University, Diss., 2002--Saarbrücken.

Inhalt dieser Arbeit ist die Untersuchung der Physik des ungeordneten wechselwirkenden Elektronenproblems auf der isolierenden Seite des Metall-Isolator-Uebergangs. Als Modellsystem dient dabei ein verallgemeinertes Coulomb-Glas-Modell mit Transfermatrixelementen zwischen verschiedenen Plaetzen, das Quanten-Coulomb-Glas. Ziel ist, herauszufinden, wie sich die Elektron-Elektron-Wechselwirkung auf die Lokalisierungs- und Transporteigenschaften des Modells auswirkt. Im ersten Teil wird das Quanten-Coulomb-Glas in Hartree-Fock-Naeherung behandelt. Da diese Naeherung eine effektive Einteilchentheorie ist, koennen die Lokalisierungs- und Transporteigenschaften mit denselben Methoden wie beim Anderson-Modell der Lokalisierung untersucht werden. Es erweist sich, dasz die Wechselwirkung im Rahmen einer Einteilchen-Naeherung immer zu einer staerkeren Lokalisierung der Zustaende an der Fermienergie und damit zu einer Verschlechterung des Transports im Vergleich zum nichtwechselwirkenden System fuehrt. Dieses Ergebnis laeszt sich auch gut physikalisch verstehen. Im zweiten Teil steht die Frage nach der Gueltigkeit der Hartree-Fock-Naeherung fuer das Quanten-Coulomb-Glas im Mittelpunkt. Dazu werden die Hartree-Fock-Resultate mit Ergebnissen aus der exakten Diagonalisierung sehr kleiner Gitter verglichen. Es werden Lokalisierungskriterien entwickelt, die einen direkten Vergleich mit den Einteilchenlokalisierungsmaszen gestatten. Zur Beurteilung der Transporteigenschaften dient der Gleichstromleitwert nach dem Kubo-Greenwood-Formalismus. Es zeigt sich, dasz die Hartree-Fock-Naeherung den Transport unterschaetzt und dasz die Wechselwirkung im Vergleich zum nichtwechselwirkenden System bei schwacher Unordnung eine Verringerung des Transports und bei groszer Unordnung eine Erhoehung des Transports bewirkt. In dritten Teil werden Idee und Realisierung einer neuen Naeherung, der Hartree-Fock-basierten Diagonalisierung, diskutiert. Ueberlegungen und Untersuchungen zur Konvergenz von Grundzustandsenergie, Energie der angeregten Zustaende, Einteilchenzustandsdichte, Rueckkehrwahrscheinlichkeit und Leitwert werden vorgenommen. Ergebnisse fuer zweidimensionale Systeme mit 12, 16 und 25 Gitterplaetzen bei Halbfuellung werden vorgestellt. Auszerdem erfolgen Untersuchungen mit verschiedenen Wechselwirkungsstarken fuer ein-, zwei und dreidimensionale Systeme mit 25*1, 5*5 und 3*3*3 Gitterplaetzen. Die Resultate aus dem zweiten Teil bestaetigen sich: Fuer genuegend starke Unordnung induziert Wechselwirkung immer eine staerkere Delokalisierung, fuer genuegend kleine Unordnung immer eine staerkere Lokalisierung. / This work investigates the physics of the disordered interacting electron problem on the isolating side of the metal-insulator-transition. A generalized Coulomb-Glass with transfermatrixelements between next neighbours - the Quantum-Coulomb-Glass - serves as model system. The goal is to find out how electron-electron interaction influences the localization and transport properties of the model. In the first part the Quantum-Coulomb-Glass is treated at Hartree-Fock level. Because this approximation is an effective one-particle theory localization and transport properties can be investigated with the same methods as in the Anderson-Model of localization. It ist found that interaction in the framework of an one-particle approximation always leads to an enhanced localization of the states near the Fermi-energy in comparison to the nonintercting system. This also can be well understood within different physically argumentations. The second part centers around the question how valid Hartree-Fock approximation is. Thus Hartree-Fock results are compared with results for exact diagonalization of small lattices. Criteria of localization are developed which allow a direct comparison to measures of single-particle localization. The transport-properties are measured by the zero frequency Kubo-conductance. It shows that Hartree-Fock approximation underestimates the transport and that interaction leads to a decrease of transport in the region of small disorder and to an increase for strong disorder. The third part discusses idea and realisation of a new approximation - the Hartree-Fock-based diagonalization. Aguments and investigations about convergence of ground-state-energy, excited-state-energy, single-particle density of states, return probability and conductance are shown. Results for systems in two dimensions with 12, 16 and 25 sites and half filling are presented. Additionally different interaction strenghts for one-, two- and three-dimensional systems with 25*1, 5*5 and 3*3*3 sites are investigated. The results from part two are hardened: Interaction always leads to enhanced delocalization if disorder is strong enough and always leads to enhanced localization if disorder is small enough.

