Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria tiene por objetivo principal el estudio de nilsistemas que aparecen como factores -los nilfactores- de sistemas dinámicos que se obtienen como extensiones por cociclo de una rotación minimal. El estudio de nilsistemas y nilfactores ha ganado importancia desde la demostración dada por B. Host y B. Kra, en 2005, de la convergencia de algunas medias ergódicas no convencionales. A partir de su demostración se han encontrado aplicaciones importantes de los nilsistemas en Teoría Ergódica y que han inspirado otras áreas de las matemáticas, como la Combinatoria Aditiva. En su artículo, Host y Kra desarrollaron una teoría de nilsistemas desde el contexto medible. El desarrollo topológico de los nilsistemas se ha profundizado a partir de dos artículos: de B. Host, B. Kra y A. Maass y de S. Shao y X. Ye, en 2010, donde se muestra que cada sistema dinamico topológico tiene factores que son nilsistemas de cualquier orden y que se obtienen a partir de la relación denominada de proximalidad regional de orden d, d>=1. Dada la falta de cálculos explícitos de estos nilfactores para sistemas no triviales, en la presente memoria se estudian estos objetos en una familia de sistemas dinámicos bien estudiada. Durante esta investigación, se encuentra un objeto introducido por G. Atkinson en 1978 para extensiones por cociclos en grupos abelianos localmente compactos, llamado rango esencial, el cual entre otras cosas, caracteriza los sistemas topológicamente ergódicos. Se observa una gran similitud entre una caracterización del rango esencial, dada por M. Lemańczyk y M. Mentzen en 2002, y la forma en que los llamados paralelepípedos dinámicos caracterizan la relación de proximalidad regional de orden d, mostrando que una adecuada generalización da buenas herramientas para el cálculo de los nilfactores maximales. Se define entonces el rango esencial de orden d de una extensión por cociclo, mostrando su estrecha conexión con la relación de proximalidad regional de orden d-1, a través de la cual se obtienen los nilfactores maximales. El rango esencial de orden d resulta tener buenas propiedades que simplifican el estudio de los nilfactores en nuestro contexto. Se muestra que los nilfactores de extensiones por cociclo de una rotación minimal son también extensiones por cociclos de la misma rotación, o simplemente la rotación. En el caso del nilfactor maximal de orden 1, i.e., el factor equicontinuo maximal, se muestra que sólo hay dos alternativas, éste es el sistema en si mismo -si el cociclo es linealizable y de grado nulo- o la rotación base -en otro caso. Además se muestra que los nilfactores de estos sistemas necesariamente se estabilizan y se conjetura que tal estabilización es de orden 2. Como resultado parcial en esta dirección, se muestra que en el caso linealizable, el sistema es siempre un nilsistema básico de orden 2. El estudio del caso no linealizable permitiría concluir sobre la veracidad de tal conjetura. El concepto de rango esencial de orden d introducido en el presente trabajo puede extenderse a un contexto más general, como es el caso del rango esencial introducido por Atkinson, quedando abierto el estudio de este objeto como herramienta para el cálculo de nilfactores en sistemas más generales.

The purpose of this paper is to introduce and discuss the concept of gα-compactness for topological spaces. An example is considered to show that it is strictly stronger than that of compactness.

Orientador: Eduardo Garibaldi / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:18:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 FerreiraJunior_LinoRamada_M.pdf: 1117729 bytes, checksum: 6c350ee703712b44bec62c6e67597138 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Nesta dissertação, estudamos técnicas de otimização ergódica no contexto de uma dinâmica do tipo Anosov. Mostramos diferentes maneiras de abordar o problema de maximização da integral de potenciais holderianos definidos sobre um espaço métrico compacto na presença de uma dinâmica hiperbólica. Discutimos o formalismo termodinâmico sobre modelo expansivo, obtendo probabilidades maximizantes em temperatura nula. No caso hiperbólico, determinamos uma desigualdade cohomológica em um sistema anfidinâmico, da qual resulta subação lipschitziana para potenciais lipschitzianos associados a difeomorfismos de Anosov. Finalmente, argumentamos que probabilidades periódicas são maximizantes para abertos de funções na topologia lipschitziana / Abstract: In this master's thesis, we study ergodic optimization techniques in the context of an Anosov dynamical system. We present different approaches to the problem of maximization of the integral of Hölder potentials on a compact metric space in the presence of a hyperbolic dynamics. We discuss the thermodynamical formalism in an expansive model, obtaining maximizing probabilities at zero temperature. In the hyperbolic case, we determine a cohomological inequality in an amphidynamical system, from which follows a Lipschitz subaction for Lipschitz potentials associated with Anosov diffeomorphisms. Finally, we argue that periodic probabilities are maximizing for open sets of functions in the Lipschitz topology / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

