Este trabalho tem por objetivo estudar a regularidade de soluções de Equações Diferenciais Parciais Elípticas da forma Lu = f, para f 2 Lp(­), onde p > 1. Para isto, usamos a Decomposição de Calderon-Zygmund e um resultado que é consequência deste, o Teorema da Interpolação de Marcinkiewicz. Além disso, usando quocientes-diferença provamos a regularidade das soluções para o caso p = 2 e L = ¡¢ de uma forma alternativa.

Neste trabalho apresentamos um teorema que explicita condições necessárias e suficientes para que um polinômio f(X) 2 Q[X] seja solúvel por radicais reais, juntamente com algumas aplicações do mesmo. Além disso, mostramos que em Q[X] sempre e possível encontrar o grupo de Galois de qualquer polinômio f(X) 2 Q[X]. / In this text we present a Theorem which gives necessary and suficient conditions for a polynomial f(X) with rational coe cients to be soluble by real radicals, as well as some applications of this result. We also show that it is always possible to explicit the Galois group of any polynomial f(X) 2 Q[X].

O estudo das equações de Navier-Stokes desperta interesse dos estudiosos da área da análise numérica, visto que a partir destas pode-se determinar os campos de velocidade e pressão de um escoamento. Com estas equações também pode-se aproximar coeficientes aerodinâmicos, fato de grande interesse nas indústria automobilística e aeronáutica. Por isso, propõe-se estudar a aproximação das equações de Navier Stokes via o método de elementos finitos, que tem se mostrado um bom método de resolução de problemas envolvendo fiuidos. Estudam-se métodos de linearização do termo convectivo. Apresentam-se três propostas de métodos de discretização temporal para as equações dadas. Através da análise de erro e taxas de convergência para problemas com solução exata conhecida, comparam-se diferentes espaços de discretização espacial e diferentes métodos de discretização temporal. Introduz-se um modelo de regularização e através do cálculo dos coeficientes de arrasto e sustentação comprova-se a sua efetividade (no sentido de que ele permite trabalhar com malhas mais grossas, mas ainda obter soluções comparáveis àquelas obtidas por DNS). / The study of the Navier-Stokes equations arouses interest of researchers in the area of numerical analysis, since from these one can determine the velocity and pressure fields of a fiow. These equations approach aerodynamic coefficients, a fact of great interest in the aeronautical and automotive industries. Therefore, we propose to study an approximation of the Navier Stokes equations through the finite element method, which has shown to be a good method for solving problems involving fiuids. Ve study methods of linearizing the convective term, and present three methods for time discretization. Through error analysis and convergence rates for problems with known exact solution, we compare different spatial and time discretization methods. By calculating the drag and lift coefficients around a cilinder we confirm the effectiveness of the Leray-deconvolution model in comparison to direct simulation (DNS) for solving problems with coarser meshes.

Estudamos a estabilidade de equações diferenças usando o Método Direto de Lyapunov e estendemos os resultados através do Princípio de Invariância de La Salle. Apresentamos generalizações e ilustrações de aplicação destes resultados. / We study the stability of difference equations by using Lyapunov's Direct Method and we extend the results through La Salle's Invariance Principie. Generalizations and representative examples of the application of these results are given.

Neste trabalho demonstra-se que para uma classe grande de bilhares com fronteiras de curvatura positiva, negativa ou nula, a região de Pesin tem medida um. Também demonstra- se que a condição de Wojtkowski para curvas focalizadoras não é necessária para ter região de Pesin de medi da um; mais precisamente, encontram- se condições abertas para curvas C4 focalizad oras distintas das dadas por Wojtkowski. As demonstrações aqui apresentadas tornam-se bem mais simples que as dos trabalhos até aqui exis tentes pois uti lizamos procedimentos desenvolvidos por Lewowicz sobre o comport amento assintótico de certas formas quadráticas. / We prove that for a large class of bil l iards with boundaries of pos iti ve, negative or null curvature the region of Pesin has measure one. We also prove that Wojtkows ki's condition on focal curves is not necessary for Pesin's region of measure one; more precisely, we give open conditions for c4 focal curves which are distinct from thos e of Wojtkowski . The proofs presented herein are much simpler than the previously existing ones since we use Lewowicz' s resu lts on assymptotic behaviour of certain quadratic forms.

A inversa de Drazin é apresentada, sendo primeiramente estudada sobre anéis comutativos e após, esta noção é particularizada para o caso de matrizes quadradas definidas sobre o corpo dos complexos e sobre os anéis Zt. Também são vistas aplicações da inversa de Drazin em Equações Diferenciais e em Diferenciação Matriciais com coeficientes singulares e em Criptografia. / The inverse of Drazin is developed for rings and then restricl to the case of equare matrices over complex ficld and over finite fields or congruence rings. Applications to singular differe ntial and diference equation and cryptography are considered in this work .

Este trabalho tem por objetivo estudar a unicidade de soluções positivas para o problema de valores de fronteira dado por: Laplaciano de u mais f(u) igual a zero e u>0, na bola de raio r em Rn, e u=0 na fronteira desta bola, onde f(u) é dada pela soma de u na potência p com u na potência q, com 1<q<p, (n-2)p<n+2 e n(p-1)<(=)2(q+1) e n>2. Sendo assim, temos por finalidade demostrar o teorema que garante a unicidade de solução positiva para o problema dado.

Este trabalho tem por objetivo estudar a unicidade de soluções positivas para o problema de valores de fronteira dado por: Laplaciano de u mais f(u) igual a zero e u>0, na bola de raio r em Rn, e u=0 na fronteira desta bola, onde f(u) é dada pela soma de u na potência p com u na potência q, com 1<q<p, (n-2)p<n+2 e n(p-1)<(=)2(q+1) e n>2. Sendo assim, temos por finalidade demostrar o teorema que garante a unicidade de solução positiva para o problema dado.

Neste trabalho demonstra-se que para uma classe grande de bilhares com fronteiras de curvatura positiva, negativa ou nula, a região de Pesin tem medida um. Também demonstra- se que a condição de Wojtkowski para curvas focalizadoras não é necessária para ter região de Pesin de medi da um; mais precisamente, encontram- se condições abertas para curvas C4 focalizad oras distintas das dadas por Wojtkowski. As demonstrações aqui apresentadas tornam-se bem mais simples que as dos trabalhos até aqui exis tentes pois uti lizamos procedimentos desenvolvidos por Lewowicz sobre o comport amento assintótico de certas formas quadráticas. / We prove that for a large class of bil l iards with boundaries of pos iti ve, negative or null curvature the region of Pesin has measure one. We also prove that Wojtkows ki's condition on focal curves is not necessary for Pesin's region of measure one; more precisely, we give open conditions for c4 focal curves which are distinct from thos e of Wojtkowski . The proofs presented herein are much simpler than the previously existing ones since we use Lewowicz' s resu lts on assymptotic behaviour of certain quadratic forms.

A inversa de Drazin é apresentada, sendo primeiramente estudada sobre anéis comutativos e após, esta noção é particularizada para o caso de matrizes quadradas definidas sobre o corpo dos complexos e sobre os anéis Zt. Também são vistas aplicações da inversa de Drazin em Equações Diferenciais e em Diferenciação Matriciais com coeficientes singulares e em Criptografia. / The inverse of Drazin is developed for rings and then restricl to the case of equare matrices over complex ficld and over finite fields or congruence rings. Applications to singular differe ntial and diference equation and cryptography are considered in this work .