Pas de résumé / Axisymmetric turbulence is investigated using direct numerical simulations. A fully spectral method is implemented using Chandrasekhar-Kendall eigenfunctions of the curl-operator. The numerical domain is a periodic cylinder with no-penetration and partial slip conditions at the wall. Numerical simulations are first carried out for freely decaying axisymmetric turbulence, starting from a variety of initial conditions. The simulations indicate that the global angular momentum is the most robust invariant of the system. It is further observed that large-scale coherent structures emerge, as in 2D isotropic turbulence. Energy decays more slowly than helicity, and the toroidal kinetic energy decays faster than its poloidal part. In the case where the toroidal kinetic energy becomes negligible, a quasi-two dimensional turbulence in the poloidal plane is obtained, with a behavior compatible with predictions of statistical mechanics theories. Forced and decaying simulations are then carried out to assess the cascade-behavior of the different invariants. The existence of an inverse cascade is shown to explain the robustness of the angular momentum and the possible ‘spontaneous generation’ of this quantity and of circulation in the flow. In helical flows, the existence of a dual cascade is confirmed, with a scenario compatible with the existence of an inverse energy cascade towards the large scales, and a direct cascade of helicity towards the small scales. The inverse energy cascade seems to be mainly associated with the poloidal velocity field. Using a helical decomposition of the flow, it is shown that the direct cascade of helicity seems to subsist even in the absence of net helicity, when the ‘cascade’ of the helicity contained in oppositely polarized modes is considered individually. The scaling of the energy spectra associated with the energy cascade is compatible with elementary dimensional arguments, whereas the scaling of the inverse (presumably helicity) cascade yields an anomalously steep slope. It is shown that this slope adjusts to the value predicted by dimensional analysis when the spectra are computed from a filtered velocity field in which strong intermittent regions of velocity are not accounted for. Finally, a preliminary (but unfortunately unfruitful) attempt is presented to apply a variational principle to the description of turbulent scalar mixing in three-dimensional turbulence.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation des petites échelles de la turbulence afin d'obtenir des équations fermées pour les grandeurs à grande échelle (ou moyennées). Nous nous basons sur des modèles de type stochastique ou statistique afin d'étudier les trois problèmes suivants : - Les grandeurs globales dans un écoulement fortement turbulent, en turbulence hydrodynamique. En adoptant une paramétrisation stochastique des petites échelles, nous prédisons la distribution statistique du couple reçu par la turbulence. - l'effet dynamo engendé par un écoulement turbulent. Une modélisation stochastique permet de dériver une équation pour la distribution de probabilité du champ magnétique et d'identifier un seuil d'effet dynamo en présence de turbulence. - les états d'équilibre de la turbulence axisymétrique aussi bien hydrodynamique que magnétohydrodynamique. Nous les étudions via une approche de mécanique statistique.

Ce travail est motivé par l'effort international actuel de créer expérimentalement une dynamo fluide auto-entretenue. L'effet dynamo, dont l'existence a été prevu par Larmor au début du XXème siècle, est considéré comme étant responsable de la production du champ matnétique terrestre et d'autres objets célestes par l'intermédiaire de l'écoulement d'un fluide conducteur. Afin d'étudier numériquement l'écoulement de von Kármán, qui modélise la configuration d'une expérience dynamo mise en place à Cadarache, nous avons développé une approche numérique originale permettant la résolution des équations magnétohydrodynamiques dans une géométrie dylindrique en formulation potentielle. La décomposition en potentiels poloïdal et toroïdal a été utilisée pour garantir la nature solénoïdale des champs de vitesse et magnétique. Nous utilisons la technique de la matrice d'influence pour satisfaire aux conditions aux limites et aux conditions de continuité du champ magnétique à la paroi du cylindre. La grande puissance de calcul, résultant de la parallélisation MPI du code, a presmis de l'appliquer deux problèmes concernant la turbulence dans la géométrie cylindrique : la turbulence axisymétrique et une bifurcation entre états turbulents.