Charge excitations in different 3d transition metal compounds are studied. In particular, the influence of the lattice geometry on the character of these excitations is investigated. For this purpose, the momentum dependent loss function of electron energy-loss spectroscopy (EELS) as well as the optical conductivity are calculated and compared with the experimental data of NaV$_{2}$O$_{5}$, LiV$_{2}$O$_{5}$, Sr$_{2}$CuO$_{3}$, and CuGeO$_{3}$ . A quarter-filled extended Hubbard model on a system of coupled ladders provides a qualitative explanation for the highly anisotropic charge excitations of NaV$_{2}$O$_{5}$ and LiV$_{2}$O$_{5}$. These ladder compounds do not only differ from the charge ordering pattern but also from the coupling between different ladders: In LiV$_{2}$O$_{5}$ one finds a strong inter-ladder hopping which is very small in NaV$_{2}$O$_{5}$. On the other hand, in NaV$_{2}$O$_{5}$ the ladders are coupled by a strong inter-ladder Coulomb interaction. The charge excitations of quasi one-dimensional cuprates reflect both the properties of the CuO$_{4}$ plaquettes and the character of the coupling between different plaquettes. Independently from the geometry of the cuprat chains, the local excitation of the copper hole onto the adjacent oxygen orbitals is always found. Further transitions with an excitation energy below the local excitation of a single plaquette result from a hole transfer to another plaquette. These excitations with hole delocalization dominate the spectra of the corner-shared Sr$_{2}$CuO$_{3}$. In contrast to this, the hole transfer leads only to a pre-peak in the spectra of the edge-shared CuGeO$_{3}$. Furthermore, it is shown that the hole transfer is determined by the geometry of the edge-shared CO. / Gegenstand dieser Arbeit ist die theoretische Analyse von Ladungsanregungen in verschiedenen niedrigdimensionalen 3d-Übergangsmetallverbindungen, wobei insbesondere der Einfluß der Gittergeometrie auf die Charakteristik der Anregungen untersucht wurde. Mit Hilfe des Lanczos-Algorithmus' wurden dazu sowohl die impulsabhängige Verlustfunktion der Elektron-Energie-Verlust-Spektroskopie (EELS) als auch die optische Leitfähigkeit für NaV$_{2}$O$_{5}$, LiV$_{2}$O$_{5}$, Sr$_{2}$CuO$_{3}$ und CuGeO$_{3}$ berechnet und mit den experimentellen Ergebnissen verglichen. Unter der Verwendung eines Modells viertelgefüllter Leitern kann man die Ladungsanregungen sowohl für NaV$_{2}$O$_{5}$ als auch LiV$_{2}$O$_{5}$ sehr gut beschreiben. In diesen Materialien findet man nicht nur unterschiedliche Ladungsordnungen sondern vor allem auch verschiedene Kopplungsarten zwischen den Leitern. Während die Leitern im NaV$_{2}$O$_{5}$ durch die Coulomb-Wechselwirkung miteinander gekoppelt sind, existiert im LiV$_{2}$O$_{5}$ ein Austausch aufgrund einer starken Hybridisierung zwischen den Leitern. Die Ladungsanregungen von quasi eindimensionalen Kupratketten spiegeln sowohl die Plaketteneigenschaften als auch die Plakettenkopplung wider. Unabhängig von der Geometrie der Ketten findet man stets die lokale Anregung des Kupferloches auf die umliegenden Sauerstofforbitale. Aus einem möglichen Lochtransfer zu benachbarten Plaketten resultieren außerdem noch Anregungen, die energetisch unterhalb der Plakettenanregung liegen und unmittelbar von der Kettengeometrie abhängen. Während im eckenvernetzten Sr$_{2}$CuO$_{3}$ diese Anregungen die Spektren dominieren, spielt der Lochtransfer im kantenvernetzten CuGeO$_{3}$ nur eine untergeordnete Rolle.

