O estudo de propagação de epidemias tem gerado uma série de trabalhos propondo distintos modelos que buscam representar possíveis cenários para que se possa ter um maior controle sobre a propagação. O grande objetivo destes estudos _e a capacidade de não somente reproduzir a evolução de epidemias passadas mas poder prever e, na medida do possível, evitar o surgimento de novos surtos epidêmicos ou erradicar um estado endêmico. Boa parte destes trabalhos utilizam como base o modelo Suscetível-Infectante-Removido, ou modelo SIR, de Kermack e McKendrick. No entanto, abordagens semelhantes porém via modelos matemáticos e simulações computacionais têm apresentado distintos comportamentos devido ao fato de que o primeiro assume uma taxa de remoção constante, o que representa uma distribuição exponencial do período de infecção na população, enquanto as simulações em geral utilizam um período de infecção fixo e idêntico para todos os indivíduos da população. Em função disto, utilizamos um modelo matemático que vem a ser uma generalização do modelo SIR utilizando equações com atraso, de forma que podemos inserir explicitamente o tipo de distribuição nas equações. Desta forma, vimos que o modelo matemático consegue reproduzir tanto o comportamento temporal médio das simulações para diversas distribuições como também reproduz o resultado do modelo SIR original quando é utilizada uma distribuição exponencial. Fizemos estas comparações tanto para os modelos sem dinâmica vital como para os modelos em que tal dinâmica está presente e vimos que o modelo com atraso sempre consegue reproduzir o comportamento médio das simulações para as distribuições testadas. Além disto, vimos que a evolução temporal da epidemia depende fortemente da distribuição do período de infecção, e que no caso em que a dinâmica vital está presente esta dependência também aparece no limiar epidêmico e no estado endêmico. Como este modelo permite inserir a distribuição populacional do período de infecção, o aplicamos para estudar políticas de tratamento em que o efeito deste leva à redução do período de infecção e vimos que é possível determinar a fração mínima da população que deve receber tratamento para que uma situação de epidemia iminente seja contida. Embora o modelo SIR seja muito útil para modelar uma grande variedade de doenças, ele se aplica somente aquelas em que os indivíduos infectados adquirem imunidade permanente ou morrem com a enfermidade. No entanto, existe uma classe de doenças na qual esta imunidade adquirida é apenas temporária, onde os indivíduos voltam a ser suscetíveis após transcorrido um certo período de tempo. Tais doenças possuem uma evolução t__- pica representada pelo modelo Suscetível-Infectante-Recuperado-Suscetível, ou modelo SIRS. Estas doenças normalmente apresentam um quadro endêmico com surtos epidêmicos cíclicos. A existência de tais oscilações em epidemias é, há muito tempo, um desafio para a formulação de modelos epidemiológicos. Se elas são resultado de agentes externos e sazonais, ou se surgem da dinâmica intrínseca da doença é uma questão em aberto. É sabido que termos de atraso temporal fixos desestabilizam o estado estacionário do modelo SIRS padrão, dando origem a oscilações sustentadas para certos valores dos parâmetros epidemiológicos. Neste trabalho, partindo do modelo SIRS padrão, estudamos uma generalização dos termos relativos ao tempo em que os agentes permanecem infectantes ou imunes. Apresentamos diagramas de oscilação (para as amplitudes e períodos de oscilação) em termos dos parâmetros do modelo, que mostram como a forma das distribuições destes tempos característicos (de infectividade e imunidade) influencia as oscilações. A formulação é feita em termos de equações diferenciais com atraso analisadas através de integração numérica e linearização. Também apresentamos uma simulação deste modelo ressaltando onde ela reforça os resultados do modelo determinístico e, onde isto não ocorre, o porque das divergências. Além destes modelos de campo médio, construímos um modelo de agentes para estudarmos a influência da mobilidade dos agentes na propagação de uma doença com dinâmica Suscetível-Infectante-Suscetível (SIS). Neste modelo, ao definirmos a taxa reprodutiva básica da doença com base nos parâmetros relevantes, vimos que a dependência do estado endêmico segue a mesma regra dos modelos de campo médio, porém o limiar epidêmico _e o mesmo que se obtém para a aplicação do modelo SIS em uma rede bidimensional. Outro resultado importante desta abordagem é o fato de que, dependendo da densidade de agentes, é possível obter estados endêmicos oscilatórios, que é o que em geral se vê na realidade mas que não _e reproduzido nos modelos de campo médio, apenas em modelos em que os contatos entre os agentes é definido através de uma rede. / The study of epidemic propagation has generated a series of researches proposing di erent models that tries to represent possible scenarios so that we could have more control over the propagation process. The aim of these studies is the ability not only of reproducing past epidemic evolutions but to forecast and, if possible, avoid new epidemic bursts or eradicate endemic states. Most of the research n this area are based on the Susceptible-Infective- Removed model, or SIR model, proposed by Kermack and McKendrick. Nevertheless, similar approaches using mathematical models or computational simulations have presented distinct behavior due to the fact that the rst assumes a constant removal rate, which represents an exponential distribution of the infectious period in the population, while simulations in general uses a xed infectious period identical to each individual in the population. In view of that, we have used a mathematical model which is a generalization of the SIR model using delayed equations, so that we can insert those time distributions explicitly into the equations. With this model, we show that the mathematical model can reproduce the average behavior of the time evolution given by simulations for several distributions and also the standard SIR model when we use an exponential distribution. We have done comparisons for model with and without vital dynamics and we show that the model with time delay can always reproduce the mean behavior of the simulations for all distributions tested. In addition, we can see that the time evolution of the epidemic spread is highly dependent on the infectious period distribution. When adding vital dynamics this dependence is also present in the epidemic threshold and endemic state. Given that this