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Neste trabalho, provamos um caso particular do Teorema de Ratner de classificação de medidas, que nos diz que se X =Γ\\G é um espaço homogêneo, onde G é um grupo de Lie e Γ é um lattice de G, então dado um subgrupo unipotente U de G, conseguimos classificar as medidas ergódicas com relação a ação por translação do grupo U em X. Além do Teorema de Ratner de classificação de medidas, falamos sobre o Teorema de Ratner de equidistribuição e o Teorema de Ratner do fecho da órbita, que nos dizem como são as órbitas pela ação por translação do grupo U e como é sua dinâmica em X, do ponto de vista da Teoria Ergódica. Embora estes últimos resultados não sejam provados nesta dissertação, exibimos uma importante aplicação do Teorema de Ratner do fecho da órbita em teoria dos números, provando a Conjectura de Oppeinheim, também conhecida como Teorema de Margullis. / In this work, we prove a particular case of the Ratners measure classification theorem, which tell us that if X = Γ\\G is an homogeneous space, where G is a Lie group and Γ is a lattice of G, then given any unipotent group U of G, we can classify the measures that are ergodic with respect to the translation group action of U in X In addition to the Ratners measure classification theorem, we talk about the Ratners equidistribuition theorem and the Ratners orbit closure theorem, which tell us how the orbit due the action by translation by the group U are and how the dynamics in X is, in an Ergodic Theory point of view. While we didnt prove the last two Ratners theorems, we exhibit an important application of the Ratners orbit closure theorem in number theory, proving the Oppeinheim Conjecture, also know as Margullis Theorem.

Nesta dissertação estudamos uma probabilidade obtida a partir de conceitos da Mecânica Estatística Quântica do ponto de vista da Teoria Ergódica. A probabilidade é obtida a partir de um estado KMS sobre um lattice unidimensional de spins quânticos. Mostramos que esta probabilidade é mixing para o shift. Além disso, mostramos que vale um princípio dos grandes desvios para uma certa classe de funções e exploramos algumas propriedades do Jacobiano. Iremos considerar o estado KMS associado a um certo Hamiltoniano específico agindo sobre o lattice de spins quânticos. Nas seções iniciais vamos apresentar alguns conceitos e prerequisitos básicos (como operadores densidade, produto tensorial, C*-algebras e estados KMS) para o entendimento do resultado principal / In this dissertation we study a probability derived from Quantum Statistical Mechanics through the viewpoint of Ergodic Theory. The probability is obtained from a KMS state acting on a one dimensional lattice of quantum spins. We show that this probability is mixing for the shift map. Moreover, we show that a large deviation principle is true for a certain class of functions and we explore some properties of the Jacobian. We will consider the KMS state associated to a certain specific Hamiltonian acting on the quantum spin lattice. In the initial sections we will present some concepts and prerequisites (such as density operators, tensor product, C*-algebras and KMS states) for the understanding of our main results.

We review the concept of invariant measure and study conditions under which linear combinations of averages along periodic orbits are dense in the space of invariant measures. / Revisamos el concepto de medida invariante y estudiamos condiciones bajo las cuales combinaciones lineales de promedios a lo largo de órbitas periódicas son densas en el espacio de medidas invariantes.

Submitted by Nilton Cesar Moretti Junior null (niiilton@hotmail.com) on 2018-07-31T04:58:47Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-Final.pdf: 1149444 bytes, checksum: 6c44dc0b9f2462ee08c23da4a240fa0a (MD5) / Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2018-07-31T18:13:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 morettijunior_nc_me_sjrp.pdf: 1461434 bytes, checksum: 7a6418b1192346448fc927ec6c6650dc (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-31T18:13:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 morettijunior_nc_me_sjrp.pdf: 1461434 bytes, checksum: 7a6418b1192346448fc927ec6c6650dc (MD5) Previous issue date: 2017-08-30 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho estudamos vários resultados relacionados com sistemas dinâmicos, teoria dos números e combinatória. Em particular, provamos os teoremas de Van Der Waerden, Szemeredi, Koksma e Weyl. / In this work we study several results connected with dynamical systems, number thoery and combinatorics. In particular, we prove Van Der Waerden, Szemer edi, Koksma and Weyl’s theorems.