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Charge excitations in different 3d transition metal compounds are studied. In particular, the influence of the lattice geometry on the character of these excitations is investigated. For this purpose, the momentum dependent loss function of electron energy-loss spectroscopy (EELS) as well as the optical conductivity are calculated and compared with the experimental data of NaV$_{2}$O$_{5}$, LiV$_{2}$O$_{5}$, Sr$_{2}$CuO$_{3}$, and CuGeO$_{3}$ . A quarter-filled extended Hubbard model on a system of coupled ladders provides a qualitative explanation for the highly anisotropic charge excitations of NaV$_{2}$O$_{5}$ and LiV$_{2}$O$_{5}$. These ladder compounds do not only differ from the charge ordering pattern but also from the coupling between different ladders: In LiV$_{2}$O$_{5}$ one finds a strong inter-ladder hopping which is very small in NaV$_{2}$O$_{5}$. On the other hand, in NaV$_{2}$O$_{5}$ the ladders are coupled by a strong inter-ladder Coulomb interaction. The charge excitations of quasi one-dimensional cuprates reflect both the properties of the CuO$_{4}$ plaquettes and the character of the coupling between different plaquettes. Independently from the geometry of the cuprat chains, the local excitation of the copper hole onto the adjacent oxygen orbitals is always found. Further transitions with an excitation energy below the local excitation of a single plaquette result from a hole transfer to another plaquette. These excitations with hole delocalization dominate the spectra of the corner-shared Sr$_{2}$CuO$_{3}$. In contrast to this, the hole transfer leads only to a pre-peak in the spectra of the edge-shared CuGeO$_{3}$. Furthermore, it is shown that the hole transfer is determined by the geometry of the edge-shared CO. / Gegenstand dieser Arbeit ist die theoretische Analyse von Ladungsanregungen in verschiedenen niedrigdimensionalen 3d-Übergangsmetallverbindungen, wobei insbesondere der Einfluß der Gittergeometrie auf die Charakteristik der Anregungen untersucht wurde. Mit Hilfe des Lanczos-Algorithmus' wurden dazu sowohl die impulsabhängige Verlustfunktion der Elektron-Energie-Verlust-Spektroskopie (EELS) als auch die optische Leitfähigkeit für NaV$_{2}$O$_{5}$, LiV$_{2}$O$_{5}$, Sr$_{2}$CuO$_{3}$ und CuGeO$_{3}$ berechnet und mit den experimentellen Ergebnissen verglichen. Unter der Verwendung eines Modells viertelgefüllter Leitern kann man die Ladungsanregungen sowohl für NaV$_{2}$O$_{5}$ als auch LiV$_{2}$O$_{5}$ sehr gut beschreiben. In diesen Materialien findet man nicht nur unterschiedliche Ladungsordnungen sondern vor allem auch verschiedene Kopplungsarten zwischen den Leitern. Während die Leitern im NaV$_{2}$O$_{5}$ durch die Coulomb-Wechselwirkung miteinander gekoppelt sind, existiert im LiV$_{2}$O$_{5}$ ein Austausch aufgrund einer starken Hybridisierung zwischen den Leitern. Die Ladungsanregungen von quasi eindimensionalen Kupratketten spiegeln sowohl die Plaketteneigenschaften als auch die Plakettenkopplung wider. Unabhängig von der Geometrie der Ketten findet man stets die lokale Anregung des Kupferloches auf die umliegenden Sauerstofforbitale. Aus einem möglichen Lochtransfer zu benachbarten Plaketten resultieren außerdem noch Anregungen, die energetisch unterhalb der Plakettenanregung liegen und unmittelbar von der Kettengeometrie abhängen. Während im eckenvernetzten Sr$_{2}$CuO$_{3}$ diese Anregungen die Spektren dominieren, spielt der Lochtransfer im kantenvernetzten CuGeO$_{3}$ nur eine untergeordnete Rolle.

