Nous simulons numériquement les équations de Boussinesq pour la convection de Rayleigh-Bénard en récipient cylindrique. Dans la première partie, pour un rapport d'aspect d'environ 1.5, le nombre de Prandtl 1 et parois verticales isolantes, une transition d'un écoulement stationnaire axisymétrique vers des écoulements non-stationnaires est étudiée, par moyens de simulations non-linéaires, analyse de stabilité linéaire et théorie de bifurcations. Pour un nombre de Rayleigh d'environ $25\,000$, l'état axisymétrique devient instable vers les ondes azimutales stationnaires ou progressives. Les ondes stationnaires sont légèrement instables vers les ondes progressives. Ce scénario est identifié comme une bifurcation de Hopf dans un système avec une symétrie $O(2)$. Dans la deuxième partie nous étudions le phénomène de coexistence d'états stables pour le rapport d'aspect 2, le nombre de Prandtl 6.7 et les parois verticales soit parfaitement isolantes, soit parfaitement conductrices. En faisant varier le nombre de Rayleigh et les conditions initiales, nous obtenons une grande variété de motifs convectifs pour le même nombre de Rayleigh. Nous donnons un diagramme de bifurcations préliminaire, montrant les branches stables. Les résultats pour les parois verticales parfaitement isolantes sont en bon accord avec les expériences.

Ce travail est motivé par l'effort international actuel de créer expérimentalement une dynamo fluide auto-entretenue. L'effet dynamo, dont l'existence a été prevu par Larmor au début du XXème siècle, est considéré comme étant responsable de la production du champ matnétique terrestre et d'autres objets célestes par l'intermédiaire de l'écoulement d'un fluide conducteur. Afin d'étudier numériquement l'écoulement de von Kármán, qui modélise la configuration d'une expérience dynamo mise en place à Cadarache, nous avons développé une approche numérique originale permettant la résolution des équations magnétohydrodynamiques dans une géométrie dylindrique en formulation potentielle. La décomposition en potentiels poloïdal et toroïdal a été utilisée pour garantir la nature solénoïdale des champs de vitesse et magnétique. Nous utilisons la technique de la matrice d'influence pour satisfaire aux conditions aux limites et aux conditions de continuité du champ magnétique à la paroi du cylindre. La grande puissance de calcul, résultant de la parallélisation MPI du code, a presmis de l'appliquer deux problèmes concernant la turbulence dans la géométrie cylindrique : la turbulence axisymétrique et une bifurcation entre états turbulents.