Title: On the Dijkstra's algorithm in the Pedestrian Flow Problem Author: Tereza Petrášová Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc., Department of Numerical Mathe- matics Abstract: The pedestrian flow problem is described by a coupled system of the first order hyperbolic partial differential equations with the source term and by the functional minimization problem for the desired direction of motion. The functional minimization is based on the modified Dijkstra's algorithm used to find the minimal path to the exit. The original modification of the Dijkstra's algorithm is proposed to increase its efficiency in the pedestrian flow problem. This approach is compared with the algorithm of Bornemann and Rasch for determination of the desired direction of motion based on the solution of the so- called Eikonal equation. Both approaches are numerically tested in the framework of two splitting algorithms for solution of the coupled problem. The former splitting algorithm is based on the finite volume method yielding for the given time instant the piecewise constant approximation of the solution. The latter one uses the implicit discretization by a space-time discontinuous Galerkin method based on the discontinuous piecewise polynomial approximation. The numerical examples...

Power grids constitute an essential infrastructure providing and distributing electrical energy. The grid structure is currently subject to rapid changes due to the integration of renewable energy sources. In this development one is confronted with several challenges and opportunities as, for instance, the reduction of inertial masses in the system, the strongly increasing decentralisation of generators, and the fluctuating power feed-in by generators relying on renewable energy sources. In this thesis, models are studied that describe the non-linear power-grid dynamics in the presence of fluctuating power feed-in from renewable energy sources, primarily wind turbines. Realistic features of wind-power feed-in are captured by using real data measured at a research platform located in the North Sea. This approach is applied to test systems provided by the Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), in which one conventional generator is replaced by a wind turbine. It is found that so-called dead ends and other weakly coupled network parts are particularly prone to power fluctuations and perturbations. In contrast to previous studies, the often pronounced heterogeneities of the power grid elements are taken into account when solving the non-linear power-flow and swing equations. Also reactances between locations of power generation and power feed-in are considered, which causes the link topology in the power grid to correspond to a full graph, where all nodes are effectively connected. Both the grid heterogeneities and the additional generator reactances have a decisive impact on power grid stability. Some structures considered as particularly stable in simplified models are prone to perturbations when utilising the more realistic model and vice versa. By the analysis of various quantities characterising functional grid operation, it is shown that a reliable assessment of power grid stability requires the consideration of heterogeneities and generator reactances.

In dieser Arbeit wird das eindimensionale Kondo-Gitter-Modell untersucht, das die Wechselwirkung eines Gitters lokaler magnetischer Momente mit unkorrelierten Leitungselektronen beschreibt. Mit Hilfe der Methode der kontinuierlichen unitären Transformationen (Flussgleichungen) wird das Modell im Parameterbereich schwacher Wechselwirkungsstärke betrachtet. In diesem Bereich zeigt das Modell so genanntes Luttinger-Flüssigkeitsverhalten. Im Rahmen der Flussgleichungsmethode wird der Hamilton-Operator auf ein effektives Modell abgebildet, in dem Elektronen und Spinmomente vollständig entkoppelt sind. Das Resultat dieses Prozesses ist ein Modell, das ein nichtwechselwirkendes Elektronengas und eine Heisenberg-Spinkette beschreibt. Das Eigenwertproblem der Heisenberg-Kette wird im Rahmen einer Schwinger-Boson-Molekularfeld-Theorie beschrieben. Zur Charakterisierung der Grundzustandseigenschaften des eindimensionalen Kondo-Gitter-Modells wurden verschiedene Erwartungswerte und Korrelationsfunktionen betrachtet. Neben statischen Größen, wie der Ladungskorrelationsfunktion der Elektronen oder der Spinkorrelationsfunktion der lokalen Spinmomente, werden dynamische Größen, wie die elektronische Zustandsdichte oder die dynamischen Spinstrukturfaktoren der Elektronen und der lokalen Spinmomente, berechnet. / The one-dimensional Kondo lattice model is investigated. This model describes the interaction between a lattice of local magnetic moments and uncorrelated conduction electrons. It is studied by means of the continuous unitary transformation's method (flow equations) within the parameter regime of weak interaction strength. Here the model shows so called Luttinger liquid behaviour. Within the framework of the flow equation's method the original Hamiltonian is mapped on an effective model, where electrons and local moments are completely decoupled. The result of this process is a model describing a non-interacting electron gas and a Heisenberg spin chain. The eigenvalue problem of the Heisenberg chain is described within a Schwinger bosons molecular field theory. In order to characterise the ground state properties of the one-dimensional Kondo lattice model different expectation values and correlation functions are investigated. Beside static properties like the charge correlation function of the electrons or the local moment's spin correlation function, dynamic properties are determined, like the electronic density of states or the dynamic spin structure factor of both the electrons and the local moments.

