Cette thèse s'inscrit dans la théorie des matrices aléatoires, à l'intersection avec la théorie des probabilités libres et des algèbres d'opérateurs. Elle s'insère dans une démarche générale qui a fait ses preuves ces dernières décennies : importer les techniques et les concepts de la théorie des probabilités non commutatives pour l'étude du spectre de grandes matrices aléatoires. On s'intéresse ici à des généralisations du théorème de liberté asymptotique de Voiculescu. Dans les Chapitres 1 et 2, nous montrons des résultats de liberté asymptotique forte pour des matrices gaussiennes, unitaires aléatoires et déterministes. Dans les Chapitres 3 et 4, nous introduisons la notion de fausse liberté asymptotique pour des matrices déterministes et certaines matrices hermitiennes à entrées sous diagonales indépendantes, interpolant les modèles de matrices de Wigner et de Lévy. / The thesis fits into the random matrix theory, in intersection with free probability and operator algebra. It is part of a general approach which is common since the last decades: using tools and concepts of non commutative probability in order to get general results about the spectrum of large random matrices. Where are interested here in generalization of Voiculescu's asymptotic freeness theorem. In Chapter 1 and 2, we show some results of strong asymptotic freeness for gaussian, random unitary and deterministic matrices. In Chapter 3 and 4, we introduce the notion of asymptotic false freeness for deterministic matrices and certain random matrices, Hermitian with independent sub-diagonal entries, interpolating Wigner and Lévy models.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des probabilités et des statistiques, et plus précisément des matrices aléatoires. Dans la première partie, on étudie les grandes déviations de la mesure spectrale de matrices de covariance $XX^*$, où $X$ est une matrice aléatoire rectangulaire à coefficients i.i.d. ayant une queue de probabilité en $exp(-at^{alpha})$, $alpha in ]0,2[$. On établit un principe de grandes déviations analogue à celui de Bordenave et Caputo, de vitesse $n^{1+alpha/2}$ et de fonction de taux explicite faisant intervenir la convolution libre rectangulaire. La démonstration repose sur un résultat de quantification de la liberté asymptotique dans le modèle information-plus-bruit. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long de la solution de l'équation de Fokker-Planck libre en présence du potentiel quartique $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ avec $c ge -2$. On montre que quand $t to +infty$, la solution $mu_t$ de cette équation aux dérivées partielles converge en distance de Wasserstein vers la mesure d'équilibre associée au potentiel $V$. Ce résultat fournit un premier exemple de convergence en temps long de la solution de l'équation des milieux granulaires en présence d'un potentiel non convexe et d'une interaction logarithmique. Sa démonstration utilise notamment des techniques de probabilités libres. / This thesis lies within the field of probability and statistics, and more precisely of random matrix theory. In the first part, we study the large deviations of the spectral measure of covariance matrices XX*, where X is a rectangular random matrix with i.i.d. coefficients having a probability tail like $exp(-at^{alpha})$, $alpha in (0,2)$. We establish a large deviation principle similar to Bordenave and Caputo's one, with speed $n^{1+alpha/2}$ and explicit rate function involving rectangular free convolution. The proof relies on a quantification result of asymptotic freeness in the information-plus-noise model. The second part of this thesis is devoted to the study of the long-time behaviour of the solution to free Fokker-Planck equation in the setting of the quartic potential $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ with $c ge -2$. We prove that when $t to +infty$, the solution $mu_t$ to this partial differential equation converge in Wasserstein distance towards the equilibrium measure associated to the potential $V$. This result provides a first example of long-time convergence for the solution of granular media equation with a non-convex potential and a logarithmic interaction. Its proof involves in particular free probability techniques.