L'objet de cette thèse est l'étude de l'espace de modules des G2-fibrés principaux sur une courbe complexe projective connexe lisse, où G2 désigne le groupe de Lie exceptionnel de plus petit rang. Le groupe G2 est caractérisé via trois approches différentes, la première étant celle où G2 est défini comme le groupe des automorphismes de l'algèbre complexe des octaves de Cayley. Les différentes réductions et extensions que peut admettre un G2-fibré principal sont étudiées ainsi que la relation entre la stabilité d'un G2-fibré principal et celle du fibré vectoriel qui lui est associé. L'espace de modules des G2-fibrés principaux semi-stables est analysé. Nous obtenons notamment une caractérisation de son lieu lisse, une décomposition explicite de son lieu singulier en trois composantes connexes et une analyse de l'espace de Verlinde de niveau 1 pour le groupe G2.

Ma thèse consiste en une étude des cercles de contact et plus généralement des p-sphères de contact sous différents points de vue, topologique, géométrique et algébrique. Une p-sphère de contact est l'ensemble des combinaisons linéaires normalisées de p+1 formes de contact si toutes ces formes sont de contact.<br />Dans la première partie nous étudions des p-sphères de contact invariantes sur des fibrés principaux en cercles. Nous classifions les fibrés principaux de dimension 3 qui admettent des p-sphères de contact invariantes et nous construisons des exemples.<br />Dans la partie géométrique nous étudions l'ensemble des structures de contact associées aux éléments d'un cercle de contact. Nous définissons la notion de faisceau de contact et de toupie de contact (sur une variété riemannienne). Nous classifions les variétés de dimension 3 qui admettent des toupies de contact et nous caractérisons les métriques pour lesquelles il peut y avoir des toupies de contact sur une variété donnée.<br />Dans la partie algébrique, nous étudions les groupes de Lie de dimensions 3 et 7 qui admettent des p-sphères de contact invariantes à gauche. Nous obtenons des résultats de classification, ainsi qu'un certain nombre d'exemples. <br />Nous montrons également qu'il n'existe pas de p-sphère de contact sur les variétés de dimension 4n+1 (pour p 1) et que sur les (4n-1)-sphères il existe toujours une ( (4n)-1)-sphère de contact, où est le nombre d'Adams.

Cette thèse porte sur la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf. Le concept d'extension de Hopf-Galois, qui a été beaucoup étudié ces dernières années, est une généralisation du concept d'extension galoisienne de corps, mais aussi un analogue des fibrés principaux dans le cadre de la géométrie non commutative. Si $H$ est une algèbre de Hopf, une algèbre $H$-comodule $(Z,\delta: Z \to Z \otimes H)$ est une $H$-extension de Hopf-Galois d'une sous-algèbre $B\subset Z$ si l'ensemble des éléments co\"\i nvariants de $Z$ co\"\i ncide avec $B$ et si l'application canonique $\beta : Z \otimes _B Z \to Z\otimes H$ définie par <br />$$ \beta (x\otimes y ) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ est une bijection. Les objets galoisiens forment une classe importante d'extensions de Hopf-Galois ; ce sont celles dont la sous-algèbre des co\"\i nvariants se réduit à l'anneau de base. Bien qu'une littérature abondante ait été consacrée aux extensions de Hopf-Galois, on a peu de résultats sur leur classification à isomorphisme près. Pour contourner la difficulté de classer les extensions de Hopf-Galois à isomorphisme près, Kassel a introduit et développé avec Schneider une relation d'équivalence sur les extensions de Hopf-Galois qu'il a appelée homotopie. <br /><br />Dans cette thèse nous donnons des résultats de classification à homotopie et à isomorphisme près. Notre approche de la classification des objets galoisiens tourne autour de trois axes. <br />\begin{itemize} <br />\item[a)] La construction explicite de représentants des classes d'homotopie des objets galoisiens de l'algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ associée par Drinfeld et Jimbo à une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, explicitant ainsi un théorème de Kassel et Schneider. <br />\item[b)] Une étude des objets galoisiens de l'alg\` ebre quantique $O_q (SL(2))$ des fonctions sur le groupe $SL (2)$, et donc un résultat de classification en dimension infinie; nous donnons la classification à isomorphisme près et des résultats partiels pour la classification à homotopie près. <br />\item[c)] Une étude systématique de la classification à isomorphisme et à homotopie près pour les algèbres de Hopf de dimension $\leq 15$ ; nous synthétisons des résultats éparpillés dans la littérature, portant sur des familles d'algèbres de Hopf pointées ou semisimples et nous complétons ces résultats en donnant la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf de dimension $8$ qui n'est ni semisimple ni <br />pointée. <br />\end{itemize}