In dieser Arbeit wird das eindimensionale Kondo-Gitter-Modell untersucht, das die Wechselwirkung eines Gitters lokaler magnetischer Momente mit unkorrelierten Leitungselektronen beschreibt. Mit Hilfe der Methode der kontinuierlichen unitären Transformationen (Flussgleichungen) wird das Modell im Parameterbereich schwacher Wechselwirkungsstärke betrachtet. In diesem Bereich zeigt das Modell so genanntes Luttinger-Flüssigkeitsverhalten. Im Rahmen der Flussgleichungsmethode wird der Hamilton-Operator auf ein effektives Modell abgebildet, in dem Elektronen und Spinmomente vollständig entkoppelt sind. Das Resultat dieses Prozesses ist ein Modell, das ein nichtwechselwirkendes Elektronengas und eine Heisenberg-Spinkette beschreibt. Das Eigenwertproblem der Heisenberg-Kette wird im Rahmen einer Schwinger-Boson-Molekularfeld-Theorie beschrieben. Zur Charakterisierung der Grundzustandseigenschaften des eindimensionalen Kondo-Gitter-Modells wurden verschiedene Erwartungswerte und Korrelationsfunktionen betrachtet. Neben statischen Größen, wie der Ladungskorrelationsfunktion der Elektronen oder der Spinkorrelationsfunktion der lokalen Spinmomente, werden dynamische Größen, wie die elektronische Zustandsdichte oder die dynamischen Spinstrukturfaktoren der Elektronen und der lokalen Spinmomente, berechnet. / The one-dimensional Kondo lattice model is investigated. This model describes the interaction between a lattice of local magnetic moments and uncorrelated conduction electrons. It is studied by means of the continuous unitary transformation's method (flow equations) within the parameter regime of weak interaction strength. Here the model shows so called Luttinger liquid behaviour. Within the framework of the flow equation's method the original Hamiltonian is mapped on an effective model, where electrons and local moments are completely decoupled. The result of this process is a model describing a non-interacting electron gas and a Heisenberg spin chain. The eigenvalue problem of the Heisenberg chain is described within a Schwinger bosons molecular field theory. In order to characterise the ground state properties of the one-dimensional Kondo lattice model different expectation values and correlation functions are investigated. Beside static properties like the charge correlation function of the electrons or the local moment's spin correlation function, dynamic properties are determined, like the electronic density of states or the dynamic spin structure factor of both the electrons and the local moments.

In der vorliegenden Arbeit wird die Physik von Schwer-Fermion-Systemen, die durch Lanthanid- und Aktinid-Übergangsmetallverbindungen realisiert werden, untersucht. Die Basis für eine theoretische Beschreibung bildet das Anderson-Gitter, welches das Wechselspiel freier Leitungselektronen und stark korrelierter Elektronen aus lokalisierten f-Orbitalen charakterisiert. Als Zugang zu diesem Modell wird die von Wegner vorgeschlagene Flussgleichungsmethode verwendet, ein analytisches Verfahren, welches auf der Konstruktion eines effektiven Hamilton-Operators basiert. Ein zentrales Thema dieser Arbeit ist die Beschreibung der elektronischen Struktur von Schwer-Fermion-Systemen. Insbesondere wird die Abhängigkeit statischer Größen vom Einfluss verschiedener Systemparameter betrachtet. Die Dynamik kollektiver Anregungen in Schwer-Fermion-Systemen wird an Hand der elektronischen Zustandsdichten und dynamischen magnetischen Suszeptibilitäten untersucht. / The physical properties of heavy-fermion systems are examined. These systems are mainly formed by rare earth or actinide compounds. Their essential physics can be characterized by the periodic Anderson model which describes the interplay of itinerant metal electrons and localized, but strongly correlated f-electrons. The present calculations are based on the flow equations approach proposed by Wegner. This method uses a continuous unitary transformation to derive an effective Hamiltonian of an easy to treat structure. Within this framework the electronic structure of heavy-fermion systems is calculated and the influence of external parameters is studied. Beside the derivation of static properties the density of states and dynamic magnetic susceptibilities are investigated in order to characterize the nature of collective excitations.

In der vorliegenden Arbeit wird die Physik von Schwer-Fermion-Systemen, die durch Lanthanid- und Aktinid-Übergangsmetallverbindungen realisiert werden, untersucht. Die Basis für eine theoretische Beschreibung bildet das Anderson-Gitter, welches das Wechselspiel freier Leitungselektronen und stark korrelierter Elektronen aus lokalisierten f-Orbitalen charakterisiert. Als Zugang zu diesem Modell wird die von Wegner vorgeschlagene Flussgleichungsmethode verwendet, ein analytisches Verfahren, welches auf der Konstruktion eines effektiven Hamilton-Operators basiert. Ein zentrales Thema dieser Arbeit ist die Beschreibung der elektronischen Struktur von Schwer-Fermion-Systemen. Insbesondere wird die Abhängigkeit statischer Größen vom Einfluss verschiedener Systemparameter betrachtet. Die Dynamik kollektiver Anregungen in Schwer-Fermion-Systemen wird an Hand der elektronischen Zustandsdichten und dynamischen magnetischen Suszeptibilitäten untersucht. / The physical properties of heavy-fermion systems are examined. These systems are mainly formed by rare earth or actinide compounds. Their essential physics can be characterized by the periodic Anderson model which describes the interplay of itinerant metal electrons and localized, but strongly correlated f-electrons. The present calculations are based on the flow equations approach proposed by Wegner. This method uses a continuous unitary transformation to derive an effective Hamiltonian of an easy to treat structure. Within this framework the electronic structure of heavy-fermion systems is calculated and the influence of external parameters is studied. Beside the derivation of static properties the density of states and dynamic magnetic susceptibilities are investigated in order to characterize the nature of collective excitations.