Inhalt dieser Arbeit ist die Untersuchung der Physik des ungeordneten wechselwirkenden Elektronenproblems auf der isolierenden Seite des Metall-Isolator-Uebergangs. Als Modellsystem dient dabei ein verallgemeinertes Coulomb-Glas-Modell mit Transfermatrixelementen zwischen verschiedenen Plaetzen, das Quanten-Coulomb-Glas. Ziel ist, herauszufinden, wie sich die Elektron-Elektron-Wechselwirkung auf die Lokalisierungs- und Transporteigenschaften des Modells auswirkt. Im ersten Teil wird das Quanten-Coulomb-Glas in Hartree-Fock-Naeherung behandelt. Da diese Naeherung eine effektive Einteilchentheorie ist, koennen die Lokalisierungs- und Transporteigenschaften mit denselben Methoden wie beim Anderson-Modell der Lokalisierung untersucht werden. Es erweist sich, dasz die Wechselwirkung im Rahmen einer Einteilchen-Naeherung immer zu einer staerkeren Lokalisierung der Zustaende an der Fermienergie und damit zu einer Verschlechterung des Transports im Vergleich zum nichtwechselwirkenden System fuehrt. Dieses Ergebnis laeszt sich auch gut physikalisch verstehen. Im zweiten Teil steht die Frage nach der Gueltigkeit der Hartree-Fock-Naeherung fuer das Quanten-Coulomb-Glas im Mittelpunkt. Dazu werden die Hartree-Fock-Resultate mit Ergebnissen aus der exakten Diagonalisierung sehr kleiner Gitter verglichen. Es werden Lokalisierungskriterien entwickelt, die einen direkten Vergleich mit den Einteilchenlokalisierungsmaszen gestatten. Zur Beurteilung der Transporteigenschaften dient der Gleichstromleitwert nach dem Kubo-Greenwood-Formalismus. Es zeigt sich, dasz die Hartree-Fock-Naeherung den Transport unterschaetzt und dasz die Wechselwirkung im Vergleich zum nichtwechselwirkenden System bei schwacher Unordnung eine Verringerung des Transports und bei groszer Unordnung eine Erhoehung des Transports bewirkt. In dritten Teil werden Idee und Realisierung einer neuen Naeherung, der Hartree-Fock-basierten Diagonalisierung, diskutiert. Ueberlegungen und Untersuchungen zur Konvergenz von Grundzustandsenergie, Energie der angeregten Zustaende, Einteilchenzustandsdichte, Rueckkehrwahrscheinlichkeit und Leitwert werden vorgenommen. Ergebnisse fuer zweidimensionale Systeme mit 12, 16 und 25 Gitterplaetzen bei Halbfuellung werden vorgestellt. Auszerdem erfolgen Untersuchungen mit verschiedenen Wechselwirkungsstarken fuer ein-, zwei und dreidimensionale Systeme mit 25*1, 5*5 und 3*3*3 Gitterplaetzen. Die Resultate aus dem zweiten Teil bestaetigen sich: Fuer genuegend starke Unordnung induziert Wechselwirkung immer eine staerkere Delokalisierung, fuer genuegend kleine Unordnung immer eine staerkere Lokalisierung. / This work investigates the physics of the disordered interacting electron problem on the isolating side of the metal-insulator-transition. A generalized Coulomb-Glass with transfermatrixelements between next neighbours - the Quantum-Coulomb-Glass - serves as model system. The goal is to find out how electron-electron interaction influences the localization and transport properties of the model. In the first part the Quantum-Coulomb-Glass is treated at Hartree-Fock level. Because this approximation is an effective one-particle theory localization and transport properties can be investigated with the same methods as in the Anderson-Model of localization. It ist found that interaction in the framework of an one-particle approximation always leads to an enhanced localization of the states near the Fermi-energy in comparison to the nonintercting system. This also can be well understood within different physically argumentations. The second part centers around the question how valid Hartree-Fock approximation is. Thus Hartree-Fock results are compared with results for exact diagonalization of small lattices. Criteria of localization are developed which allow a direct comparison to measures of single-particle localization. The transport-properties are measured by the zero frequency Kubo-conductance. It shows that Hartree-Fock approximation underestimates the transport and that interaction leads to a decrease of transport in the region of small disorder and to an increase for strong disorder. The third part discusses idea and realisation of a new approximation - the Hartree-Fock-based diagonalization. Aguments and investigations about convergence of ground-state-energy, excited-state-energy, single-particle density of states, return probability and conductance are shown. Results for systems in two dimensions with 12, 16 and 25 sites and half filling are presented. Additionally different interaction strenghts for one-, two- and three-dimensional systems with 25*1, 5*5 and 3*3*3 sites are investigated. The results from part two are hardened: Interaction always leads to enhanced delocalization if disorder is strong enough and always leads to enhanced localization if disorder is small enough.