Cette thèse traite de la modélisation dynamique des systèmes non-holonomes intermittents et de son application à la bicyclette 3D de Whipple. Pour cela, nous nous sommes appuyés sur un ensemble d'outils en mécanique géométrique (réduction Lagrangienne et projection dans le noyau des contraintes cinématiques essentiellement). Dans un premier temps, nous avons traité le cas de la bicyclette persistante. En définissant l'espace des configurations du vélo comme un fibré principal de groupe structural SE(3), nous avons obtenu un modèle des points de contact et des contraintes exempt de toute non-linéarité associée à un paramétrage de type coordonnées généralisées. Cette formulation nous a permis d'obtenir le noyau des contraintes sous une forme symbolique sans singularité. Nous avons alors produit un modèle symbolique de la dynamique de la bicyclette persistante en utilisant la méthode de réduction par projection de sa dynamique libre dans le sous espace de ses vitesses admissibles. Cette approche étend le cadre général mis au point ces dernières années pour la locomotion bio-inspirée. Profitant de la structure de SE(3), un modèle de la bicyclette intermittente a été proposé dans le cadre d'une approche événementielle. L'adoption du modèle physique de l'impact plastique, nous a permis d'étendre la méthode de réduction par projection au cas intermittent. Nous avons alors comparé notre approche "réduite" à l'approche classiquement utilisée et avons montré qu'elles partageaient une interprétation géométrique commune. Ces outils ont finalement été appliqués à la simulation de la bicyclette intermittente afin d'illustrer la richesse de sa dynamique. / This thesis deals with the dynamic modelling of intermittent non-holonomic systems andits application to the Whipple 3D bicycle. To that end, we relied on a set of tools in geometric mechanics (mainly Lagrangian reduction and the projection in the kernel of the kinematic constraints). In the first instance, we have addressed the case of the bicycle subjected to persistent contacts. By defining the space of the bicycle configurations as a principal fibre bundle with SE(3) as structural group, we obtained a model of the contact points and of the constraints free of any non-linearities associated with a generalized coordinate type configuration. This formulation allowed us to obtain the kernel of the constraints in a symbolic form without singularity. We then produced a symbolic model of the dynamics ofthe bicycle subjected to persistent contacts using the projection reduction method of its free dynamics in the subspace of its permissible speeds. This approach extends the general framework developed in recent years for bio-inspired locomotion. Taking advantage of the structure of SE(3), a model of the intermittent bicycle was proposed as part of an event-driven approach. Moreover, the adoption ofthe physical model of plastic impact has allowed us to extend the projection reduction method to the intermittent case. We then compared our "reduced" approach to the conventional approach and showed that they shared a common geometric interpretation. These tools were finally applied to the simulation of the intermittent bicycle to illustrate its rich dynamics.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'espace de modules des G_2-fibrés principaux sur une courbe complexe projective connexe lisse, où G_2 désigne le groupe de Lie exceptionnel de plus petit rang. Le groupe G_2 est tout d'abord présenté comme le groupe des automorphismes de l'algèbre complexe des octaves de Cayley. D'autres définitions sont ensuite proposées. Les différentes réductions et extensions que peut admettre un G_2-fibré principal sont étudiées ainsi que la relation entre la stabilité d'un G_2-fibré principal et celle de son fibré vectoriel associé. L'espace de modules des G_2-fibrés principaux semistables est analysé. Nous obtenons notamment une caractérisation de son lieu lisse, une décomposition explicite de son lieu singulier en trois composantes connexes et une analyse de l'espace de Verlinde de niveau 1 pour le groupe G_2. / This thesis studies the moduli space of principal G_2-bundles over a smooth connected projective curve, where G_2 is the exceptional Lie group of smallest rank. The group G_2 is first introduced as the group of automorphisms of the complex algebra of the Cayley numbers. Other equivalent definitions are also proposed. We study the reductions and extensions that a principal G_2_bundle can admit, as well as the link between a principal G_2-bundle and its associated vector bundle in relation to the notion of (semi)stability. The moduli space of semistable principal G_2-bundles is analysed. We notably obtain a characterisation of its smooth locus, with an explicit decomposition of its singular locus into three connected componants. We also give an analysis of the Verlinde space of G_2 at level 1.