Notre recherche vise l'enseignement de la géométrie au secondaire, en particulier le passage de la géométrie plane (2D) à la géométrie de l'espace (3D). À cet effet nous avons fait une courte analyse du programme d'étude visant l'enseignement de la géométrie de l'espace. Le cadre théorique développé par Houdement et Kuzniak (2005, 2006, 2007) nous a permis de réaliser l'analyse du programme d'étude. Nous avons constaté un manque de continuité à cet égard dans l'enseignement de la géométrie. Le référentiel théorique de la géométrie plane est construit dans l'esprit de la géométrie euclidienne du type GII - 2D, alors que le référentiel théorique de la géométrie de l'espace, qui est une géométrie du type GI - 3D, n'est pas un référentiel organisé selon un modèle mathématique. Nous avons constaté que l'espace de travail de la géométrie plane est un espace du type ETG -GII -2D, alors que pour la géométrie de l'espace, l'espace de travail correspond à un ETG -GI -3D, construit sans égard à un éventuel ETG - GII -3D. À partir de ces constats, nous nous sommes surtout intéressés à l'articulation 2D - 3D. Nous avons construit une séquence qui s'intéresse spécifiquement au passage de la géométrie plane à la géométrie de l'espace. Un autre cadre théorique, plus flexible, s'avérait nécessaire dans l'analyse de la situation-problème proposée à tous les élèves du secondaire. Brousseau et Galvez (1985) ont développé une théorie qui montre la pertinence de l'étude entre un sujet et trois types d'espaces: micro, méso et macro. Ensuite, Berthelot et Salin (2000) développent cette théorie en adaptant aux trois types d'espace les concepts élémentaires de la géométrie qui correspondent en grand partie aux conceptions des élèves dans leur pratique de la géométrie. L'analyse de la situation-problème nous a permis de remarquer que le passage du micro-espace, l'espace de la feuille de papier, au méso-espace, l'espace qui nous entoure, n'est pas fait de façon spontanée. Un ancrage dans l'espace de la feuille de papier, l'espace micro, ne permet pas une bonne articulation avec l'espace méso. Nous remarquons l'importance de développer dans la conscience de l'élève la connaissance « espace » pour développer un vrai sens spatial. Nous allons donc conclure par l'importance de choisir un espace de travail pour la géométrie de l'espace qui soit en continuité avec la géométrie plane: ETG -GII - 2D passant par un ETG - GI - 3D construit de façon à mener plus naturellement et logiquement vers un ETG - GII - 3D. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Enseignement de mathématiques, Secondaire, Géométrie, Espace de travail.

Les terminaux mobiles multipoints se sont très largement démocratisés durant ces dernières années. De plus en plus d’établissements scolaires expérimentent l’introduction des tablettes numériques dans les classes en espérant y trouver des apports pédagogiques. Cependant, les « stores » dédiés à ces nouveaux périphériques ne proposent quasiment aucune application concernant l’apprentissage de la géométrie dans l’espace à l’école primaire et au collège. La difficulté principale de ce type d’application réside dans la nécessité de manipuler un espace tridimensionnel à partir d’un périphérique qui est bidimensionnel. Les jeunes élèves en pleine structuration de l’espace en sont d’ailleurs souvent incapables avec les logiciels classiques des stations de bureau. Dans ce mémoire, nous nous focalisons sur l’utilisation des nouvelles technologies apportées par les tablettes numériques. Notre objectif est multiple, permettre aux élèves de 9 à 15 ans de manipuler, observer, modifier des scènes 3D et mesurer les apports pédagogiques d’une démarche non pas techno-centrée mais anthropo-centrée. En nous basant sur une approche centrée sur l’utilisateur, nous avons d’abord proposé une grammaire d’interactions adaptée à de jeunes apprenants. Nous avons ensuite évalué l’acceptabilité, la facilité d’utilisation et d’apprentissage de nos interactions. Enfin, nous avons étudié in situ l’apport pédagogique de l’introduction de tablettes numériques équipées d’une application basée sur notre grammaire. Nous constatons qu’en utilisant un ensemble d’interactions adapté, les élèves manipulent, observent et modifient des scènes 3D de manière intuitive. De plus, l’utilisation d’une telle application lors de l’apprentissage de la géométrie dans l’espace a montré un apport significatif dans des classes de CM1 principalement en termes de mise en relation des perspectives et d’investigation dans les patrons / Since a few years multi-touch mobile devices are becoming increasingly common. More and more schools are testing them with their pupils in the hope of bringing pedagogic benefits. However, very few applications in the context of 3D geometry learning can be found on the different stores. Manipulating a 3D scene with a 2D device is the main difficulty of such applications. Young students, learning structuration of space, are unable to do that with classical software used on desktop computer. Through this thesis, we focus on allowing students aged 9 to 15 to manipulate, observe and modify 3D scenes by using new technologies brought by the digital tablets. By using a user-centred approach, we have proposed a grammar of interactions adapted to young learners. Then, we have evaluated acceptability, ease to use and ease to learn of our interactions. Finally, we have studied in situ the pedagogic benefits brought by the use of tablets with an app based on our grammar. Our results shows that students are able to manipulate, observe and modify 3D scenes when they use an adapted set of interactions. Moreover, in the context of 3D geometry learning a significant contribution had been observed in two classes when students used such an application

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Ce travail de thèse porte sur le passage, dans l'enseignement secondaire, d'une géométrie du concret à une géométrie portant sur des objets idéaux. Nous montrons que des environnements de géométrie dynamique tridimensionnelle offrent des conditions favorables à ce passage, que nous détaillons. La réflexion théorique s'appuie sur la Théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998) pour proposer des hypothèses quant aux conditions et mécanismes d'apprentissage. En outre, notre questionnement initial est interprété à l'aide de deux cadres principaux. Le point de vue épistémologique des paradigmes géométriques (Houdement et Kuzniak, 2006) permet d'identifier la référence à GII comme un objectif fondamental. L'approche cognitive de Duval (2005, 1994) montre qu'à cette fin, l'élève doit abandonner la visualisation iconique et s'appuyer sur déconstruction dimensionnelle pour l'interprétation et la résolution des problèmes de géométrie. La géométrie dynamique dans l'espace est envisagée comme moteur de cette double perspective, et la déconstruction instrumentale y joue un rôle clef. Ce rôle, ainsi que des hypothèses d'émergences de la déconstruction dimensionnelle, sont précisés par un important travail théorique s'appuyant sur le modèle cKc (Balacheff, 1995; Balacheff et Margolinas, 2005), ainsi que la mise en œuvre d'une ingénierie didactique. Celle-ci apporte une validation expérimentale de plusieurs plusieurs résultats, au nombre desquels : - la pertinence d'analyser l'activité géométrique simultanément en termes de visualisations, déconstructions, et paradigmes géométriques ; - l'intérêt de la géométrie dynamique dans l'espace pour déstabiliser la visualisation iconique ; - l'existence de deux déconstructions instrumentales, et leur rôle fondamental pour l'émergence de la déconstruction dimensionnelle ; - les interactions entre les différentes déconstructions, qui n'étaient pas établies dans les travaux antérieurs ; - la possibilité de produire des situations s'appuyant sur la géométrie dynamique dans l'espace favorisant l'émergence de la déconstruction dimensionnelle ; - l'intérêt du modèle cKc pour la modélisation et l'analyse des phénomènes observés.