Nesta dissertação, estuda-se estrelas compactas constituídas por uma forma estável do plasma ultra-relativístico de {\\it quarks} e glúons, a {\\it strange quark matter} ou matéria estranha, com pequena fração de elétrons para manter a neutralidade de carga. São abordadas, aqui, soluções matemáticas razoáveis que descrevem com simplicidade e agilidade certas propriedade dessas estrelas, a começar pela importantíssima relação massa-raio. Um perfil gaussiano para a densidade de energia foi escolhido como ponto de partida para contruir uma solução matemática para o problema e são apresentadas as motivações para tal escolha. Prova-se que o perfil escolhido não soluciona as Equações de Einstein exatamente e uma solução aproximada é fornecida. A seguir, as conhecidas soluções Tolman IV e Buchdahl I foram utilizadas para modelar uma estrela estranha com base no estudo de Alcock, Farhi e Olinto. Discute-se, ainda, como foi redescoberta a solução exata de Finch e Skea e discute-se, também, a solução exata para uma estrela de {\\it quarks} de Komathiraj e Maharaj, construída para um problema ligeiramente diferente, que incluía a existência de um campo elétrico. Conclui-se o trabalho comparando os resultados numéricos de Alcock, Farhi e Olinto com a solução aproximada aqui desenvolvida, apresentando o intervalo de validade desta solução. Além disso, são feitas comparações entre as diferentes soluções exatas e as características que cada uma delas exibe, e discute-se qual delas deve-se utilizar, tendo em mente que característica da estrela estranha se quer estudar. Os caminhos existentes para solucionar as Equações de Einstein, quando se quer modelar um objeto compacto, são discutidos e apontam-se quais os problemas que alguém encontrará ao seguir cada caminho. Por fim, relaciona-se a construção da relação massa-raio com a diferenciação dos tipos de objetos compactos que podem, em princípio, existir. / In this dissertation we study compact stars constituted by a stable form of ultra-relativistic quark-gluon plasma, the strange matter, with a small fraction of electrons to keep the neutrality of charge. We address here reasonable mathematical solutions that describe with simplicity and agility some properties of these stars, beginning by the important mass-radius relationship. A gaussian energy density profile was chosen as the starting point for the construction of a mathematical solution for this problem and the motivations for this choice was presented. We prove that this profile is not an exact solution for the Einstein Field Equations and an approximated solution is presented. Following, the previous known solutions of Tolman IV and Buchdahl I were used to model a strange star, based on the work of Alcock, Farhi and Olinto. We discuss the rediscovery of the exact solution of Finch and Skea and also the exact solution for a quark star by Komathiraj and Maharaj, constructed to a problem slightly different, that includes the existence of an electric field. We conclude this work comparing the numerical results of Alcock, Farhi and Olinto with the approximated solution here developed, presenting the range of validity of this solution. Furthermore, comparisons were made between the different exact solutions and the features displayed by each one and we discuss which solution must be used when one have in mind which features of the strange star one wants to study. The existent ways for solving the Einstein Equations when we want to model a compact star are discussed and we point out the problems that one will find in following each way. At last, we make a relation between the mass-radius relationship and the differentiation of the many types of compact objects that could, in principle, exist.

Nesta tese propomos um modelo estocástico multimodal para regulação da expressão gênica em nível de transcrição. A definição de um espaço de parâmetros que contém o conteúdo biológico do sistema aliada à escolha apropriada de uma base para construir a matriz de acoplamento entre os estados do sistema levaram à obtenção de soluções exatas do modelo. Tais soluções são obtidas transformando as equações mestras em equações diferenciais parciais usando a técnica das funções geradoras e escrevendo os coeficientes das equações parciais em termos dos parâmetros biológicos do modelo. No regime estacionário obtivemos uma relação de recorrência para os coeficientes das séries de potências que definem as funções geradoras e a especificação das configurações de equilíbrio do sistema permite que estas séries sejam calculadas exatamente. Com as soluções exatas calculadas não só as distribuições de probabilidade foram obtidas como os momentos das distribuições. As distribuições de probabilidade de equilíbrio apresentam estruturas multimodais com vários picos e a análise do ruído (flutuação) mostra que a existência de um estado intermediário de eficiência transcricional leva a redução do ruído global do sistema. A inspeção dos autovalores da matriz de acoplamento mostrou que existem regiões onde a dinâmica dos momentos é de caráter oscilatória com amortecimento. Diferentes esquemas de acoplamento levam à diferentes regimes transientes, tal característica revela que o sistema multimodal apresentam maior flexibilidade adaptativa quando comparado com sistemas de um ou dois estados. / In this thesis we propose a stochastic model for multimodal regulation of gene expression at the transcriptional level. The definition of a parameter space that contains the contents of the biological system coupled with the appropriate choice of a base to build the coupling matrix between the states of the system led to the exact solutions of the model. Such solutions are obtained by transforming master equations in partial differential equations using the technique of generating functions and writing the coefficients of partial equations in terms of biological parameters of the model. In the steady a recurrence relation for the coefficients of power series defining the generating functions was obtained and specification of the equilibrium configurations of the system allows the exact calculation of these series. With the exact solutions calculated not only the probability distributions were obtained but also the moments of the distributions. The equilibrium distributions probability is multimodal and presents several peaks. Analysis of the noise (fluctuation) shows that the existence of an state with intermediate transcriptional efficiency leads to a reduction of the overall system noise. Inspection of the eigenvalues of the coupling matrix showed that there are regions where the dynamics of the moments is damped oscillating. Different coupling schemes lead to different transient regimes, this feature reveals that the multimodal system have greater adaptive flexibility when compared to systems of one or two states.