When calculating the dynamics of a quantum system, including the effect of its environment is highly relevant since virtually any real quantum system is exposed to environmental influences. It has turned out that the widely used perturbative approaches to treat such so-called open quantum systems have severe limitations. Furthermore, due to current experiments which have implemented strong system-environment interactions the non-perturbative regime is far from being academical. Therefore determining the exact dynamics of an open quantum system is of fundamental relevance. The hierarchy of pure states (HOPS) formalism poses such an exact approach. Its novel and detailed derivation, as well as several numerical aspects constitute the main methodical part of this work. Motivated by fundamental issues but also due to practical relevance for real world devices exploiting quantum effects, the entanglement dynamics of two qubits in contact with a common environment is investigated extensively. The HOPS formalism is based on the exact stochastic description of open quantum system dynamics in terms of the non-Markovian quantum state diffusion (NMQSD) theory. The distinguishing and numerically beneficial features of the HOPS approach are the stochastic nature, the implicit treatment of the environmental dynamics and, related to this, the enhanced statistical convergence (importance sampling), as well as the fact that only pure states have to be propagated. In order to claim that the HOPS approach is exact, we develop schemes to ensure that the numerical errors can be made arbitrarily small. This includes the sampling of Gaussian stochastic processes, the multi-exponential representation of the bath correlation function and the truncation of the hierarchy. Moreover, we incorporated thermal effects on the reduced dynamics by a stochastic Hermitian contribution to the system Hamiltonian. In particular, for strong system-environment couplings this is very beneficial for the HOPS. To confirm the accuracy assertion we utilize the seemingly simple, however, non-trivial spin-boson model to show agreement between the HOPS and other methods. The comparison shows the HOPS method’s versatile applicability over a broad range of model parameters including weak and strong coupling to the environment, as well as zero and high temperatures. With the gained knowledge that the HOPS method is versatile and accurately applicable, we investigate the specific case of two qubits while focusing on their entanglement dynamics. It is well known that entanglement, the relevant property when exploiting quantum effects in fields like quantum computation, communication and metrology, is fragile when exposed to environmental noise. On the other hand, a common environment can also mediate an effective interaction between the two parties featuring entanglement generation. In this work we elucidate the interplay between these competing effects, focusing on several different aspects. For the perturbative (weak coupling) regime we enlighten the difficulties inherent to the frequently used rotating wave approximation (RWA), an approximation often applied to ensure positivity of the reduced state for all times. We show that these difficulties are best overcome when simply omitting the RWA. The seemingly unphysical dynamics can still be used to approximate the exact entanglement dynamics very well. Furthermore, the influence of the renormalizing counter term is investigated. It is expected that under certain conditions (adiabatic regime) the generation of entanglement is suppressed by the presence of the counter term. It is shown, however, that for a deep sub-Ohmic environment this expectation fails. Leaving the weak coupling regime, we show that the generation of entanglement due to the influence of the common environment is a general property of the open two-spin system. Even for non-zero temperatures it is demonstrated that entanglement can still be generated and may last for arbitrary long times. Finally, we determine the maximum of the steady state entanglement as a function of the coupling strength and show how the known delocalization-to-localization phase transition is reflected in the long time entanglement dynamics. All these results require an exact treatment of the open quantum system dynamics and, thus, contribute to the fundamental understanding of the entanglement dynamics of open quantum systems. / Bei der Bestimmung der Dynamik eines Quantensystems ist die Berücksichtigung seiner Umgebung von großem Interessen, da faktisch jedes reale Quantensystem von seiner Umgebung beeinflusst wird. Es zeigt sich, dass die viel verwendeten störungstheoretischen Ansätze starken Einschränkungen unterliegen. Außerdem, da es in aktuellen Experimenten gelungen ist starke Wechselwirkung zwischen dem System und seiner Umgebung