model allows us to use the population distribution of the infectious period, we applied it to study treatment policies where the e ect of such treatment reduces this period and we show that is possible to determine the minimum fraction of the population that must be treated in order to prevent an epidemic burst or an endemic state. Although the SIR model is very useful to model a great variety of diseases, it can only be applied to those where the infected individuals acquire permanent immunity or die with the disease. Nevertheless, there is a huge class of diseases where the acquired immunity is only temporary, so that the individuals become susceptible again after a given period. Such diseases have a typical evolution represented by the Susceptible-Infective- Removed-Susceptible model, or SIRS model. They usually have an endemic state with cyclic epidemic bursts. The existence of such oscillations in epidemics has been, since a very long time, a challenge for the formulation of epidemiological models. If they result from external and seasonal forces or if they emerge from the intrinsic dynamics of the disease is an open question. It is known that xed time delays destabilize the stationary states of the standard SIRS model, given rise to sustained oscillations for certain values of the epidemiological parameters of the model. In this work, starting from the standard SIRS model, we study a generalization of the terms relative to the infectious and immunity periods. We present oscillation diagrams (for the amplitude and period of oscillations) in terms of the parameters of the model, which shows how the shape of those characteristic time distributions (infectious and immunity) in uence the oscillations. The model formulation is made with integro-di erential equations with delay analyzed by numerical integration and linearization of the system. We also present a simulation of this model highlighting where it agrees with the results of the deterministic model and, when it diverges, explaining why it diverges. Along with those mean eld models, we have also built an agent based model to study the impact of agent mobility in the disease propagation of a Susceptible- Infective-Susceptible (SIS) dynamic. In this model, by de ning the basic reproduction rate in terms of the relevant parameters, we show that the endemic state has the same dependency on it as the mean eld models, but the epidemic threshold is the same as the one obtained by the implementation of the SIS model in a bidimensinal lattice. Another important result of this approach is the fact that, given the agents density, it is possible to obtain oscillatory endemic states, a common result in real diseases but absent in the mean eld models, being present only when the contact between agents is de ned by a network.

Este trabalho é o resultado do nosso interesse em estudar os princípios fundamentais que envolvem a questão do desenvolvimento sustentável, mais especificamente a questão do gerenciamento econômico ótimo de recursos biológicas renováveis. Modificamos modelos populacionais extremamente simples incluímos retirada contínua. Em relação à pesca, examinamos com maior detalhe o modelo de produção geral de Schaefer. Calculamos e analisamos a estabilidade linear em cada ponto de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. O comportamento dinâmico global é obtido pela integração numérica. A partir da modelagem de exploração de recursos biológicos, introduzimos o conceito de produção máxima sustentável (MSY), que é o objetivo de muitas agências de gerenciamento de recursos renováveis. Após observarmos a ineficiência da NI SY por não incorporar os custos de exploração de recursos, estudamos o modelo bioeconômico de Gordon, e a definição de produção máxima econômica (M EY). Aprendemos da teoria econômica padrão o conceito de "desconto" , que reflete o valor do tempo, e então o problema dinâmico é formulado para determinar a função que ma.ximize o valor presente descontado. Após uma breve discussão sobre o problema variacionallinear e a teoria de controle, concluímos que, ao considerar os custos de exploração e o valor do tempo, a política de retirada ótima consiste na política de aproximação mais rápida (M RAP) ao nível do estoque de equilíbrio ótimo, ao qual corresponde a produção econômica ótima (OEY). Como casos especiais, observamos que se ambos os custos de exploração e a taxa de desconto forem nulos, então a NI SY é ótima; e se a taxa de desconto for zero mas o custo de exploração for maior que zero, então a 1\1 EY é ótima. Finalmente, incluímos também um exemplo baseado no modelo de Schaefer, no qual podemos observar que o nível do estoque de equilíbrio ótimo pode ser muito sensível à taxa do desconto. / We are interested in studying the fundamental principies underlying the problem of sustainable development, more specifically the economics of optimal management of biological renewable resources harvesting. Vi/e modify extremely simple population models to allow for continuous harvesting. Concerning fisheries, we examine in greater detail the Schaefer's general production model. We calculate and develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systems we are concerned with. The global dynamic behavior is obtained by numerical integration. From the modeling of biological resource exploitation, we introduce the Maximum Sustainable Yield (MSY) concept, which is the objective of many resource management agencies. After realizing the failure of MSY to incorporate costs of resource exploitation, we study the bioeconomic Gordon's model and the definition of Maximum Economic Yíeld (MEY). We learn from standard economic theory the "discounting" concept, for reflecting the "value of time" , and so the dynamic problem is formulated as to determine the function effort that maximizes the discounted present value. After a brief discussion about linear variational problem and control theory, we conclude that, when both exploitation costs and value of time are considered, the optimal harvest policy consists of the most rapid approach policy (MRAP) to the optimal equilibrium stock level, corresponding to the Optimal Economic Yield (OEY). As special cases, we observe that if both exploitation costs and the discount rate are zero, then MSY is optimal; and if the discount rate is zero but the costs are greater than zero, then MEY is optimal. Finally, we also include examples based on the Schaefer model, from which we can observe that the optimal equilibrium stock level can be quite sensitive to the rate of discount.