Vários módulos funcionais de células ou bactérias são controlados por meio de genes que se regulam através da codificação de proteínas repressoras ou indutoras. A compreensão destas redes gênicas é um problema em aberto da biologia. Nesta dissertação procuramos aplicar o modelo estocástico de spins e bósons para o caso da rede mais simples, contiduída de dois genes, o primeiro reprimindo o segundo. Apresentamos a solução exata para a distribuição de probabilidades sobre o número das proteínas dos dois genes no estado estacionário, e a probabilidade dependente do tempo sobre o estado do segundo gene (ativado ou desativado). Discutimos também maneiras de generalizar os resultados para redes maiores. / Several functional modules in cells or bacteria are controlled by genes that regulate each other by coding repressive or inducer proteins. The understanding of these genetic networks is still an open problem in biology. In this work we apply the stochastic spin-boson model to the simplest interacting network, made of two genes, the first repressing the second. We present the exact solution for the stationary probability distribution over their both protein numbers, and the temporal evolution of the second genes state (on or off). We also discuss ways of generalizing these results to larger networks.

Production lines with unreliable machines have received a great amount of attention in the literature. Especially, two-station systems have mostly been studied because such systems are easier to handle when compared to the longer lines. In literature, longer lines are usually evaluated by a decomposition algorithm, whereby the long line is partitioned into chunks of two-station lines. Decomposition algorithms require intermediate buffer storages of capacity at least two or three. The trends in modern manufacturing practices, on the other hand, such as the Toyota Production System, dictate that intermediate storages be eliminated. Our work studies multi-station lines with no intermediate storage. We develop software to automate the generation of transition probability matrices to allow the analysis of system behavior. The algorithm allows the use of software packages to handle computations and to solve for exact solutions. Long-run behavior is obtained via the algorithm developed in the computational environment MATLAB. The purpose is to analyze the system performance measures such as starvation and blockage times of stations, production rate and work-in-process. In addition, the production rate and the work-in-process measures over failure and repair probabilities are curve-fit to establish simple and useful empirical formulas for lines consisting three, four and five identical stations. Numerical analyses show that the proposed algorithm is effective for exact solutions and the suggested formulas are valid for approximate solutions.

In this thesis, Newman-Penrose techniques are used to obtain some new exact solutions to Einstein's field equations of general relativity and to assist in the physical interpretation of some exact radiative space-times. Attention is restricted to algebraically special space-times with a twist-free, repeated principal null congruence. In particular, the Robinson-Trautman type N solutions, which describe expanding gravitational waves, are investigated for all possible values of the cosmological constant A and the Gaussian curvature parameter E. The wave surfaces are always (hemi-)spherical, with successive surfaces displaced along time-like, space-like or null lines, depending on E. Explicit sandwich waves of this class are studied in Minkowski, de Sitter or anti-de Sitter backgrounds and a particular family of such solutions, which can be used to represent snapping or decaying cosmic strings, is considered in detail. The singularity and global structure of the solutions is also presented. In the remaining part of the thesis, the complete family of space-times with a non-expanding, shear-free, twist-free, geodesic principal null congruence (Kundt waves), that are of algebraic type III and for which the cosmological constant (Ac) is non-zero, is presented. The possible presence of an aligned pure radiation field is also assumed. These space-times generalise the known vacuum solutions of type N with arbitrary Ac and type III with Ac = O. It is shown that there are two, one and three distinct classes of solutions when Ac is respectively zero, positive and negative and, in these cases, the wave surfaces are plane, spherical or hyperboloidal in Minkowski, de Sitter or anti-de Sitter backgrounds respectively. The singularities which occur in these space-times are interpreted in terms of envelopes of these wave surfaces. Again, by considering functions of the retarded time which "cross-over" between canonical types, sandwich waves are also studied. The limiting cases of these, giving rise to shock or impulsive waves, are also considered.