zu realisieren, gewinnt das nicht-störungstheoretischen Regime stets an Relevanz. Dementsprechend ist die Berechnung der exakten Dynamik offener Quantensysteme von grundlegender Bedeutung. Einen solchen exakten nummerischen Zugang stellt der hierarchy of pure states (HOPS) Formalismus dar. Dessen neuartige und detaillierte Herleitung, sowie diverse nummerische Aspekte werden im methodischen Teil dieser Arbeit dargelegt. In vielerlei Hinsicht relevant folgt als Anwendung eine umfangreiche Untersuchung der Verschränkungsdynamik zweier Qubits unter dem Einfluss einer gemeinsamen Umgebung. Vor allem im Hinblick auf die experimentell realisierbare starke Kopplung mit der Umgebung ist dieses Analyse von Interesse. Der HOPS Formalismus basiert auf der stochastischen Beschreibung der Dynamik offener Quantensysteme im Rahmen der non-Markovian quantum state diffusion (NMQSD) Theorie. Der stochastische Charakter der Methode, die implizite Berücksichtigung der Umgebungsdynamik, sowie das damit verbundene Importance Sampling, als auch die Tatsache dass lediglich reine Zustände propagiert werden müssen unterscheidet diese Methode maßgeblich von anderen Ansätzen und birgt numerische Vorteile. Um zu behaupten, dass die HOPS Methode exakte Ergebnisse liefert, müssen auftretenden nummerischen Fehler beliebig klein gemacht werden können. Ein grundlegender Teil der hier vorgestellten methodischen Arbeit liegt in der Entwicklung diverser Schemata, die genau das erreichen. Dazu zählen die numerische Realisierung von Gauss’schen stochastischen Prozessen, die Darstellung der Badkorrelationsfunktion als Summe von Exponentialfunktionen sowie das Abschneiden der Hierarchie. Außerdem wird gezeigt, dass sich der temperaturabhängige Einfluss der Umgebung durch einen stochastischen Hermiteschen Beitrag zum System-Hamiltonoperator berücksichtigen lässt. Vor allem bei starker Kopplung ist diese Variante besonders geeignet für den HOPS Zugang. Um die Genauigkeitsbehauptung der HOPS Methode zu überprüfen wird die Übereinstimmung mit anderen Methode gezeigt, wobei das vermeintlich einfachste, jedoch nicht triviale spin-boson-Modell als Testsystem verwendet wird. Diese Untersuchung belegt, dass die HOPS Methode für eine Vielzahl an Szenarien geeignet ist. Das beinhaltet schwache und starke Kopplung an die Umgebung, sowie Temperatur null als auch hohe Temperaturen. Mit dem gewonnenen Wissen, dass die HOPS Methode vielseitig einsetzbar ist und genaue Ergebnisse liefert wird anschließend der spezielle Fall zweier Qubits untersucht. Im Hinblick auf die Ausnutzung von Quanteneffekten in Bereichen wie Rechentechnik, Kommunikation oder Messtechnik liegt der primäre Fokus auf der Dynamik der Verschränkung zwischen den Qubits. Es ist bekannt, dass durch von außen induziertes Rauschen die Verschränkung im Laufe der Zeit abnimmt. Andererseits weiß man auch, dass eine gemeinsame Umgebung zu einer effektiven Wechselwirkung zwischen den Qubits führt, welche Verschränkung aufbauen kann. In dieser Arbeit wird das Wechselspiel zwischen diesen beiden gegensätzlichen Effekten untersucht, wobei die folgenden Aspekte beleuchtet werden. Für den Fall schwacher Kopplung, wo eine störungstheoretische Behandlung in Frage kommt, werden die Probleme der rotating wave approximation (RWA) analysiert. Diese Näherung wird häufig verwendet um die Positivität des reduzierten Zustands zu allen Zeiten zu gewährleisten. Es wird gezeigt, dass sich diese Probleme am besten vermeiden lassen, wenn die RWA einfach weggelassen wird. Die auf den ersten Blick nicht-physikalische Dynamik ist sehr gut geeignet um die exakte Verschränkungsdynamik näherungsweise wiederzugeben. Des Weiteren wird der Einfluss der Renormalisierung des sogenannten counter terms untersucht. Unter bestimmten Voraussetzungen (adiabatisches Regime) ist zu erwarten, dass der Verschränkungsaufbau durch den counter term verhindert wird. Es zeigt sich, dass für eine sehr sub-Ohm’sche Umgebung (deep sub-Ohmic regime) diese Erwartung nicht zutrifft. Weiterhin wird der Fall starker Kopplung zwischen dem zwei-Qubit-System und der Umgebung betrachtet. Die Berechnungen zeigen das generelle Bild, dass sich zwei nicht wechselwirkende Qubits durch den Einfluss einer gemeinsamen Umgebung verschränken. Selbst bei Temperaturen größer als null kann Verschränkung aufgebaut werden und auch für beliebig lange Zeiten erhalten bleiben. In einem letzten Punkt wird das Maximum der stationären Verschränkung (Langzeit-Limes) in Abhängigkeit von der Kopplungsstärke bestimmt. Dabei wird gezeigt, dass sich der bekannte Phasenübergang von Delokalisierzung zu Lokalisierung auch in der Langzeitdynamik der Verschränkung widerspiegelt. All diese Erkenntnisse erfordern eine exakte Behandlung der offenen Systemdynamik und erweitern somit das fundamentalen Verständnis der Verschränkungsdynamik offener Quantensysteme.