O estudo de propagação de epidemias tem gerado uma série de trabalhos propondo distintos modelos que buscam representar possíveis cenários para que se possa ter um maior controle sobre a propagação. O grande objetivo destes estudos _e a capacidade de não somente reproduzir a evolução de epidemias passadas mas poder prever e, na medida do possível, evitar o surgimento de novos surtos epidêmicos ou erradicar um estado endêmico. Boa parte destes trabalhos utilizam como base o modelo Suscetível-Infectante-Removido, ou modelo SIR, de Kermack e McKendrick. No entanto, abordagens semelhantes porém via modelos matemáticos e simulações computacionais têm apresentado distintos comportamentos devido ao fato de que o primeiro assume uma taxa de remoção constante, o que representa uma distribuição exponencial do período de infecção na população, enquanto as simulações em geral utilizam um período de infecção fixo e idêntico para todos os indivíduos da população. Em função disto, utilizamos um modelo matemático que vem a ser uma generalização do modelo SIR utilizando equações com atraso, de forma que podemos inserir explicitamente o tipo de distribuição nas equações. Desta forma, vimos que o modelo matemático consegue reproduzir tanto o comportamento temporal médio das simulações para diversas distribuições como também reproduz o resultado do modelo SIR original quando é utilizada uma distribuição exponencial. Fizemos estas comparações tanto para os modelos sem dinâmica vital como para os modelos em que tal dinâmica está presente e vimos que o modelo com atraso sempre consegue reproduzir o comportamento médio das simulações para as distribuições testadas. Além disto, vimos que a evolução temporal da epidemia depende fortemente da distribuição do período de infecção, e que no caso em que a dinâmica vital está presente esta dependência também aparece no limiar epidêmico e no estado endêmico. Como este modelo permite inserir a distribuição populacional do período de infecção, o aplicamos para estudar políticas de tratamento em que o efeito deste leva à redução do período de infecção e vimos que é possível determinar a fração mínima da população que deve receber tratamento para que uma situação de epidemia iminente seja contida. Embora o modelo SIR seja muito útil para modelar uma grande variedade de doenças, ele se aplica somente aquelas em que os indivíduos infectados adquirem imunidade permanente ou morrem com a enfermidade. No entanto, existe uma classe de doenças na qual esta imunidade adquirida é apenas temporária, onde os indivíduos voltam a ser suscetíveis após transcorrido um certo período de tempo. Tais doenças possuem uma evolução t__- pica representada pelo modelo Suscetível-Infectante-Recuperado-Suscetível, ou modelo SIRS. Estas doenças normalmente apresentam um quadro endêmico com surtos epidêmicos cíclicos. A existência de tais oscilações em epidemias é, há muito tempo, um desafio para a formulação de modelos epidemiológicos. Se elas são resultado de agentes externos e sazonais, ou se surgem da dinâmica intrínseca da doença é uma questão em aberto. É sabido que termos de atraso temporal fixos desestabilizam o estado estacionário do modelo SIRS padrão, dando origem a oscilações sustentadas para certos valores dos parâmetros epidemiológicos. Neste trabalho, partindo do modelo SIRS padrão, estudamos uma generalização dos termos relativos ao tempo em que os agentes permanecem infectantes ou imunes. Apresentamos diagramas de oscilação (para as amplitudes e períodos de oscilação) em termos dos parâmetros do modelo, que mostram como a forma das distribuições destes tempos característicos (de infectividade e imunidade) influencia as oscilações. A formulação é feita em termos de equações diferenciais com atraso analisadas através de integração numérica e linearização. Também apresentamos uma simulação deste modelo ressaltando onde ela reforça os resultados do modelo determinístico e, onde isto não ocorre, o porque das divergências. Além destes modelos de campo médio, construímos um modelo de agentes para estudarmos a influência da mobilidade dos agentes na propagação de uma doença com dinâmica Suscetível-Infectante-Suscetível (SIS). Neste modelo, ao definirmos a taxa reprodutiva básica da doença com base nos parâmetros relevantes, vimos que a dependência do estado endêmico segue a mesma regra dos modelos de campo médio, porém o limiar epidêmico _e o mesmo que se obtém para a aplicação do modelo SIS em uma rede bidimensional. Outro resultado importante desta abordagem é o fato de que, dependendo da densidade de agentes, é possível obter estados endêmicos oscilatórios, que é o que em geral se vê na realidade mas que não _e reproduzido nos modelos de campo médio, apenas em modelos em que os contatos entre os agentes é definido através de uma rede. / The study of epidemic propagation has generated a series of researches proposing di erent models that tries to represent possible scenarios so that we could have more control over the propagation process. The aim of these studies is the ability not only of reproducing past epidemic evolutions but to forecast and, if possible, avoid new epidemic bursts or eradicate endemic states. Most of the research n this area are based on the Susceptible-Infective- Removed model, or SIR model, proposed by Kermack and McKendrick. Nevertheless, similar approaches using mathematical models or computational simulations have presented distinct behavior due to the fact that the rst assumes a constant removal rate, which represents an exponential distribution of the infectious period in the population, while simulations in general uses a xed infectious period identical to each individual in the population. In view of that, we have used a mathematical model which is a generalization of the SIR model using delayed equations, so that we can insert those time distributions explicitly into the equations. With this model, we show that the mathematical model can reproduce the average behavior of the time evolution given by simulations for several distributions and also the standard SIR model when we use an exponential distribution. We have done comparisons for model with and without vital dynamics and we show that the model with time delay can always reproduce the mean behavior of the simulations for all distributions tested. In addition, we can see that the time evolution of the epidemic spread is highly dependent on the infectious period distribution. When adding vital dynamics this dependence is also present in the epidemic threshold and endemic state. Given that this model allows us to use the population distribution of the infectious period, we applied it to study treatment policies where the e ect of such treatment reduces this period and we show that is possible to determine the minimum fraction of the population that must be treated in order to prevent an epidemic burst or an endemic state. Although the SIR model is very useful to model a great variety of diseases, it can only be applied to those where the infected individuals acquire permanent immunity or die with the disease. Nevertheless, there is a huge class of diseases where the acquired immunity is only temporary, so that the individuals become susceptible again after a given period. Such diseases have a typical evolution represented by the Susceptible-Infective- Removed-Susceptible model, or SIRS model. They usually have an endemic state with cyclic epidemic bursts. The existence of such oscillations in epidemics has been, since a very long time, a challenge for the formulation of epidemiological models. If they result from external and seasonal forces or if they emerge from the intrinsic dynamics of the disease is an open question. It is known that xed time delays destabilize the stationary states of the standard SIRS model, given rise to sustained oscillations for certain values of the epidemiological parameters of the model. In this work, starting from the standard SIRS model, we study a generalization of the terms relative to the infectious and immunity periods. We present oscillation diagrams (for the amplitude and period of oscillations) in terms of the parameters of the model, which shows how the shape of those characteristic time distributions (infectious and immunity) in uence the oscillations. The model formulation is made with integro-di erential equations with delay analyzed by numerical integration and linearization of the system. We also present a simulation of this model highlighting where it agrees with the results of the deterministic model and, when it diverges, explaining why it diverges. Along with those mean eld models, we have also built an agent based model to study the impact of agent mobility in the disease propagation of a Susceptible- Infective-Susceptible (SIS) dynamic. In this model, by de ning the basic reproduction rate in terms of the relevant parameters, we show that the endemic state has the same dependency on it as the mean eld models, but the epidemic threshold is the same as the one obtained by the implementation of the SIS model in a bidimensinal lattice. Another important result of this approach is the fact that, given the agents density, it is possible to obtain oscillatory endemic states, a common result in real diseases but absent in the mean eld models, being present only when the contact between agents is de ned by a network.

