En la tesis podemos distinguir dos partes bien diferenciadas, la primera de investigación matemática sobre ecuaciones en diferencias, desarrollada en los capítulos II y III; la segunda parte corresponde a las aplicaciones financieras, capítulos IV y V.En el capítulo II , desarrollo un método nuevo de resolución de ecuaciones en diferencias lineales, que denomino del factor anti-diferencia del producto, y un segundo método mas novedoso si cabe, que lo denomino "Cambio de variable" que nos permite resolver ecuaciones en diferencias, cuando la diferencia es una variable discreta y no constante como es habitual.En el capítulo III, al aplicar las técnicas anteriores de resolución y contrastarlas con las ya existentes, nos permite obtener 11 sumatorios generales, y si consideramos sus casos particulares podemos pasar del centenar de sumatorios prácticos.En el capítulo IV, realizamos todos los cálculos de rentas financieras, ya sean constantes, lineales, geométricas, o de variación polinómica, con una sola fórmula inicial "F1S" obtenida del primer sumatorio del capítulo anterior.En el capítulo V, realizamos cálculos de planes especiales de ahorro, utilizando la misma fórmula "F1S", y realizando todas las simplificaciones oportunas, llegando al extremo de poder obtener unas tablas de planes de ahorro con todas sus cantidades enteras.En el capítulo VI, dada mi incapacidad para poder analizar todos los campos investigados, he dejado abiertos una serie de caminos, para que toda persona interesada pueda seguir investigando, pues queda mucho camino por recorrer. / In the following thesis two parts are clearly shown. The first mathematical research is about differential equations properly developed in chapters II and III. The second one is about their financial use in chapters IV and V.In chapter II a new method for solving lineal differential equations, called Anti Differential Factor of the Product is seen. There is also a second method, even newer, named Variable Change that let us solve differential equations when the difference is a discrete variable and not constant as it usually is. At the end of the chapter some solved numeral examples are displayed. They verify the above mentioned procedures.In chapter III when using the new solving techniques and contrasting them with the traditional ones, 11 general addends are obtained from S1 to S11. If their specific events are taken into account, we could get more then a hundred of practical addends as it will be shown in the annex of the same chapter.In chapter IV we do all the calculations of financial income valuation, being these able to be constant, lineal, geometric or polynomial ones from only one initial "FIS" formula obtained from the first addend in the former chapter. In chapter V, calculus of special saving plans are made using the same "FIS" formula and doing all the suitable simplifications. Doing so, getting saving plan tables with all their complete quantities have been possible.In chapter VI being not able to analyse all the researched fields, some paths are left to those interested in following their exploration because there is still a long way to walk.

En esta tesis se presentan aplicaciones del Análisis Intervalar Modal al estudio de problemas diferenciales aplicados básicamente a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería, precedidos de una sucinta revisión de la teoría básica del sistema de intervalos modales y un estudio exhaustivo de la optimalidad parcial de las funciones racionales, incorporando los conceptos de optimalidad equivalente y optimalidad condicionada, que representan una ampliación a la teoría del Análisis Intervalar Modal ya existente.Definiremos los intervalos identificándolos con el conjunto de predicados que aceptan o rechazan predicados sobre la recta real, hecho desde luego, que permite corregir deficiencias estructurales y semánticas del Análisis Intervalar Clásico, pero que sobretodo funda la teoría intervalar en la función básica de los intervalos como referencias al sistema de los números reales compatibles con la inevitable necesidad de truncación que acompaña a cualquier valor numérico experimental. Revisada la teoría básica del análisis intervalar modal, nos proponemos aplicarla a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería. Así, al plantearnos la resolución de problemas incluso elementales, como el de propagación del calor en una dimensión, nos encontramos con problemas de planteo en la aplicación de la teoría intervalar debido a las restricciones que impone la posibilidad de cálculos optimales. Esta situación lleva al estudio de la optimalidad condicionada que se ha presentado en el tercer capítulo de la tesis.Admitiendo restricciones sobre las modalidades de los argumentos de las funciones racionales se obtienen conceptos nuevos como el de modalidad partida o el de optimalidad lateral, que finalmente permiten introducir el concepto de función racional sintácticamente c-conmutativa, que permite obtener un conjunto más amplio de funciones a las que se les puede asociar un cálculo optimal. Sobre el conjunto de los intervalos podemos definir diversos sistemas de operaciones obteniendo por ejemplo el sistema de los intervalos modales dotados de su aritmética fundamental o bien dotados de una aritmética lineal o paralela. Esta última aritmética se introduce en el cuarto capítulo de la tesis. Desde el punto de vista del análisis intervalar modal hemos estudiado ecuaciones en diferencias definidas como solución numérica a ecuaciones diferenciales. El modelo intervalar y los métodos de cálculo numérico son objetivamente distintos: mientras que el cálculo numérico calcula trayectorias singulares aproximadas, el cálculo intervalar calcula haces de trayectorias asociadas a una estrategia determinada por las modalidades de los intervalos. Además, el cálculo intervalar está basado en la inclusividad de las soluciones intervalares y por ello da lugar esencialmente a modelos exactos desde el punto de vista de las semánticas asociadas a la inclusión; frente al caso del cálculo numérico que se apoya esencialmente en el concepto de aproximación.Una propiedad estructuralmente básica del Análisis intervalar es que no es adecuado aprovechar los algoritmos de los métodos numéricos clásicos como algoritmos intervalares, puesto que la estructura intervalar es esencialmente "mayor" que la de los números reales y por lo tanto debemos plantear cada problema intervalar siempre ab initio, en el interior del propio contexto intervalar. Fundamentalmente esto está determinado por el hecho de que no tiene sentido plantear las relaciones de inclusividad en el conjunto de los números reales, por reducirse a la identidad, y no tiene sentido prescindir de ellas en el contexto intervalar.Los capítulos 5, 6, y 7 estudian distintos problemas que plantean las ecuaciones en diferencias intervalares, distinguiendo las situaciones que necesitan un contexto lineal y en consecuencia el soporte aritmético de los intervalos de marcas (comentados en el apéndice B). Se han estudiado también problemas de contorno que se plantean en el cálculo numérico clásico, esencialmente sobre un contexto geométrico lineal. Dado que las operaciones aritméticas básicas de los intervalos modales no son operaciones lineales, no serán las operaciones adecuadas para modelos que pidan linealidad global. Los sistemas con operaciones lineales obligarán a un uso más elaborado de la modalidad, pero mantienen la geometría lineal que usualmente está exigida por el planteo experimental del problema. En la misma consideración de un modelo lineal, sin embargo, y tal como se ha estudiado en el capítulo 6, aparece un problema lógico con la truncación de los intervalos, cuya solución lleva inevitablemente a la aritmética de marcas. En el apéndice A se presenta una biblioteca C++ que implementa la aritmética intervalar modal soportada por los coprocesadores Intel.