Le système de Garnier de rang N est un système d'équations différentielles non linéaires. Ses solutions locales, de dimension N, paramétrisent les déformations isomonodromiques d'équations différentielles scalaires d'ordre 2 sur la sphère de Riemann avec 2N + 3 singularités fuchsiennes (N + 3 points singuliers essentiels et N points singuliers apparents). Ces solutions sont en générales très transcendantes, mais il possède aussi des solutions algébriques. Ces dernières apparaissent par exemple lorsque l'on déforme une équation scalaire à monodromie finie, ou pour certaines monodromies réductibles. On peut aussi construire des déformations isomonodromiques algébriques en tirant en arrière une équation fuchsienne fixée par une famille à N paramètres de revêtements ramifiés : c'est la méthode utilisée par Kitaev dans le cas N = 1, i.e. pour l'équation de Painlevé VI. Nous classifions toutes les solutions algébriques obtenues par cette méthode pour N arbitraire, dont la monodromie n'est pas élémentaire (en particulier irréductible et infinie). Il n'y en a pas pour N supérieur ou égal à 4. Certaines de ces solutions sont calculées explicitement dans la dernière section. La méthode de Kitaev permet de construire des solutions algébriques incomplètes pour tout N (c'est à dire de dimension plus petite que N, la solution complète n'étant pas nécessairement algébrique) et aussi en genre quelconque. Dans le cas des connexions holomorphes de rang 2 sur les courbes de genre 2, nous classifions les déformations algébriques non élémentaires obtenue par cette méthode : elles sont toutes incomplètes, de dimension 1. Toujours dans ce cadre, nous étudions une famille de dimension 4 déformations à 2 paramètres obtenues à partir de solutions de systèmes de Garnier de rang N = 2. Cette famille, qui apparait sur les courbes bi-elliptiques, est caractérisée en termes de monodromie.

À la fin des années quatre-vingts, Vladimir G. Berkovich a introduit une notion d'espace analytique sur tout anneau de Banach. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'etudier le cas particulier où l'anneau de Banach considéré est l'anneau des entiers Z ou, plus généralement, un anneau d'entiers de corps de nombres. <br /><br />La majeure partie de notre travail est consacrée à la droite analytique. Elle jouit de propriétés semblables à celles des espaces analytiques complexes d'un point de vue topologique, mais également algébrique, son faisceau structural étant cohérent. En outre, en termes cohomologiques, ses disques se comportent comme des espaces de Stein.<br /><br />Pour finir, nous exposons quelques applications des résultats géométriques énoncés auparavant. Nous obtenons ainsi quelques propriétés de classes de fonctions particulières, telles les fonctions holomorphes sur un disque contenu dans C et dont le développement en un point est à coefficients entiers.

Dans cette thèse, nous allons dans un premier temps proposer une définition d'espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme induite par le maximum des normes de ses différents plongements complexes. Cette définition s'appuie sur la théorie des espaces analytiques sur un corps non archimédien introduite par V. Berkovich.Nous montrerons ensuite que la définition que nous proposons donne lieu à une catégorie qui satisfait des propriétés essentielles comme une description " simple " des ensembles morphismes entre espaces analytiques, l'existence de produits fibrés et d'un foncteur d'analytification induit par une propriété universelle.Dans une troisième partie, nous étudierons divers propriétés des morphismes finis entre espaces analytiques et en déduirons la connexité locale par arcs des espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme décrite ci-dessus.Enfin, nous définirons une notion de dimension pour les espaces de Berkovich sur un anneau d'entiers de corps de nombres et étudierons plus en détail le foncteur d'analytification en montrant par exemple que le morphisme d'analytification est fidèlement plat et que ce foncteur respecte la dimension. / In the first part of this thesis, we give a definition of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm induced by the maximum of the norms of thel complex embeddings. This definition uses V. Berkovich’s theory of analytic spaces over a non-archimedean field. Then we show that this definition leads to a category which satisfies some basic properties as a “simple” description of sets of morphisms between analytic spaces, the existence of fiber products and analytification functor defines by a universal property. In a third part, we study some properties of finite morphisms between analytic spaces and deduce the local arcwise connectedness of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm described above. Finally, we define a notion of dimension for Berkovich spaces over a ring of integers of number field and study in more detail the analytification functor, in particular, that the analytification morphism is faithfully flat and that this functor respects dimension.