Este trabalho é o resultado do nosso interesse em estudar os princípios fundamentais que envolvem a questão do desenvolvimento sustentável, mais especificamente a questão do gerenciamento econômico ótimo de recursos biológicas renováveis. Modificamos modelos populacionais extremamente simples incluímos retirada contínua. Em relação à pesca, examinamos com maior detalhe o modelo de produção geral de Schaefer. Calculamos e analisamos a estabilidade linear em cada ponto de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. O comportamento dinâmico global é obtido pela integração numérica. A partir da modelagem de exploração de recursos biológicos, introduzimos o conceito de produção máxima sustentável (MSY), que é o objetivo de muitas agências de gerenciamento de recursos renováveis. Após observarmos a ineficiência da NI SY por não incorporar os custos de exploração de recursos, estudamos o modelo bioeconômico de Gordon, e a definição de produção máxima econômica (M EY). Aprendemos da teoria econômica padrão o conceito de "desconto" , que reflete o valor do tempo, e então o problema dinâmico é formulado para determinar a função que ma.ximize o valor presente descontado. Após uma breve discussão sobre o problema variacionallinear e a teoria de controle, concluímos que, ao considerar os custos de exploração e o valor do tempo, a política de retirada ótima consiste na política de aproximação mais rápida (M RAP) ao nível do estoque de equilíbrio ótimo, ao qual corresponde a produção econômica ótima (OEY). Como casos especiais, observamos que se ambos os custos de exploração e a taxa de desconto forem nulos, então a NI SY é ótima; e se a taxa de desconto for zero mas o custo de exploração for maior que zero, então a 1\1 EY é ótima. Finalmente, incluímos também um exemplo baseado no modelo de Schaefer, no qual podemos observar que o nível do estoque de equilíbrio ótimo pode ser muito sensível à taxa do desconto. / We are interested in studying the fundamental principies underlying the problem of sustainable development, more specifically the economics of optimal management of biological renewable resources harvesting. Vi/e modify extremely simple population models to allow for continuous harvesting. Concerning fisheries, we examine in greater detail the Schaefer's general production model. We calculate and develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systems we are concerned with. The global dynamic behavior is obtained by numerical integration. From the modeling of biological resource exploitation, we introduce the Maximum Sustainable Yield (MSY) concept, which is the objective of many resource management agencies. After realizing the failure of MSY to incorporate costs of resource exploitation, we study the bioeconomic Gordon's model and the definition of Maximum Economic Yíeld (MEY). We learn from standard economic theory the "discounting" concept, for reflecting the "value of time" , and so the dynamic problem is formulated as to determine the function effort that maximizes the discounted present value. After a brief discussion about linear variational problem and control theory, we conclude that, when both exploitation costs and value of time are considered, the optimal harvest policy consists of the most rapid approach policy (MRAP) to the optimal equilibrium stock level, corresponding to the Optimal Economic Yield (OEY). As special cases, we observe that if both exploitation costs and the discount rate are zero, then MSY is optimal; and if the discount rate is zero but the costs are greater than zero, then MEY is optimal. Finally, we also include examples based on the Schaefer model, from which we can observe that the optimal equilibrium stock level can be quite sensitive to the rate of discount.

