choice will follow a greedy criterion which favors the minimization of number of differential equations and the total number of terms. The rules under development to simplify systems of ODEs will be used to design an algorithm, which will be implemented using Python programming language. The designed algorithm will be tested using synthetic data.

Made available in DSpace on 2016-03-15T19:38:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pericles do Prado Turnes Junior.pdf: 1375255 bytes, checksum: 24dc630ef135368b840995d533e161e8 (MD5) Previous issue date: 2014-07-29 / Instituto Presbiteriano Mackenzie / There are many epidemiological models written in terms of ordinary differential equations (ODE). This approach is based on the homogeneous mixing assumption; that is, the topological structure of the network of social contacts, established by the individuals in the population, is not relevant to forecast the propagation of the studied pathogen. In this work, an epidemiological model formulated in terms of ODE and probabilistic cellular automata (PCA) is proposed to study the spread of contagious diseases that do not conferimmunity. The state variables of this model are the percentages of susceptible individuals, infected individuals and empty space. It is shown that this dynamical system can experience Hopf and transcritical bifurcations. Then, this model is used to evaluate the validity of the homogeneous mixing assumption, by using real data related to the transmission of gonorrhea, hepatitis C virus, human immunodeficiency virus and obesity. / Muitos modelos epidemiológicos são escritos em termos de equações diferenciais ordinárias (EDO). Essa abordagem baseia-se no pressuposto de mistura homogênea; ou seja, a estrutura topológica da rede de contatos sociais, estabelecida pelos indivíduos da população, não é relevante para prever o avanço do patógeno em estudo. Neste trabalho, é proposto um modelo epidemiológico formulado em termos de EDO e de autômato celular probabilista (ACP) para estudar a propagação de doenças contagiosas que não conferem imunidade. As variáveis de estado desse modelo são as porcentagens de indivíduos suscetíveis, de indivíduos infectados e de espaço vazio. Mostra-se que esse sistema dinâmico pode apresentar bifurcações de Hopf e transcrítica. O modelo é , então, usado para avaliar a validade da hipótese de mistura homogênea, usando dados relacionados à transmissão de gonorreia, vírus da hepatite C, vírus da imunodeficiência humana e obesidade.