La thèse porte sur le travail des enseignants autour de la simulation en probabilité en classe de troisième et seconde. Nous avons exploré la manière dont les enseignants de mathématiques, s'emparent d'une tâche qui leur a été présentée lors d'une formation. Notre recherche prend appui sur cette tâche (le problème du lièvre et de la tortue) pour répondre à nos questions sur les liens entre expériences aléatoires et modèles, sur la place des artefacts et sur la nature des preuves utilisant une simulation. Pour mener notre étude, nous avons adopté la théorie des Espaces de Travail Mathématique (Kuzniak, 2011), ainsi que des éléments complémentaires tels que le cycle de modélisation de Blum & Leiss (2009). Nous avons introduit la notion d'avatar pour rendre compte des transformations de la tâche afin de suivre la trajectoire d'avatars successifs. Notre méthodologie de recherche spécifique est composée de trois boucles dont l'une inclut une formation continue courte. La première boucle est concernée par la préparation de la formation avec notamment une première implémentation du problème par des formateurs dans leur classe. La deuxième boucle, constituée de trois étapes, est celle de la formation proprement dite. Un premier scénario est élaboré par un collectif de stagiaires à la suite d'un travail d'analyse a priori du problème. Il est suivi de la mise en œuvre de la tâche par l'un des stagiaires dans une classe prêtée par les formateurs et observée par les autres participants du stage. Enfin le collectif élabore, a posteriori, un nouvel avatar repensé au regard de l'analyse de l'avatar précédent et de sa mise en œuvre. La troisième boucle comporte les avatars testés par les stagiaires dans leur propre classe après la formation. En se référant à un ETM idoine attendu défini pour la recherche, il s'agit de repérer les transformations opérées pendant et après la formation et portant sur les itinéraires cognitifs autour du problème du lièvre et de la tortue. L'étude de ces trois boucles successives a permis de révéler l'existence de ruptures entre expérience aléatoire et modèles mathématiques lors de la résolution de ce problème. Ces ruptures sont dues à la fois à l'artefact numérique choisi pour la simulation (le tableur ou le logiciel Scratch) et au travail de l'enseignant. Grâce à un rapprochement des plans de l'ETM privilégiés par l'enseignant et les élèves dans la circulation du travail, nous avons pu repérer une tendance des enseignants à uniformiser le choix du modèle ou le type de preuve pour ce problème. De plus, certaines phases de l'ETM idoine attendu défini pour la recherche (comme l'explicitation autour des expériences aléatoires en jeu, la justification de l'introduction de la simulation ou la preuve par les calculs de probabilités) sont peu représentées ou absentes dans les itinéraires cognitifs prévus et empruntés dans ces trois boucles. Ceci traduit une difficulté d'articulation entre probabilités et statistique autour de la simulation chez l'enseignant. Dans un cas, la deuxième boucle a montré un épaississement de la dimension instrumentale relatif au travail de l'enseignant et aux artefacts numériques choisis. Elle a aussi mis en évidence différents modes de gestion des groupes d'élèves, transformant l'avatar initial et la circulation du travail dans l'ETM idoine. Les divers itinéraires cognitifs que nous avons pu observer à l'issue de la formation nous ont permis d'identifier des effets de la formation et notamment des dénaturations simplificatrices (Kuzniak, 1995) opérées par l'enseignant sur l'avatar ou l'ETM idoine associé. / The thesis focuses on teacher's work around probability simulation in grades 9 and 10 in France. We explored how mathematics teachers take on a task crossed during a training session. Our research builds on this task (the hare and turtle problem) to answer our questions about the links between random experiments and models, the place of artefacts and the proofs' nature using simulation. To make our study, we adopted the theory of Mathematical Work Spaces (MWS, Kuzniak, 2011), as well as complementary elements such as the modeling cycle of Blum & Leiss (2009). We introduced the notion of avatar to account for transformations of the task in order to follow the trajectory of successive avatars. Our specific research methodology is based on three loops, and the second one includes short continuing training course. The first loop contains the elaboration of the training with a first implementation of the problem by trainers in their class. The second loop, consisting of three stages, is the training proper. A first scenario is developed by a group of trainees following a analysis a priori of the problem. It is followed by the implementation of the task by one of the trainees in a class lent by the trainers and observed by the other participants of the course. Finally, the collective develops, a posteriori, a new avatar redesigned with regard to the analysis of the previous avatar and its implementation. The third loop includes the avatars tested by the trainees in their own class after the training.Referring to a well-defined MWS expected for the research, it lets us identify the transformations made during and after the training and relates to the cognitive routes around the problem of the hare and the turtle. The study of these three successive loops reveals the existence of breaks between random experience and mathematical models during the resolution of this problem. These breaks are due to both the numerical artefact chosen for the simulation (the spreadsheet or the Scratch software) and to the teacher's work. Through a comparison of teacher and student-led MWS plans in the model of MWS, we were able to identify a tendency for teachers to standardize the choice of model for this problem. In addition, some phases of the MWS expected defined for the research (such as the explicitness around the random experiments in play, the justification of the introduction of the simulation or the proof by the calculations of probabilities) are little represented or absent in the cognitive routes planned and borrowed in these three loops. This reflects a difficulty of articulation between probabilities and statistics around simulation in the teacher. In one case, the second loop showed a thickening of the instrumental dimension relative to the teacher's work and to the chosen digital artefacts. She also highlighted different ways of managing groups of students, transforming the initial avatar and the flow of work in the appropriate MWS. The various cognitive routes that we observed at the end of the training allowed us to identify the effects of the training and in particular the simplifying denaturations (Kuzniak, 1995) made by the teacher on the avatar or the suitable MWS.

