Pour V un processus aléatoire càd-làg, on appelle diffusion dans le milieu aléatoire V la solution formelle de l’équation différentielle stochastique \[ dX_t = - \frac1{2} V'(X_t) dt + dB_t, \] où B est un mouvement brownien indépendant de V . Le temps local au temps t et à la position x dela diffusion, noté LX(t, x), donne une mesure de la quantité de temps passé par la diffusion au point x, avant l’instant t. Dans cette thèse nous considérons le cas où le milieu V est un processus de Lévyspectralement négatif convergeant presque sûrement vers −∞, et nous nous intéressons au comportementasymptotique lorsque t tend vers l’infini de $\mathcal{L}_X^*(t) := \sup_{\mathbb{R}} \mathcal{L}_X(t, .)$ le supremum du temps local de ladiffusion, ainsi qu’à la localisation du point le plus visité par la diffusion. Nous déterminons notammentla convergence en loi et le comportement presque sûr du supremum du temps local. Cette étude révèleque le comportement asymptotique du supremum du temps local est fortement lié aux propriétés desfonctionnelles exponentielles des processus de Lévy conditionnés à rester positifs et cela nous amène àétudier ces dernières. Si V est un processus de Lévy, V ↑ désigne le processus V conditionné à rester positif.La fonctionnelle exponentielle de V ↑ est la variable aléatoire $\int_0^{+ \infty} e^{- V^{\uparrow} (t)}dt$ . Nous étudions en particulier sa finitude, son auto-décomposabilité, l’existence de moments exponentiels, sa queue en 0, l’existence et larégularité de sa densité. / For V a random càd-làg process, we call diffusion in the random medium V the formal solution of thestochastic differential equation \[ dX_t = - \frac1{2} V'(X_t) dt + dB_t, \] where B is a brownian motion independent of V . The local time at time t and at the position x of thediffusion, denoted by LX(t, x), gives a measure of the amount of time spent by the diffusion at point x,before instant t. In this thesis we consider the case where the medium V is a spectrally negative Lévyprocess converging almost surely toward −∞, and we are interested in the asymptotic behavior, whent goes to infinity, of $\mathcal{L}_X^*(t) := \sup_{\mathbb{R}} \mathcal{L}_X(t, .)$ the supremum of the local time of the diffusion. We arealso interested in the localization of the point most visited by the diffusion. We notably establish theconvergence in distribution and the almost sure behavior of the supremum of the local time. This studyreveals that the asymptotic behavior of the supremum of the local time is deeply linked to the propertiesof the exponential functionals of Lévy processes conditioned to stay positive and this brings us to studythem. If V is a Lévy process, V ↑ denotes the process V conditioned to stay positive. The exponentialfunctional of V ↑ is the random variable $\int_0^{+ \infty} e^{- V^{\uparrow} (t)}dt$ . For this object, we study in particular finiteness,

La présente thèse couvre deux principaux thèmes de recherche qui seront présentés dans deux parties et précédés par un prolegomenon commun. Dans ce dernier nous introduisons les concepts essentiels et nous exploitons aussi le lien entre les deux parties.<p><p>Dans la première partie, le principal objet d’intérêt est la soi-disant fonctionnelle exponentielle de processus de Lévy. La loi de cette variable aléatoire joue un rôle primordial dans de nombreux domaines divers tant sur le plan théorique que dans des domaines appliqués. Doney dérive une factorisation de la loi arc-sinus en termes de suprema de processus stables indépendants et de même index. Une factorisation similaire de la loi arc-sinus en termes de derniers temps de passage au niveau 1 de processus de Bessel peut aussi être établie en utilisant un résultat dû à Getoor. Des factorisations semblables d’une variable de Pareto en termes des mêmes objets peut également être obtenue. Le but de cette partie est de donner une preuve unifiée et une généralisation de ces factorisations qui semblent n’avoir aucun lien à première vue. Même s’il semble n’y avoir aucune connexion entre le supremum d’un processus stable et le dernier temps de passage d’un processus de Bessel, il peut être montré que ces variables aleatoires sont liées à des fonctionnelles exponentielles de processus de Lévy spécifiques. Notre contribution principale dans cette partie et aussi au niveau de caractérisations de la loi de la fonctionnelle exponentielle sont des factorisations de la loi arc-sinus et de variables de Pareto généralisées. Notre preuve s’appuie sur une factorisation de Wiener-Hopf récente de Patie et Savov.<p>Dans la deuxième partie, motivée par le fait que la dérivée fractionnaire de Caputo et d’autres opérateurs fractionnaires classiques coïncident avec le générateur de processus de Markov auto-similaires positifs particuliers, nous introduisons des opérateurs généralisés de Caputo et nous étudions certaines propriétés. Nous nous intéressons particulièrement aux conditions sous lesquelles ces opérateurs coïncident avec les générateurs infinitésimaux de processus de Markov auto-similaires positifs généraux. Dans ce cas, nous étudions les fonctions invariantes de ces opérateurs qui admettent une représentation en termes de séries entières. Nous précisons que cette classe de fonctions contient les fonctions de Bessel modifiées, les fonctions de Mittag-Leffler ainsi que plusieurs fonctions hypergéométriques. Nous proposons une étude unifiant et en profondeur de cette classe de fonctions. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished