Cette recherche, réalisée en milieu scolaire québécois, concerne l’enseignement et l’apprentissage de la géométrie à l’entrée au secondaire. Ce contexte est caractérisé par une géométrie non clairement définie d’un point de vue épistémologique, tant dans le programme d’études du premier cycle que dans les manuels scolaires. Ainsi, nous avons cherché à voir d’une part, l’activité géométrique souhaitée et actualisée par des enseignants incluant les problèmes proposés et, d’autre part, les conceptions d’élèves développées par ces problèmes. À partir de données recueillies auprès de quatre classes, nous avons déterminé cette activité géométrique et répertorié six types de problèmes dont quatre sont dominants ainsi que des conceptions d’élèves. L’activité géométrique en classe a donné lieu à des moments d’hésitation épistémologique, lesquels ne sont pas sans effet dans le développement des conceptions des élèves. / This research was conducted in a Quebec classroom environment. It pertains to the teaching and learning of geometry at the outset of secondary school. This context is characterized by a geometry that is not clearly defined from the epistemological point of view in either the secondary cycle one program or in textbooks. We attempted to find firstly, the desired geometric activity and updated by teachers with the proposed problems and, secondly, students conceptions developed by these problems. Using data collected from four classes, we then determined this geometric activity and identified six types of problems from which four were predominant. We also observed students conceptions. The classroom activity gave birth to moments of epistemological hesitance that may have had a certain effect on the development of the students’conceptions.

Cette recherche se propose de tester en CM2 et en 6ème un nouveau cadre théorique construit à partir d'une part de la théorie des paradigmes géométriques et de la théorie des niveaux de van Hiele. La géométrie à l'école primaire est essentiellement une géométrie spatio-graphique (G1) où les objets sont les représentants d'objets physiques et les validations perceptives. Le niveau de van Hiele que l'élève doit maîtriser à la fin du CM2 est celui de l'identification-visualisation (N1). La géométrie au collège vise à être une géométrie proto-axiomatique (G2) où les objets sont théoriques et les validations de type hypothético-déductif. L'élève doit alors maîtriser le niveau de déduction informelle de van Hiele (N3). <br />Le cadre théorique mis à l'épreuve dans cette étude, propose que le niveau d'analyse (N2) de van Hiele soit une « zone de tuilage » entre les paradigmes géométriques G1 et G2.<br />Des élèves de CM2 et de 6ème ont répondu aux mêmes questions à propos des triangles particuliers, des quadrilatères particuliers, du cercle. <br />L'analyse des réponses a permis de montrer qu'un élève de CM2 ou de 6ème ne pouvait être caractérisé par un mode de fonctionnement dans un paradigme unique ou un seul niveau de van Hiele. Selon l'activité il peut fonctionner dans un paradigme ou dans un autre et témoigner de différents niveaux de van Hiele. Le niveau N2 d'analyse de la théorie de van Hiele se confirme comme la « zone de tuilage » entre les deux paradigmes géométriques. Des activités mettant en évidence ce niveau de van Hiele dans l'un ou l'autre des deux paradigmes permette d'instaurer une continuité dans l'enseignement de la géométrie au passage de l'école primaire vers le collège.

Notre étude porte sur les effets didactiques de la symétrie axiale dans l'enseignement et l'apprentissage des transformations du plan au collège. Nous référons à la théorie des champs conceptuels de Vergnaud mais aussi au cadre des paradigmes géométriques et des Espaces de Travail Géométriques (ETG) de Houdement & Kuzniak afin de décrire la nature du travail géométrique en jeu dans l'activité de l'élève. Nous souhaitons déterminer le rôle de la symétrie axiale dans le type de déconstruction des figures, au sens de Duval, au cœur de l'ETG personnel des élèves. A partir de l'analyse d'un questionnaire commun en 5e et en 3e, il apparaît que la stabilité des ETG personnels des élèves de 3e est due à la souplesse d'adaptation des schèmes de la symétrie axiale selon la tâche. Cependant, ces schèmes semblent s'opposer à ceux liés à la rotation, et révèlent ainsi une appréhension des figures différentes selon la transformation en jeu. L'instabilité des ETG personnels des élèves de 5e se manifeste elle par de nombreux amalgames dus à la symétrie axiale. De nombreuses observations de classes en 6e, 5e et 3e d'un même professeur ont permis d'expliciter en partie ces résultats. Certains schèmes construits en classe révèlent des glissements qui semblent négligeables en classe mais se cristallisent ensuite dans les pratiques des élèves. Cette thèse rend également compte de la nature du travail géométrique dans une problématique pratique à travers une enquête auprès de tailleurs de pierre et ébénistes. Cette étude décrit comment la symétrie se révèle un concept « naturalisé » et organisateur de la conduite de l'artisan, dans le cadre d'une géométrie en acte organisée mais figée.