Cette thèse porte sur les articulations entre les probabilités et l’analyse en classe de terminale scientifique. Nous avons exploré comment se créent et sont exploités les liens entre les sous-domaines mathématiques des probabilités des lois à densité et du calcul intégral, à travers une recherche centrée sur la notion de fonction de densité. En adoptant le modèle des Espaces de Travail Mathématique et des éléments de la théorie de l’activité, nous nous sommes demandé quelles tâches permettent d’introduire cette notion et de construire la relation sémiotique reliant probabilité et intégrale. Pour aborder cette question, nous avons commencé parfaire une étude épistémologique et historique de la naissance de la notion de lois à densité, qui nous a notamment permis de dégager la place importante de la statistique dans cette genèse. Puis, nous avons effectué une analyse des documents institutionnels et des manuels. Cette analyse a montré que l’articulation entre probabilités à densité et calcul intégral est imposée aux élèves et peu exploitée dans les différentes tâches qui leur sont proposées. Enfin, nous avons étudié la conception et la mise en place de tâches d’introduction originales grâce à une méthodologie de recherche que nous qualifions d’ingénierie didactique collaborative. Ces tâches ont pour objectif de faire construire, par le « collectif » classe, la notion de fonction de densité et d’amener le besoin du calcul d’aire sous une courbe. Nous avons mis en évidence les activités de ce collectif classe, dans la construction de cette notion, en analysant les circulations entre trois sous-domaines : les probabilités à densité, la statistique descriptive et le calcul intégral. / This thesis focuses on the connections between probability and analysis (calculus) in the scientific track of Grade 12 (French baccalaureate program). We explored the ways in which links between the mathematics subfields of continuous probability and integral calculus are created and explored, through a research focused on the concept of density function. Using the Mathematical Working Space model and some elements of Activity Theory, we sought to identify tasks that would allow introducing this concept and building the semiotic relationship between probability and integral. In order to address this issue, we began with an epistemological and historical study of the birth of the concept of density function, which enabled us to identify the important role of statistics in this genesis. Then, an analysis of institutional documents and textbooks showed that the link between continuous probability and integral calculus is imposed on students and rarely exploited in the different tasks given to them. Finally, we studied the design and implementation of original introductory tasks through a research methodology that we call “collaborative didactic engineering”. The goal of these tasks is to get the class “collective” to construct the concept of density function and trigger the need for calculating areas under a curve. We highlighted the activities of the class “collective” in the construction of this notion by analyzing articulations between the three subfields: continuous probability, descriptive statistics and integral calculus.

Durant leur parcours au secondaire (12 à 17 ans), les élèves sont amenés à résoudre des problèmes de preuves en classe de mathématiques (MELS, 2006a, 2006b). En géométrie, ces preuves doivent s’appuyer sur un référentiel théorique composé de propriétés et de définitions (Kuzniak et Richard, 2014). Afin de dégager les particularités des référentiels utilisés en classe, nous avons relevé et analysé les propriétés et les définitions de dix-neuf ouvrages scolaires québécois de 1re secondaire à la 5e secondaire. Chacun des éléments ainsi relevés a été identifié selon les concepts sous-tendus dans leurs énoncés, leurs valeurs épistémiques possibles, leur dépendance à une figure et leur place au sein du chapitre. Cette étude se base sur le concept des paradigmes géométriques (Houdement et Kuzniak, 2006) et le modèle des Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak et Richard, 2014) où le référentiel fait partie de la genèse discursive engendrée par un travail mathématique. L’étude des référentiels montre que plusieurs modalités discursives dans leur enseignement peuvent générer des difficultés lorsque vient le temps de les utiliser dans une preuve. Cette étude confirme aussi l’oscillation entre les paradigmes géométriques (Gauthier, 2015; Tanguay et Geeraerts, 2012) dans l’enseignement de la géométrie. Enfin, nous proposons un référentiel possible pour un agent tuteur d’aide à la démonstration selon le curriculum québécois. / During their high school career (12 to 17 years old), students are required to solve proof-based problems in their mathematics classes (MELS, 2006a, 2006b). In geometry, these mathemactical proofs must be supported by a theoretical referential of properties and definitions (Kuzniak et Richard, 2014). To determine the specifics of the referentials used in classes, we noted and analyzed the properties and definitions of nineteen Quebec secondary school textbooks. Each item was identified according to the concepts underlying in their statements, their possible epistemic value, their reliance on a figure, and their placement in the chapter. This study is based on the concept of geometric paradigms (Houdement et Kuzniak, 2006) and on the Mathematical Working Space model (MWS or ETM in French) (Kuzniak et Richard, 2014) where the referential is part of the discursive genesis generated by a mathematical work. This study on referentials demonstrates that there are many discursive modalities used in teaching, which can produce difficulties when they are required to be used in a proof. This study also confirms the oscillation between the geometric paradigms (Gauthier, 2015; Tanguay et Geeraerts, 2012) when teaching geometry. Furthermore, we propose a possible referential to be used in a demonstration aid tutor in accordance with Quebec’s curriculum.