O estudo de propagação de epidemias tem gerado uma série de trabalhos propondo distintos modelos que buscam representar possíveis cenários para que se possa ter um maior controle sobre a propagação. O grande objetivo destes estudos _e a capacidade de não somente reproduzir a evolução de epidemias passadas mas poder prever e, na medida do possível, evitar o surgimento de novos surtos epidêmicos ou erradicar um estado endêmico. Boa parte destes trabalhos utilizam como base o modelo Suscetível-Infectante-Removido, ou modelo SIR, de Kermack e McKendrick. No entanto, abordagens semelhantes porém via modelos matemáticos e simulações computacionais têm apresentado distintos comportamentos devido ao fato de que o primeiro assume uma taxa de remoção constante, o que representa uma distribuição exponencial do período de infecção na população, enquanto as simulações em geral utilizam um período de infecção fixo e idêntico para todos os indivíduos da população. Em função disto, utilizamos um modelo matemático que vem a ser uma generalização do modelo SIR utilizando equações com atraso, de forma que podemos inserir explicitamente o tipo de distribuição nas equações. Desta forma, vimos que o modelo matemático consegue reproduzir tanto o comportamento temporal médio das simulações para diversas distribuições como também reproduz o resultado do modelo SIR original quando é utilizada uma distribuição exponencial. Fizemos estas comparações tanto para os modelos sem dinâmica vital como para os modelos em que tal dinâmica está presente e vimos que o modelo com atraso sempre consegue reproduzir o comportamento médio das simulações para as distribuições testadas. Além disto, vimos que a evolução temporal da epidemia depende fortemente da distribuição do período de infecção, e que no caso em que a dinâmica vital está presente esta dependência também aparece no limiar epidêmico e no estado endêmico. Como este modelo permite inserir a distribuição populacional do período de infecção, o aplicamos para estudar políticas de tratamento em que o efeito deste leva à redução do período de infecção e vimos que é possível determinar a fração mínima da população que deve receber tratamento para que uma situação de epidemia iminente seja contida. Embora o modelo SIR seja muito útil para modelar uma grande variedade de doenças, ele se aplica somente aquelas em que os indivíduos infectados adquirem imunidade permanente ou morrem com a enfermidade. No entanto, existe uma classe de doenças na qual esta imunidade adquirida é apenas temporária, onde os indivíduos voltam a ser suscetíveis após transcorrido um certo período de tempo. Tais doenças possuem uma evolução t__- pica representada pelo modelo Suscetível-Infectante-Recuperado-Suscetível, ou modelo SIRS. Estas doenças normalmente apresentam um quadro endêmico com surtos epidêmicos cíclicos. A existência de tais oscilações em epidemias é, há muito tempo, um desafio para a formulação de modelos epidemiológicos. Se elas são resultado de agentes externos e sazonais, ou se surgem da dinâmica intrínseca da doença é uma questão em aberto. É sabido que termos de atraso temporal fixos desestabilizam o estado estacionário do modelo SIRS padrão, dando origem a oscilações sustentadas para certos valores dos parâmetros epidemiológicos. Neste trabalho, partindo do modelo SIRS padrão, estudamos uma generalização dos termos relativos ao tempo em que os agentes permanecem infectantes ou imunes. Apresentamos diagramas de oscilação (para as amplitudes e períodos de oscilação) em termos dos parâmetros do modelo, que mostram como a forma das distribuições destes tempos característicos (de infectividade e imunidade) influencia as oscilações. A formulação é feita em termos de equações diferenciais com atraso analisadas através de integração numérica e linearização. Também apresentamos uma simulação deste modelo ressaltando onde ela reforça os resultados do modelo determinístico e, onde isto não ocorre, o porque das divergências. Além destes modelos de campo médio, construímos um modelo de agentes para estudarmos a influência da mobilidade dos agentes na propagação de uma doença com dinâmica Suscetível-Infectante-Suscetível (SIS). Neste modelo, ao definirmos a taxa reprodutiva básica da doença com base nos parâmetros relevantes, vimos que a dependência do estado endêmico segue a mesma regra dos modelos de campo médio, porém o limiar epidêmico _e o mesmo que se obtém para a aplicação do modelo SIS em uma rede bidimensional. Outro resultado importante desta abordagem é o fato de que, dependendo da densidade de agentes, é possível obter estados endêmicos oscilatórios, que é o que em geral se vê na realidade mas que não _e reproduzido nos modelos de campo médio, apenas em modelos em que os contatos entre os agentes é definido através de uma rede. / The study of epidemic propagation has generated a series of researches proposing di erent models that tries to represent possible scenarios so that we could have more control over the propagation process. The aim of these studies is the ability not only of reproducing past epidemic evolutions but to forecast and, if possible, avoid new epidemic bursts or eradicate endemic states. Most of the research n this area are based on the Susceptible-Infective- Removed model, or SIR model, proposed by Kermack and McKendrick. Nevertheless, similar approaches using mathematical models or computational simulations have presented distinct behavior due to the fact that the rst assumes a constant removal rate, which represents an exponential distribution of the infectious period in the population, while simulations in general uses a xed infectious period identical to each individual in the population. In view of that, we have used a mathematical model which is a generalization of the SIR model using delayed equations, so that we can insert those time distributions explicitly into the equations. With this model, we show that the mathematical model can reproduce the average behavior of the time evolution given by simulations for several distributions and also the standard SIR model when we use an exponential distribution. We have done comparisons for model with and without vital dynamics and we show that the model with time delay can always reproduce the mean behavior of the simulations for all distributions tested. In addition, we can see that the time evolution of the epidemic spread is highly dependent on the infectious period distribution. When adding vital dynamics this dependence is also present in the epidemic threshold and endemic state. Given that this model allows us to use the population distribution of the infectious period, we applied it to study treatment policies where the e ect of such treatment reduces this period and we show that is possible to determine the minimum fraction of the population that must be treated in order to prevent an epidemic burst or an endemic state. Although the SIR model is very useful to model a great variety of diseases, it can only be applied to those where the infected individuals acquire permanent immunity or die with the disease. Nevertheless, there is a huge class of diseases where the acquired immunity is only temporary, so that the individuals become susceptible again after a given period. Such diseases have a typical evolution represented by the Susceptible-Infective- Removed-Susceptible model, or SIRS model. They usually have an endemic state with cyclic epidemic bursts. The existence of such oscillations in epidemics has been, since a very long time, a challenge for the formulation of epidemiological models. If they result from external and seasonal forces or if they emerge from the intrinsic dynamics of the disease is an open question. It is known that xed time delays destabilize the stationary states of the standard SIRS model, given rise to sustained oscillations for certain values of the epidemiological parameters of the model. In this work, starting from the standard SIRS model, we study a generalization of the terms relative to the infectious and immunity periods. We present oscillation diagrams (for the amplitude and period of oscillations) in terms of the parameters of the model, which shows how the shape of those characteristic time distributions (infectious and immunity) in uence the oscillations. The model formulation is made with integro-di erential equations with delay analyzed by numerical integration and linearization of the system. We also present a simulation of this model highlighting where it agrees with the results of the deterministic model and, when it diverges, explaining why it diverges. Along with those mean eld models, we have also built an agent based model to study the impact of agent mobility in the disease propagation of a Susceptible- Infective-Susceptible (SIS) dynamic. In this model, by de ning the basic reproduction rate in terms of the relevant parameters, we show that the endemic state has the same dependency on it as the mean eld models, but the epidemic threshold is the same as the one obtained by the implementation of the SIS model in a bidimensinal lattice. Another important result of this approach is the fact that, given the agents density, it is possible to obtain oscillatory endemic states, a common result in real diseases but absent in the mean eld models, being present only when the contact between agents is de ned by a network.

