There are four division algebras namely, real numbers, complex numbers, quaternions and octonions. They can be used to represent a number of orthogonal groups. In particular, the groups SO(3) and SO(4) of rotations of 3- and 4-dimensional spaces, respectively, can be described in terms of quaternions. We start with reviewing these cases and next turn to the groups of rotations of 7- and 8- dimensional spaces and describe them in terms of octonions. Since octonions form a non-associative division algebra, we use Moufang Identities to overcome the difficulty of some calculations and provide transformations that generate groups SO(7) and SO(8), which is an alternative description for these orthogonal groups.

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There are four normed division algebras over real numbers, namely real numbers, complex numbers, quaternions, and octonions. Lack of commutativity and associativity make it difficult to investigate algebraic and geometric properties of octonions. Eigenvalue problem of octonionic Hermitian matrices is one of the interesting studies where we can see this difficulty of extending the basic properties from complex Hermitian matrices to octonionic Hermitian matrices. This includes the notion of orthogonality and decomposition of a Hermitian matrix using its eigenvalues and eigenvectors.Liping Huang and Wasin So derived explicit formulas for computing the roots of quaternionic quadratic equations. We extend their work to octonionic case and solve octonionic left quadratic equations. We represent left spectrum of two by two octonionic Hermitian matrix using the solutions to corresponding octonionic left quadratic equation and identify the family of matrices which admit non-real left eigenvalues. For three by three case we review previous work by Tevian Dray and Corinne Manogue of real eigenvalue problem and study characteristic equations which admit non-real roots that are correspond to non-real left eigenvalues. Finally, we discuss the right spectrum using the associator method, and provide examples using "pyoctonion" python library. Interesting applications and open problems for future studies in this literature are also included.

Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto / Banca: Gilberto Aparecido Pratavieira / Banca: José Márcio Machado / Resumo: O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma anþalise dos octônios, bem como da álgebra octoniônica 8-dimensional, que, apesar de não associativos, são descritos para um número de estruturas excepcionais como por exemplo os grupos de Lie excepcionais e suas respectivas álgebras, favorecendo assim o entendimento das rotações de espaços euclidianos de dimensão inferior. Por essa razão se tornam fascinantes em aplicações nas diversas áreas da Matemática e Física. Apresenta-se também uma aplicação dos octônios na analogia da relação clássica de Moivre, e presentes conexões entre funções octoniônicas transcendentais e operadores diferencias da teoria de Fueter. / Abstract: The objective of this work is to present an analysis of the octonions, as well as the octonionic algebras 8-dimensional. Although they aren't associative, they are described by a number of structures, such as the Lie's exceptional groups and its respective algebras, which help the understanding of rotations of Euclidian spaces of lower dimension. Because of that they are fascinating in applications in several areas of Mathematics and Physics. This work also presents application of octonions in the analog of The Classical De Moivre Relation and presents connections between octonionic transcendent functions and di erential operators of Fueter Theory. / Mestre

Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto / Banca: José Márcio Machado / Banca: Siovani Cintra Felipussi / Resumo: Com o intuido de bem fundamentar bases teóricas para futuras aplicações dos octônios à Mecânica Quântica, Computação Quântica e Criptografia, um dos objetivos maiores deste trabalho é o de determinar e estudar a analiticidade e hiperperiodicidade de funções octoniônicas, de acordo com o Teorema (3.1), enunciado e demonstrado apropriadamente no texto. Além disso, determina-se para as Funções Trigonométricas Octoniônicas a sua periodicidade, enunciada e demonstrada nos Teoremas (3.2) e (3.3). Outro aspecto relevante abordado diz respeito a uma extensão octoniônica da Função Logarítmica, que pode ser importante para aplicações à Física Teórica de Várias dimensões. / Abstract: With the main purpose of setting up a sound theoretical basis in order to apply octonionic algebra to both Quantum Mechanics and Quantum Computation and Criptography, I have studied and determined the regularity of the exponential octonionic function, through the Theorem (3.1). Moreover the determination of the Trigonometrical Octonionic Function is also made and it is obtained its regularity, stated in Theorem (3.2) and (3.3). An octonionic extension of the Logaritimic Function is also well explored, which opens the possibility of a large number of applications in Theoretical Physics of higher dimensions. / Mestre

Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto / Banca: Masayoshi Tsuchida / Banca: Siovani Felipussi / Resumo: Neste trabalho estudamos transformações quaseconformes no contexto dos octônios, que são hipercomplexos de oito dimensões. Por não preservar a magnitude dos ângulos, mapeamentos quaseconformes causam uma dilatação linear. A partir da definição métrica de quaseconformidade, utilizamos a forma binomial para mostrar que a distância jf(y) ¡ f(x)j pode ser escrita como um polinômio em r. Com isso, pudemos desenvolver não são um conjunto de fórmulas como também um método computacional simplificado para o cálculo analítico da dilatação. Posteriormente, utilizamos ferramentas gráficas para vizualizar as consequências da dilatação. / Abstract: In this work we study quasiconformal mappings related to octonionic algebra. Since quasicon- formal mappings do not preserve the magnitude of the angles they cause a linear dilatation. We show that it also happens to 8-dimensional hipercomplex. Based on the metric de¯nition of quasiconformal mapping we show that the distance jf(y)¡f(x)j is a polynomial of variable r. Then it¶s possible to make not only a set of formulas but also a computacional method to calculate the dilatation. We also use some graphical tools to visualize the consequences of dilatation. / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-10-23Bitstream added on 2014-06-13T20:47:37Z : No. of bitstreams: 1 benzatti_lfl_me_sjrp.pdf: 732390 bytes, checksum: 881740f368084e6df5cf0fa8794b0073 (MD5) / Neste trabalho estudamos transformações quaseconformes no contexto dos octônios, que são hipercomplexos de oito dimensões. Por não preservar a magnitude dos ângulos, mapeamentos quaseconformes causam uma dilatação linear. A partir da definição métrica de quaseconformidade, utilizamos a forma binomial para mostrar que a distância jf(y) ¡ f(x)j pode ser escrita como um polinômio em r. Com isso, pudemos desenvolver não são um conjunto de fórmulas como também um método computacional simplificado para o cálculo analítico da dilatação. Posteriormente, utilizamos ferramentas gráficas para vizualizar as consequências da dilatação. / In this work we study quasiconformal mappings related to octonionic algebra. Since quasicon- formal mappings do not preserve the magnitude of the angles they cause a linear dilatation. We show that it also happens to 8-dimensional hipercomplex. Based on the metric de¯nition of quasiconformal mapping we show that the distance jf(y)¡f(x)j is a polynomial of variable r. Then it¶s possible to make not only a set of formulas but also a computacional method to calculate the dilatation. We also use some graphical tools to visualize the consequences of dilatation.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:08Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-02-20Bitstream added on 2014-06-13T20:08:17Z : No. of bitstreams: 1 pendeza_ca_me_sjrp.pdf: 785980 bytes, checksum: 9924600af5c466ce74dbb2b6ceddee2e (MD5) / O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma anþalise dos octônios, bem como da álgebra octoniônica 8-dimensional, que, apesar de não associativos, são descritos para um número de estruturas excepcionais como por exemplo os grupos de Lie excepcionais e suas respectivas álgebras, favorecendo assim o entendimento das rotações de espaços euclidianos de dimensão inferior. Por essa razão se tornam fascinantes em aplicações nas diversas áreas da Matemática e Física. Apresenta-se também uma aplicação dos octônios na analogia da relação clássica de Moivre, e presentes conexões entre funções octoniônicas transcendentais e operadores diferencias da teoria de Fueter. / The objective of this work is to present an analysis of the octonions, as well as the octonionic algebras 8-dimensional. Although they aren't associative, they are described by a number of structures, such as the Lie's exceptional groups and its respective algebras, which help the understanding of rotations of Euclidian spaces of lower dimension. Because of that they are fascinating in applications in several areas of Mathematics and Physics. This work also presents application of octonions in the analog of The Classical De Moivre Relation and presents connections between octonionic transcendent functions and di erential operators of Fueter Theory.

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-08-29T16:36:38Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 3935354 bytes, checksum: f5f2372b545760005e2b3da81e164bed (MD5) / Approved for entry into archive by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2017-08-30T11:44:57Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 3935354 bytes, checksum: f5f2372b545760005e2b3da81e164bed (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-30T11:44:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 3935354 bytes, checksum: f5f2372b545760005e2b3da81e164bed (MD5) Previous issue date: 2015-08-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this paper it will be studied the imaginary numbers and how their evolution over time occurred. Such evolution has occurred at a slow pace until it reached at what is known today as the imaginary number i. However, the creation of the complex was not the end of the study of imaginary numbers. These studies have introduced even more comprehensive concepts creating sets as quaternions, extension of four dimensions of the complex. It will be concluded, with the extensions of eight and sixteen dimensions of the complex numbers, known as octonions and sedenions, respectively. Additionally, it will be submitted some applications of these extensions, also known as hypercomplex numbers. / Neste trabalho serão estudados os números imaginários e como se deu a sua evolução ao longo do tempo. Evolução esta que ocorreu de forma bem lenta, até se chegar no que é conhecido hoje como o número imaginário i. Entretanto, a criação dos complexos não foi o ponto nal do estudo dos números imaginários. Estudos seguintes introduziram conceitos ainda mais abrangentes criando conjuntos como os quatérnios, extensão de quatro dimensões dos complexos. Finaliza-se o trabalho, com as extensões de oito e dezesseis dimensões dos complexos, conhecidas como octônios e sedênios, respectivamente. Além de ser apresentado algumas aplicações dessas extensões, também conhecidas como números hipercomplexos.