Ce travail de thèse porte sur le passage, dans l'enseignement secondaire, d'une géométrie du concret à une géométrie portant sur des objets idéaux. Nous montrons que des environnements de géométrie dynamique tridimensionnelle offrent des conditions favorables à ce passage, que nous détaillons. La réflexion théorique s'appuie sur la Théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998) pour proposer des hypothèses quant aux conditions et mécanismes d'apprentissage. En outre, notre questionnement initial est interprété à l'aide de deux cadres principaux. Le point de vue épistémologique des paradigmes géométriques (Houdement et Kuzniak, 2006) permet d'identifier la référence à GII comme un objectif fondamental. L'approche cognitive de Duval (2005, 1994) montre qu'à cette fin, l'élève doit abandonner la visualisation iconique et s'appuyer sur déconstruction dimensionnelle pour l'interprétation et la résolution des problèmes de géométrie. La géométrie dynamique dans l'espace est envisagée comme moteur de cette double perspective, et la déconstruction instrumentale y joue un rôle clef. Ce rôle, ainsi que des hypothèses d'émergences de la déconstruction dimensionnelle, sont précisés par un important travail théorique s'appuyant sur le modèle cKc (Balacheff, 1995; Balacheff et Margolinas, 2005), ainsi que la mise en œuvre d'une ingénierie didactique. Celle-ci apporte une validation expérimentale de plusieurs plusieurs résultats, au nombre desquels : - la pertinence d'analyser l'activité géométrique simultanément en termes de visualisations, déconstructions, et paradigmes géométriques ; - l'intérêt de la géométrie dynamique dans l'espace pour déstabiliser la visualisation iconique ; - l'existence de deux déconstructions instrumentales, et leur rôle fondamental pour l'émergence de la déconstruction dimensionnelle ; - les interactions entre les différentes déconstructions, qui n'étaient pas établies dans les travaux antérieurs ; - la possibilité de produire des situations s'appuyant sur la géométrie dynamique dans l'espace favorisant l'émergence de la déconstruction dimensionnelle ; - l'intérêt du modèle cKc pour la modélisation et l'analyse des phénomènes observés.

Durant leur parcours au secondaire (12 à 17 ans), les élèves sont amenés à résoudre des problèmes de preuves en classe de mathématiques (MELS, 2006a, 2006b). En géométrie, ces preuves doivent s’appuyer sur un référentiel théorique composé de propriétés et de définitions (Kuzniak et Richard, 2014). Afin de dégager les particularités des référentiels utilisés en classe, nous avons relevé et analysé les propriétés et les définitions de dix-neuf ouvrages scolaires québécois de 1re secondaire à la 5e secondaire. Chacun des éléments ainsi relevés a été identifié selon les concepts sous-tendus dans leurs énoncés, leurs valeurs épistémiques possibles, leur dépendance à une figure et leur place au sein du chapitre. Cette étude se base sur le concept des paradigmes géométriques (Houdement et Kuzniak, 2006) et le modèle des Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak et Richard, 2014) où le référentiel fait partie de la genèse discursive engendrée par un travail mathématique. L’étude des référentiels montre que plusieurs modalités discursives dans leur enseignement peuvent générer des difficultés lorsque vient le temps de les utiliser dans une preuve. Cette étude confirme aussi l’oscillation entre les paradigmes géométriques (Gauthier, 2015; Tanguay et Geeraerts, 2012) dans l’enseignement de la géométrie. Enfin, nous proposons un référentiel possible pour un agent tuteur d’aide à la démonstration selon le curriculum québécois. / During their high school career (12 to 17 years old), students are required to solve proof-based problems in their mathematics classes (MELS, 2006a, 2006b). In geometry, these mathemactical proofs must be supported by a theoretical referential of properties and definitions (Kuzniak et Richard, 2014). To determine the specifics of the referentials used in classes, we noted and analyzed the properties and definitions of nineteen Quebec secondary school textbooks. Each item was identified according to the concepts underlying in their statements, their possible epistemic value, their reliance on a figure, and their placement in the chapter. This study is based on the concept of geometric paradigms (Houdement et Kuzniak, 2006) and on the Mathematical Working Space model (MWS or ETM in French) (Kuzniak et Richard, 2014) where the referential is part of the discursive genesis generated by a mathematical work. This study on referentials demonstrates that there are many discursive modalities used in teaching, which can produce difficulties when they are required to be used in a proof. This study also confirms the oscillation between the geometric paradigms (Gauthier, 2015; Tanguay et Geeraerts, 2012) when teaching geometry. Furthermore, we propose a possible referential to be used in a demonstration aid tutor in accordance with Quebec’s curriculum.