Submitted by Santos Davilene (davilenes@ufba.br) on 2017-05-30T21:33:41Z No. of bitstreams: 1 tesededoutorado_thiago_bomfim_final.pdf: 1432533 bytes, checksum: e5fc0b79704aaec51e9363c8b86f6553 (MD5) / Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-01T12:41:44Z (GMT) No. of bitstreams: 1 tesededoutorado_thiago_bomfim_final.pdf: 1432533 bytes, checksum: e5fc0b79704aaec51e9363c8b86f6553 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-01T12:41:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tesededoutorado_thiago_bomfim_final.pdf: 1432533 bytes, checksum: e5fc0b79704aaec51e9363c8b86f6553 (MD5) / Nesta tese estudamos classes robustas de sistemas dinâmicos não-uniformemente expansores. Inicialmente provamos a diferenciabilidade da pressão topológica e de estados de equilíbrio e suas densidades com respeito ao sistema dinâmico, obtendo fórmulas precisas para as derivadas. Tais resultados, que decorrem da uniformidade do gap espectral dos respectivos operadores de transferência obtida a partir da técnica de cones e métricas projetivas, têm fortes consequências nas propriedades estatísticas do sistema dinâmico. De fato, provamos que a média e a variância obtidos do teorema central do limite variam diferenciavelmente com a dinâmica e também que vale um princípio de grandes desvios cuja função taxa varia diferenciavelmente com a dinâmica. Mais ainda, obtemos que a função taxa de decaimento de correlações em tempo-n para a medida de máxima entropia e diferenciável com respeito ao sistema dinâmico com derivada assintótica a zero. / No estudo das propriedades erg´odicas destas classes de sistemas dinˆamicos foi inclu´ıda tamb´em uma descri¸c˜ao topol´ogica sobre o formalismo multifractal associado a m´edias de Birkhoff e sequˆencias n˜ao necessariamente aditivas motivadas pelo estudo de expoentes de Lyapunov em dimens˜ao alta. Para estados de equil´ıbrio que exibem a propriedade de Gibbs fraco, provamos que a press˜ao topol´ogica do conjunto de pontos cuja m´edia de Birkhoff est´a afastada da m´edia espacial correspondente ao ´unico estado de equil´ıbrio pode ser expressa em termos press˜ao topol´ogica de todo sistema e da taxa grandes desvios. Extens˜oes para sistemas dinˆamicos com singularidades, fluxos e difeomorfismos hiperbólicos bem como conjuntos irregulares associados a medidas empíricas foram também obtidos.

This work has its motivation in the study of the ergodic properties of the Lorenz geometric model, constructed to approximate the behavior of solutions of the Lorenz equations. Simultaneously, Afraimovich in [17] and Guckenheimer and Williams [18], constructed a geometric model that mimics the dynamics of the original Lorenz equations. Here, we build ergodic physical measures for two types of applications that arise from the Lorenz geometric model. The first one is a piecewise expanding one-dimensional map and the second is a two-dimensional application wich contracts the leaves of an invariant foliation. To construct the ergodic physical measure for the one dimensional Lorenz map, we make use of an operator (transfer operator) acting in the space of bounded variation functions, while the second uses the Riesz representation theorem and some other topological properties. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Este trabalho tem sua motivação no modelo geométrico construído para aproximar o comportamento das soluções das equações de Lorenz. Simultaneamente Afraimovich em [17] e Guckenheimer e Williams [18] construíram um modelo geométrico. Essencialmente ele consiste na construção de medidas físicas e ergódicas para dois tipos de aplicações, uma unidimensional que é seccionalmente expansora (piecewise expanding) e outra bidimensional que contrai as folhas de uma folheação invariante. A primeira faz uso de um operador (operador de transferência) agindo no espaço das funções de variação limitada, enquanto que a segunda utiliza o teorema de representação Riesz bem como algumas outras propriedades topológicas.