Este trabalho é o resultado do nosso interesse em estudar os princípios fundamentais que envolvem a questão do desenvolvimento sustentável, mais especificamente a questão do gerenciamento econômico ótimo de recursos biológicas renováveis. Modificamos modelos populacionais extremamente simples incluímos retirada contínua. Em relação à pesca, examinamos com maior detalhe o modelo de produção geral de Schaefer. Calculamos e analisamos a estabilidade linear em cada ponto de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. O comportamento dinâmico global é obtido pela integração numérica. A partir da modelagem de exploração de recursos biológicos, introduzimos o conceito de produção máxima sustentável (MSY), que é o objetivo de muitas agências de gerenciamento de recursos renováveis. Após observarmos a ineficiência da NI SY por não incorporar os custos de exploração de recursos, estudamos o modelo bioeconômico de Gordon, e a definição de produção máxima econômica (M EY). Aprendemos da teoria econômica padrão o conceito de "desconto" , que reflete o valor do tempo, e então o problema dinâmico é formulado para determinar a função que ma.ximize o valor presente descontado. Após uma breve discussão sobre o problema variacionallinear e a teoria de controle, concluímos que, ao considerar os custos de exploração e o valor do tempo, a política de retirada ótima consiste na política de aproximação mais rápida (M RAP) ao nível do estoque de equilíbrio ótimo, ao qual corresponde a produção econômica ótima (OEY). Como casos especiais, observamos que se ambos os custos de exploração e a taxa de desconto forem nulos, então a NI SY é ótima; e se a taxa de desconto for zero mas o custo de exploração for maior que zero, então a 1\1 EY é ótima. Finalmente, incluímos também um exemplo baseado no modelo de Schaefer, no qual podemos observar que o nível do estoque de equilíbrio ótimo pode ser muito sensível à taxa do desconto. / We are interested in studying the fundamental principies underlying the problem of sustainable development, more specifically the economics of optimal management of biological renewable resources harvesting. Vi/e modify extremely simple population models to allow for continuous harvesting. Concerning fisheries, we examine in greater detail the Schaefer's general production model. We calculate and develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systems we are concerned with. The global dynamic behavior is obtained by numerical integration. From the modeling of biological resource exploitation, we introduce the Maximum Sustainable Yield (MSY) concept, which is the objective of many resource management agencies. After realizing the failure of MSY to incorporate costs of resource exploitation, we study the bioeconomic Gordon's model and the definition of Maximum Economic Yíeld (MEY). We learn from standard economic theory the "discounting" concept, for reflecting the "value of time" , and so the dynamic problem is formulated as to determine the function effort that maximizes the discounted present value. After a brief discussion about linear variational problem and control theory, we conclude that, when both exploitation costs and value of time are considered, the optimal harvest policy consists of the most rapid approach policy (MRAP) to the optimal equilibrium stock level, corresponding to the Optimal Economic Yield (OEY). As special cases, we observe that if both exploitation costs and the discount rate are zero, then MSY is optimal; and if the discount rate is zero but the costs are greater than zero, then MEY is optimal. Finally, we also include examples based on the Schaefer model, from which we can observe that the optimal equilibrium stock level can be quite sensitive to the rate of discount.

[pt] O processo de revestimento por rotação é caracterizado pelo uso de cilindros girantes para controlar a espessura e aplicar uma fina camada de líquido em um substrato em movimento. A não ser a baixas velocidades dos cilindros, o escoamento bi-dimensional na região de formação dos filmes sobre cada cilindro é instável e o padrão observado experimentalmente consiste em um escoamento tri-dimensional e periódico na direção transversal ao substrato. Esta instabilidade pode limitar a velocidade máxima do processo se a camada líquida depositada sobre o substrato tem que ser uniforme. Para líquidos Newtonianos, a estabilidade deste escoamento é determinada pela competição de forças viscosas e capilares: a instabilidade ocorre acima de um número de capilaridade máximo. Apesar da maioria dos líquidos utilizados em processos de revestimento serem não Newtonianos, as análises disponíveis deste escoamento se limitam a estudos de líquidos Newtonianos. O comportamento não Newtoniano do líquido pode alterar completamente a natureza do escoamento perto da superfície livre; quando pequenas quantidades de polímeros flexíveis de alto peso molecular estão presentes, a instabilidade na direção transversal ocorre a velocidades muito mais baixas, quando comparado ao caso Newtoniano. Os mecanismos responsáveis pela instabilidade a baixas velocidades ainda não são completamente compreendidos. Este escoamento viscoelástico com superfície livre é analisado neste trabalho através de duas equações constitutivas diferenciais, o modelo de Oldroyld-B e o modelo de FENE-P. As equações de conservação de massa, quantidade de movimentos acopladas com os modelos constitutivos, e as equações não-lineares de mapeamento que transformam o problema de superfície livre em um problema de valor de contorno foram resolvidas pelo método de elementos finitos DEVSS-G/SUPG. O sistema de equações algébricas não linear foi resolvido pelo método de Newton com continuação por pseudo-comprimento de arco. Os resultados mostram como o campo de tensão muda com o aumento do número de Weissenberg (elasticidade do líquido), levando a formação de uma camada limite de tensão elástica na superfície livre e tensões elásticas compressivas na direção transversal, que podem explicar o aparecimento da instabilidade a baixas velocidades. Este trabalho também apresenta a formulação de estabilidade linear para escoamentos viscoelásticos com superfícies livres. O modelo dá origem a um problema de auto-valor generalizado, que foi resolvido pelo método de GMRES (ARPACK). Os auto-valores dominantes da matriz Jacobiana indicam a estabilidade do escoamento. Esta formulação foi testada em três escoamentos distintos: escoamento em uma cavidade de tampa móvel, piscina de líquido estática e um escoamento de Couette (simples de cisalhamento). / [en] Roll coating is distinguished by the use of one or more gaps between rotating cylinders to meter and apply a liquid layer to a substrate. Except at low speed, the film splitting flow that occurs in forward roll coating is three-dimensional and results in more or less regular stripes in the machine direction. This instability can limit the speed of the process if a smooth film is required as a final product. For Newtonian liquids, the stability of the film-split flow is determined by the competition of capillary forces and viscous forces: the onset of meniscus nonuniformity is market by a critical value of the capillary number. Although most of the liquids coated industrially are polymeric solutions and dispersions, that are not Newtonian, most of previous theoretical analyses of film splitting flows dealt only with Newtonian liquids. Non-Newtonian behavior can drastically change the nature of the flow near the free surface; when minute amounts of flexible polymer are present, the onset of the three-dimensional instability occurs at much lower speeds than in the Newtonian case. the mechanisms responsible for the early onset of this flow instability is not well understood. This free surface coating flow is analyzed here with differential constitutive models, the Oldroyld-B and the FENE-P equations. The continuity, momentum equations coupled with the constitutive models, and the non-linear mapping equations that transform the free boundary problem into a fixed boundary problem are solved by Newton s method with pseudo-arc-length continuation. The results show how the stress field changes with Weisenberg number, leading to the formation of an elastic boundary layer near the free surface and compressive elastic stresses in the crss-flow direction that may explain the onset of the ribbing instability at the smaller Capillary numbers when viscoelastic liquids are used. This work also presents the formulation for linear stanility analysis of viscoelastic free surface flows. The model leads to a generalized eigenproblem that is solved here using the Arnoldi s method with the software (ARPACK). The leading eigenvalues of the Jacobian Matrix indicate the stability of the flow. The formulation is tested in three different flows: lid-driven cavity, static liquid pool and a couette flow.