We utilize the exact factorization of the electron-nuclear wave function [Abedi et al., PRL 105 123002 (2010)] to illuminate several aspects of laser-driven molecular dynamics in intense femtosecond laser pulses. Above factorization allows for a splitting of the full molecular wave function and leads to a time-dependent Schrödinger equation for the nuclear subsystem alone which is exact in the sense that the absolute square of the corresponding, purely nuclear, wave function yields the exact nuclear N-body density of the full electron-nuclear system. As one remarkable feature, this factorization provides the exact classical force, the force which contains the highest amount of electron-nuclear correlations that can be retained in the quantum-classical limit of the electron-nuclear system. We re-evaluate the classical limit of the nuclear Schrödinger equation from the perspective of the exact factorization, and address the long-standing question of the validity of the popular quantum-classical surface hopping approach in laserdriven cases. In particular, our access to the exact classical force allows for an elaborate evaluation of the various and completely different potential energy surfaces frequently applied in surface hopping calculations. The highlight of this work consists in a generalization of the exact factorization and its application to the laser-driven molecular wave function in the Floquet picture, where the molecule and the laser form an united quantum system exhibiting its own Hilbert space. This particular factorization enables us to establish an analytic connection between the exact nuclear force and Floquet potential energy surfaces. Complementing above topics, we combine different well-known and proven methods to give a systematic study of molecular dissociation mechanisms for the complicated electric fields provided by modern attosecond laser technology.:Contents Introduction 1 The exact factorization of time-dependent wave functions 1.1 Concern and state of the art 1.2 The exact factorization of the electron-nuclear wave function 1.3 The generalized exact factorization 1.4 The exact factorization for coupled harmonic oscillators 1.5 The exact factorization for a single particle with spin 1.6 The exact factorization of the laser-driven electron-nuclear wave function in the Floquet picture 1.7 Summary and conclusion 2 Quantum-classical molecular dynamics from an exact factorization perspective 2.1 Concern and state of the art 2.2 The exact nuclear TDSE 2.3 The Wigner-Moyal equation for the nuclear TDSE and its classical limit 2.4 The Bohmian formulation of the nuclear TDSE and its classical limit 2.5 Comparative calculations 2.5.1 Scenario 1: stationary states 2.5.2 Scenario 2: laser-driven dynamics 2.6 Summary and conclusion 3 Surface hopping in laser-driven molecular dynamics 3.1 Concern and state of the art 3.2 Surface hopping 3.3 Quantum-classical dynamics on the EPES 3.4 The benchmark model and its potential energy surfaces 3.5 Surface hopping in laser-driven molecular dynamics 3.6 Summary and conclusion 4 Beyond the limit of the Floquet picture: molecular dissociation in few-cycle laser pulses 4.1 Concern and state of the art 4.2 Theoretical few-cycle pulses 4.3 Calculation of dissociation probabilities 4.4 Dissociation in few-cycle pulses 4.4.1 Dissociation in half-cycle pulses 4.4.2 Dissociation in few-cycle pulses 4.5 Dissociation in realistic attosecond pulses 4.6 Summary and conclusion Outlook Appendices A List of abbreviations B Numerical details C Calculating electronic observables within quantum-classical molecular dynamics D Ionization in few-cycle pulses E Modeling an optical attosecond pulse Bibliography

The reliability analysis of plates and shells with respect to plastic collapse or to inadaptation is formulated on the basis of limit and shakedown theorems. The loading, the material strength and the shell thickness are considered as random variables. Based on a direct definition of the limit state function, the nonlinear problems may be efficiently solved by using the First and Second Order Reliability Methods (FORM/SORM). The sensitivity analyses in FORM/SORM can be based on the sensitivities of the deterministic shakedown problem. The problem of reliability of structural systems is also handled by the application of a special barrier technique which permits to find all the design points corresponding to all the failure modes. The direct plasticity approach reduces considerably the necessary knowledge of uncertain input data, computing