In this work we study inhomogeneous cosmological models. After a brief review of applications of inhomogeneous solutions to Einstein equations in cosmology, we give a short description of the most widely used inhomogeneous cosmological models. In the second chapter we study in detail geometrical prop- erties of the Szekeres spacetime and we are concerned with the interpretation of the metric functions in different types of geometries. In the last chapter we model inhomogeneity in Szekeres spacetime. We derive formula for the density contrast and investigate its behaviour. We also derive conditions for the density extremes that are necessary for avoiding the shell crossing singularity in Szekeres spacetime. 1

Vários módulos funcionais de células ou bactérias são controlados por meio de genes que se regulam através da codificação de proteínas repressoras ou indutoras. A compreensão destas redes gênicas é um problema em aberto da biologia. Nesta dissertação procuramos aplicar o modelo estocástico de spins e bósons para o caso da rede mais simples, contiduída de dois genes, o primeiro reprimindo o segundo. Apresentamos a solução exata para a distribuição de probabilidades sobre o número das proteínas dos dois genes no estado estacionário, e a probabilidade dependente do tempo sobre o estado do segundo gene (ativado ou desativado). Discutimos também maneiras de generalizar os resultados para redes maiores. / Several functional modules in cells or bacteria are controlled by genes that regulate each other by coding repressive or inducer proteins. The understanding of these genetic networks is still an open problem in biology. In this work we apply the stochastic spin-boson model to the simplest interacting network, made of two genes, the first repressing the second. We present the exact solution for the stationary probability distribution over their both protein numbers, and the temporal evolution of the second genes state (on or off). We also discuss ways of generalizing these results to larger networks.

Nesta tese propomos um modelo estocástico multimodal para regulação da expressão gênica em nível de transcrição. A definição de um espaço de parâmetros que contém o conteúdo biológico do sistema aliada à escolha apropriada de uma base para construir a matriz de acoplamento entre os estados do sistema levaram à obtenção de soluções exatas do modelo. Tais soluções são obtidas transformando as equações mestras em equações diferenciais parciais usando a técnica das funções geradoras e escrevendo os coeficientes das equações parciais em termos dos parâmetros biológicos do modelo. No regime estacionário obtivemos uma relação de recorrência para os coeficientes das séries de potências que definem as funções geradoras e a especificação das configurações de equilíbrio do sistema permite que estas séries sejam calculadas exatamente. Com as soluções exatas calculadas não só as distribuições de probabilidade foram obtidas como os momentos das distribuições. As distribuições de probabilidade de equilíbrio apresentam estruturas multimodais com vários picos e a análise do ruído (flutuação) mostra que a existência de um estado intermediário de eficiência transcricional leva a redução do ruído global do sistema. A inspeção dos autovalores da matriz de acoplamento mostrou que existem regiões onde a dinâmica dos momentos é de caráter oscilatória com amortecimento. Diferentes esquemas de acoplamento levam à diferentes regimes transientes, tal característica revela que o sistema multimodal apresentam maior flexibilidade adaptativa quando comparado com sistemas de um ou dois estados. / In this thesis we propose a stochastic model for multimodal regulation of gene expression at the transcriptional level. The definition of a parameter space that contains the contents of the biological system coupled with the appropriate choice of a base to build the coupling matrix between the states of the system led to the exact solutions of the model. Such solutions are obtained by transforming master equations in partial differential equations using the technique of generating functions and writing the coefficients of partial equations in terms of biological parameters of the model. In the steady a recurrence relation for the coefficients of power series defining the generating functions was obtained and specification of the equilibrium configurations of the system allows the exact calculation of these series. With the exact solutions calculated not only the probability distributions were obtained but also the moments of the distributions. The equilibrium distributions probability is multimodal and presents several peaks. Analysis of the noise (fluctuation) shows that the existence of an state with intermediate transcriptional efficiency leads to a reduction of the overall system noise. Inspection of the eigenvalues of the coupling matrix showed that there are regions where the dynamics of the moments is damped oscillating. Different coupling schemes lead to different transient regimes, this feature reveals that the multimodal system have greater adaptive flexibility when compared to systems of one or two states.