O som gerado por escoamentos, também conhecido como aeroacústica, tem se tornado cada vez mais importante em áreas industriais diversas desde aviação comercial até aparelhos eletrodomésticos, afetando diretamente os requisitos necessários para o desenvolvimento de novos produtos. Um caso particular é o ruído gerado por válvulas de compressores herméticos de refrigeração, sendo o compressor a principal fonte de ruído em refrigeradores domésticos. O presente trabalho tem por objetivo iniciar o desenvolvimento de uma ferramenta confiável de simulação capaz de auxiliar engenheiros na predição de problemas de aeroacústica, especialmente um que possa no futuro ser utilizado para estudar o ruído gerado pelo escoamento em válvulas de compressores herméticos. Para isso, foi desenvolvido um código para simulação numérica direta de aeroacústica. Utilizou-se processamento paralelo com decomposição de domínio para usar Simulação Numérica Direta em um tempo factível; esquemas de discretização espaciais e temporais de alta ordem para minimizar ao máximo os fenômenos de dissipação e dispersão do escoamento e das ondas acústicas e uma série de tratamentos no domínio como filtragem e estiramento da malha como também condições de contorno características com o intuito de obter uma solução adequada para estudo de aeroacústica. Assim, são apresentadas todas as etapas desenvolvidas no equacionamento, implementação e verificação. A verificação foi realizada segundo um processo matemático formal (Método das Soluções Manufaturadas) com o qual obteve-se que a ordem de precisão dos cálculos era a mesma da ordem formal dos esquemas de discretização utilizados para todas as variáveis. Também obteve-se a mesma concordância para análise do divergente da velocidade, verificando o código para simulação numérica direta de aeroacústica. Posteriormente, foram realizadas simulações de escoamentos compressíveis cisalhantes e seus resultados comparados com dados apresentados em literatura. Também foram calculadas as taxas de amplificação de perturbações e comparadas com a Teoria de Estabilidade Linear. Novamente, foram obtidos resultados satisfatórios nessas etapas, mostrando que a implementação do código DNS está verificada. / Sound generated by flow, known as aeroacoustics, is becoming more important in several industrial areas from commercial aircraft to household appliances, affecting directly the requirements to the development of new products. A particular case is the noise generated by valves of refrigeration hermetic compressors, being the compressor the main noise source in household refrigerators. This work has the goal of initiate the development of a reliable tool able to help engineers to predict aeroacoustics problems, specially one that can be used in the future to study the noise generated by the flow in valves of hermetic compressors. To do so, it was developed a numerical code to perform direct numerical simulation of aeroacoustics. It was used parallel processing with domain decomposition to use Direct Numerical Simulation in a feasible time; high order temporal and spatial discretization schemes to minimize the most the dispersion and dissipation phenomena of the flow field and of the acoustics waves and a series of treatments in the domain as filtering and mesh stretching as well as characteristics boundary conditions aiming a proper solution to study aeroacoustics. Thus, here all the steps developed in the formulation, implementation and verification are presented . The verification was done according to a formal mathematical procedure (Method of Manufactured Solutions) with which was found that the precision order of the calculations was the same of the formal order of the used discretization schemes for all variables. The same agreement was also obtained to the analysis of the divergence of the velocity, verifying the code to direct numerical simulation of aeroacoustics. Posteriorly, it were simulated shear compressible flows and the results were compared to literature data. Also, it were calculated the amplification rates of the disturbances and compared to Linear Stability Theory. Once more, it was obtained satisfactory results in these steps, showing that the implementation of the DNS code is verified.