Orientador: Jayme Vaz Jr / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataglin / Made available in DSpace on 2018-08-05T13:26:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RochaJunior_Roldaoda_D.pdf: 1670364 bytes, checksum: 3d62c507080592c925245e4858fab674 (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Investigamos generalizações das álgebras de Clifford (ACs) e suas vastas aplicações na Física. Classificamos o mais novo candidato à descrição da matéria escura como um campo espinorial bandeira, que pertence à classe 5 proposta por Lounesto, de acordo com os valores assumidos pelos seus covariantes bilineares. Decompomos a AC em partes a pares e ímpares relativas a uma dada a graduação automórfica interna, além de descrever suas diversas consequências na decomposição de operadores que agem sobre a álgebra exterior e sobre a AC. Além de escrever a equação de Dirac no contexto dessa decomposição, estendemos os resultados conhecidos sobre uma partícula-teste nas vizinhanças de um buraco negro de Schwarzschild para um buraco negro de Reissner-Nordstrom. Introduzimos as ACs estendidas, construídas sobre duas cópias (quiral e aquiral) de um espaço vetorial de dimensão finita munido de uma métrica de assinatura (p, q). Formulamos a AC sobre uma cópia quiral do contraespaço, mostrando propriedades surpreendentes, tais como: a indefinição do elemento de volume do contraespaço sob o produto regressivo, com a possibilidade de ele ser um escalar ou pseudoescalar, dependendo da dimensão do espaço vetorial; e o fato de que a co-cadeia de de Rham do operador codiferencial ser formada por uma sequência de subespaços homogêneos da álgebra exterior subsequentemente quirais e aquirais. Dessa maneira provamos que a álgebra exterior sobre o espaço e aquela construída sobre o contraespaço são apenas pseudo-duais ao introduzirmos quiralidade. A super álgebra de Poincaré é obtida a partir da introdução de algumas estruturas algébricas sobre o espaço euclidiano R3, a partir da utilização de spinors puros e do Princípio da Trialidade juntamente com sua generalização. Introduzimos os octonions no contexto das ACs e definimos unidades octoniônicas parametrizadas por elementos arbitrários, mas fixos, de uma AC sobre R0,7 e também produtos octoniônicos entre multivetores, além de generalizarmos as identidades de Moufang para esse formalismo. O Modelo Padrão das partículas elementares é rediscutido nesse contexto, além de obtermos uma Teoria de Calibre não-associativa em Cl0,7 , onde o campo espinorial é dado pela soma direta de um quark e um lépton. Finalmente introduzimos as isotopias, associativas e não-associativas, das ACs e em particular a simetria de sabor SU(6) dos quarks se apresenta como uma simetria exata dentro do contexto do levantamento isotópico da AC CL12. Bárions e mésons também são descritos nesse contexto / Abstract: We investigate Clifford algebras (ACs) generalizations and their wide applications in Physics. The candidate for the description of the dark matter is classified as a agpole spinor field, that is in the class 5 spinors proposed by Lounesto according to his spinor field classification by the values assumed by their bilinear covariants. The AC is split in a-even and a-odd components, related to a given inner automorphic a-grading, besides describing various consequences of this decomposition in the splitting of operators acting on the exterior and Clifford algebras. Besides writing the Dirac equation in the spacetime splitting context, we extend the well known results concerning a spinning test particle in a Schwarzschild black hole neighboorhood to a Reissner-Nordstrom black hole. We alsointroduce the extended ACs associated with two copies (chiral and achiral) of a finite-dimensional vector space endowed with a metric of signature (p, q). ACs are formulated on a chiral copy of the counterspace, where we show astounding and astonishing properties such as: the de Rham co-chain associated with the codifferential operator is constituted by a sequence of exterior algebra homogeneous subspaces subsequently chiral and achiral. Thus we prove thatthe exterior algebra on the space and the exterior algebra constructed on the counterspace are pseudoduals, if we introduce chirality. The Poincaré superalgebra is obtained from the introduction of some algebraic structures on the Euclidean space R3 , via the pure spinor formalism and the triality principle and its generalization. Octonions are introduced in thecontext of ACs and we define AC-parametrized octonionic units, besides generalizing Moufang identities in this context. The Standard Model of elementary particles is revisited in the octonionic context and we also obtain a gauge theory using the new octonionic products introduced, where a spinor field describes the direct sum of a quark and a lepton. Finally we introduce associative and non-associative isotopies of ACs. In particular we present the avor quark symmetry SU(6) as an exact symmetry in the Cl12 isotopic lifting context. Barions and mesons are also described via isotopic lifting of ACs / Doutorado / Fisica-Matematica / Doutor em Ciências