O presente trabalho se destina a um estudo detalhado da chamada equação de spin, a qual pode ser utilizada para descrever o comportamento de sistemas de dois níveis. Para campos externos dados por funções reais, esta equação pode ser identificada com uma redução da equação de Pauli para o caso 0+1 dimensional. Inicialmente, demonstraremos a relação entre esta equação de spin e várias outras equações relacionadas com diversos problemas em física. Com estas relações, podemos construir novas soluções da equação de spin a partir do conhecimento de soluções exatas destes outros problemas e, por outro lado, estender a aplicação das soluções obtidas. Em seguida, descrevemos a forma geral da solução desta equação, construímos o operador de evolução e resolvemos o problema inverso, i.e., a determinação do campo externo supondo o conhecimento de uma solução. Finalizando, para o importante caso de campos externos reais, desenvolvemos um método de construção de novas soluções a partir de uma solução previamente conhecida, utilizando a chamada transformação de Darboux. Em particular, demonstramos a existência de operadores de entrelaçamento de Darboux, que não violam a estrutura específica dos sistemas de dois níveis, e permitem construir novos campos externos também dados por funções reais. Como resultado destes desenvolvimentos, apresentamos uma série de novas soluções exatas para a equação de spin. / The aim of the present work is to study in detail the so called spin equation, which can be used to describe the behavior of two-level systems. We recall that, for real external fields, this equation can be treated as a reduction of the Pauli equation to the 0+1 dimensional base. Initially, we present the relation between the spin equation and some other equations related to diferent physical problems. With these relations, we construct new solutions to the spin equation from the knowledge of the exact solutions of these other problems and, on the other hand, extend the applicability of the obtained solutions. After that, we describe the general solution of the spin equation, construct the evolution operator and solve the inverse problem, i.e., the construction of the external field from a given supposed solution. Finally, for the important case of real fields, we develop a method to construct new solutions from a previously known one, by the application of the so called Darboux transformation. In particular, we demonstrate the existence of Darboux intertwining operators which do not violate the specific structure of the two-level systems and allow the construction of external fields which are also given by real functions. As a result of all these developments, we present several new sets of exact solutions for the spin equation.

Nesta dissertação, estuda-se estrelas compactas constituídas por uma forma estável do plasma ultra-relativístico de {\\it quarks} e glúons, a {\\it strange quark matter} ou matéria estranha, com pequena fração de elétrons para manter a neutralidade de carga. São abordadas, aqui, soluções matemáticas razoáveis que descrevem com simplicidade e agilidade certas propriedade dessas estrelas, a começar pela importantíssima relação massa-raio. Um perfil gaussiano para a densidade de energia foi escolhido como ponto de partida para contruir uma solução matemática para o problema e são apresentadas as motivações para tal escolha. Prova-se que o perfil escolhido não soluciona as Equações de Einstein exatamente e uma solução aproximada é fornecida. A seguir, as conhecidas soluções Tolman IV e Buchdahl I foram utilizadas para modelar uma estrela estranha com base no estudo de Alcock, Farhi e Olinto. Discute-se, ainda, como foi redescoberta a solução exata de Finch e Skea e discute-se, também, a solução exata para uma estrela de {\\it quarks} de Komathiraj e Maharaj, construída para um problema ligeiramente diferente, que incluía a existência de um campo elétrico. Conclui-se o trabalho comparando os resultados numéricos de Alcock, Farhi e Olinto com a solução aproximada aqui desenvolvida, apresentando o intervalo de validade desta solução. Além disso, são feitas comparações entre as diferentes soluções exatas e as características que cada uma delas exibe, e discute-se qual delas deve-se utilizar, tendo em mente que característica da estrela estranha se quer estudar. Os caminhos existentes para solucionar as Equações de Einstein, quando se quer modelar um objeto compacto, são discutidos e apontam-se quais os problemas que alguém encontrará ao seguir cada caminho. Por fim, relaciona-se a construção da relação massa-raio com a diferenciação dos tipos de objetos compactos que podem, em princípio, existir. / In this dissertation we study compact stars constituted by a stable form of ultra-relativistic quark-gluon plasma, the strange matter, with a small fraction of electrons to keep the neutrality of charge. We address here reasonable mathematical solutions that describe with simplicity and agility some properties of these stars, beginning by the important mass-radius relationship. A gaussian energy density profile was chosen as the starting point for the construction of a mathematical solution for this problem and the motivations for this choice was presented. We prove that this profile is not an exact solution for the Einstein Field Equations and an approximated solution is presented. Following, the previous known solutions of Tolman IV and Buchdahl I were used to model a strange star, based on the work of Alcock, Farhi and Olinto. We discuss the rediscovery of the exact solution of Finch and Skea and also the exact solution for a quark star by Komathiraj and Maharaj, constructed to a problem slightly different, that includes the existence of an electric field. We conclude this work comparing the numerical results of Alcock, Farhi and Olinto with the approximated solution here developed, presenting the range of validity of this solution. Furthermore, comparisons were made between the different exact solutions and the features displayed by each one and we discuss which solution must be used when one have in mind which features of the strange star one wants to study. The existent ways for solving the Einstein Equations when we want to model a compact star are discussed and we point out the problems that one will find in following each way. At last, we make a relation between the mass-radius relationship and the differentiation of the many types of compact objects that could, in principle, exist.