costs and the numerical error. / Die Zuverlässigkeitsanalyse von Platten und Schalen in Bezug auf plastischen Kollaps oder Nicht-Anpassung wird mit den Traglast- und Einspielsätzen formuliert. Die Lasten, die Werkstofffestigkeit und die Schalendicke werden als Zufallsvariablen betrachtet. Auf der Grundlage einer direkten Definition der Grenzzustandsfunktion kann die Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit effektiv mit den Zuverlässigkeitsmethoden erster und zweiter Ordnung (FROM/SORM) gelöst werden. Die Sensitivitätsanalysen in FORM/SORM lassen sich auf der Basis der Sensitivitäten des deterministischen Einspielproblems berechnen. Die Schwierigkeiten bei der Ermittlung der Zuverlässigkeit von strukturellen Systemen werden durch Anwendung einer speziellen Barrieremethode behoben, die es erlaubt, alle Auslegungspunkte zu allen Versagensmoden zu finden. Die Anwendung direkter Plastizitätsmethoden führt zu einer beträchtlichen Verringerung der notwendigen Kenntnis der unsicheren Eingangsdaten, des Berechnungsaufwandes und der numerischen Fehler.

My thesis addresses a systematic approach to stochastic models in population genetics; in particular, the Wright-Fisher models affected only by the random genetic drift. I used various mathematical methods such as Probability, PDE, and Geometry to answer an important question: \"How do genetic change factors (random genetic drift, selection, mutation, migration, random environment, etc.) affect the behavior of gene frequencies or genotype frequencies in generations?”. In a Hardy-Weinberg model, the Mendelian population model of a very large number of individuals without genetic change factors, the answer is simple by the Hardy-Weinberg principle: gene frequencies remain unchanged from generation to generation, and genotype frequencies from the second generation onward remain also unchanged from generation to generation. With directional genetic change factors (selection, mutation, migration), we will have a deterministic dynamics of gene frequencies, which has been studied rather in detail. With non-directional genetic change factors (random genetic drift, random environment), we will have a stochastic dynamics of gene frequencies, which has been studied with much more interests. A combination of these factors has also been considered. We consider a monoecious diploid population of fixed size N with n + 1 possible alleles at a given locus A, and assume that the evolution of population was only affected by the random genetic drift. The question is that what the behavior of the distribution of relative frequencies of alleles in time and its stochastic quantities are. When N is large enough, we can approximate this discrete Markov chain to a continuous Markov with the same characteristics. In 1931, Kolmogorov first introduced a nice relation between a continuous Markov process and diffusion equations. These equations called the (backward/forward) Kolmogorov equations which have been first applied in population genetics in 1945 by Wright. Note that these equations are singular parabolic equations (diffusion coefficients vanish on boundary). To solve them, we use generalized hypergeometric functions. To know more about what will happen after the first exit time, or more general, the behavior of whole process, in joint work with J. Hofrichter, we define the global solution by moment conditions; calculate the component solutions by boundary flux method and combinatorics method. One interesting property is that some statistical quantities of interest are solutions of a singular elliptic second order linear equation with discontinuous (or incomplete) boundary values. A lot of papers, textbooks have used this property to find those quantities. However, the uniqueness of these problems has not been proved. Littler, in his PhD thesis in 1975, took up the uniqueness problem but his proof, in my view, is not rigorous. In joint work with J. Hofrichter, we showed two different ways to prove the uniqueness rigorously. The first way is the approximation method. The second way is the blow-up method which is conducted by J. Hofrichter. By applying the Information Geometry, which was first introduced by Amari in 1985, we see that the local state space is an Einstein space, and also a dually flat manifold with the Fisher metric; the differential operator of the Kolmogorov equation is the affine Laplacian which can be represented in various coordinates and on various spaces. Dynamics on the whole state space explains some biological phenomena.