A investigação dos mecanismos de instabilidade pode ter um papel importante no entendimento do processo laminar para turbulento de um escoamento. Análise de instabilidade de uma camada limite de uma linha de estagnação compressível foi realizada no contexto de teoria linear BiGlobal. O estudo dos mecanismos de instabilidade deste escoamento pode proporcionar uma visão útil no desenho aerodinâmico das asas. Um novo procedimento foi desenvolvido e implementado computacionalmente de maneira sequencial e paralela para o estudo de instabilidade BiGlobal. O mesmo baseia-se em formar a matriz esparsa associada ao problema discretizado por dois métodos: pontos de colocação de Chebyshev-Gauss-Lobatto e diferenças finitas, além das combinações destes métodos. Isto permitiu o uso de bibliotecas computacionais eficientes para resolver o sistema linear associado ao problema de autovalor utilizando o algoritmo de Arnoldi. O desempenho do método numérico e código computacional proposto são analisados do ponto de vista do uso de métodos de ordenação dos elementos da matriz, coeficientes de preenchimento, memória e tempo computacional a fim de determinar a solução mais eficiente para um problema físico geral com técnicas de matrizes esparsas. Um estudo paramétrico da instabilidade da camada limite de uma linha de estagnação foi realizado incluindo o estudo dos efeitos de compressibilidade. O excelente desempenho código computacional permitiu obter as curvas neutras e seus respectivos valores críticos para a faixa de número de Mach 0 \'< OU =\' Ma \'< OU =\' 1. Os resultados confirmam a teoria assintótica apresentada por (THEOFILIS; FEDOROV; COLLIS, 2004) e mostram que o incremento do número de Mach reduz o numero de Reynolds crítico e a faixa instável do número de ondas. / Investigation of linear instability mechanisms is essential for understanding the process of transition from laminar to turbulent flow. An algorithm for the numerical solution of the compressible BiGlobal eigenvalue problem is developed. This algorithm exploits the sparsity of the matrices resulting from the spatial discretization of the enigenvalue problem in order to improve the performance in terms of both memory and CPU time over previous dense algebra solutions. Spectral collocation and finite differences spatial discretization methods are implemented, and a performance study is carried out in order to determine the best practice for the efficient solution of a general physical problem with sparse matrix techniques. A combination of spectral collocation and finite differences can further improve the performance. The code developed is then applied in order to revisit and complete the parametric analyses on global instability of the compressible swept Hiemenz flow initiated in (THEOFILIS; FEDOROV; COLLIS, 2004) and obtain neutral curves of this flow as a function of the Mach number in the 0 \'< OU =\' Ma \'< OU =\' 1 range. The present numerical results fully confirm the asymptotic theory results presented in (THEOFILIS; FEDOROV; COLLIS, 2004). This work presents a complete parametric study of the instability properties of modal three dimensional disturbances in the subsonic range for the flow conguration at hand. Up to the subsonic maximum Mach number value studied, it is found that an increase in this parameter reduces the critical Reynolds number and the range of the unstable spanwise wavenumbers.

O som gerado por escoamentos, também conhecido como aeroacústica, tem se tornado cada vez mais importante em áreas industriais diversas desde aviação comercial até aparelhos eletrodomésticos, afetando diretamente os requisitos necessários para o desenvolvimento de novos produtos. Um caso particular é o ruído gerado por válvulas de compressores herméticos de refrigeração, sendo o compressor a principal fonte de ruído em refrigeradores domésticos. O presente trabalho tem por objetivo iniciar o desenvolvimento de uma ferramenta confiável de simulação capaz de auxiliar engenheiros na predição de problemas de aeroacústica, especialmente um que possa no futuro ser utilizado para estudar o ruído gerado pelo escoamento em válvulas de compressores herméticos. Para isso, foi desenvolvido um código para simulação numérica direta de aeroacústica. Utilizou-se processamento paralelo com decomposição de domínio para usar Simulação Numérica Direta em um tempo factível; esquemas de discretização espaciais e temporais de alta ordem para minimizar ao máximo os fenômenos de dissipação e dispersão do escoamento e das ondas acústicas e uma série de tratamentos no domínio como filtragem e estiramento da malha como também condições de contorno características com o intuito de obter uma solução adequada para estudo de aeroacústica. Assim, são apresentadas todas as etapas desenvolvidas no equacionamento, implementação e verificação. A verificação foi realizada segundo um processo matemático formal (Método das Soluções Manufaturadas) com o qual obteve-se que a ordem de precisão dos cálculos era a mesma da ordem formal dos esquemas de discretização utilizados para todas as variáveis. Também obteve-se a mesma concordância para análise do divergente da velocidade, verificando o código para simulação numérica direta de aeroacústica. Posteriormente, foram realizadas simulações de escoamentos compressíveis cisalhantes e seus resultados comparados com dados apresentados em literatura. Também foram calculadas as taxas de amplificação de perturbações e comparadas com a Teoria de Estabilidade Linear. Novamente, foram obtidos resultados satisfatórios nessas etapas, mostrando que a implementação do código DNS está verificada. / Sound generated by flow, known as aeroacoustics, is becoming more important in several industrial areas from commercial aircraft to household appliances, affecting directly the requirements to the development of new products. A particular case is the noise generated by valves of refrigeration hermetic compressors, being the compressor the main noise source in household refrigerators. This work has the goal of initiate the development of a reliable tool able to help engineers to predict aeroacoustics problems, specially one that can be used in the future to study the noise generated by the flow in valves of hermetic compressors. To do so, it was developed a numerical code to perform direct numerical simulation of aeroacoustics. It was used parallel processing with domain decomposition to use Direct Numerical Simulation in a feasible time; high order temporal and spatial discretization schemes to minimize the most the dispersion and dissipation phenomena of the flow field and of the acoustics waves and a series of treatments in the domain as filtering and mesh stretching as well as characteristics boundary conditions aiming a proper solution to study aeroacoustics. Thus, here all the steps developed in the formulation, implementation and verification are presented . The verification was done according to a formal mathematical procedure (Method of Manufactured Solutions) with which was found that the precision order of the calculations was the same of the formal order of the used discretization schemes for all variables. The same agreement was also obtained to the analysis of the divergence of the velocity, verifying the code to direct numerical simulation of aeroacoustics. Posteriorly, it were simulated shear compressible flows and the results were compared to literature data. Also, it were calculated the amplification rates of the disturbances and compared to Linear Stability Theory. Once more, it was obtained satisfactory results in these steps, showing that the implementation of the DNS code is verified.