Die Anwenung von Operator-Splitting-Methoden auf gewöhnliche Differentialgleichungen ist gut etabliert. Für Differential-algebraische Gleichungen und partielle Differential-algebraische Gleichungen unterliegt sie jedoch vielen Einschränkungen aufgrund des Vorhandenseins von Nebenbedingungen. Die räumliche Diskretisierung reduziert PDAEs und lenkt unseren Fokus auf das Konzept der DAEs. Um eine reibungslose Übertragung des Operator-Splittings von ODEs auf DAEs durchzuführen, ist es wichtig, eine geeignete entkoppelte Struktur für das gewünschte Differential-algebraische System zu haben. In dieser Arbeit betrachten wir ein Modell, das partielle Differentialgleichungen für elektromagnetische Bauelemente - modelliert durch die Maxwell-Gleichungen - mit Differential-algebraischen Gleichungen koppelt, die die elementaren Schaltungselemente beschreiben. Nach der räumlichen Diskretisierung der klassischen Formulierung der Maxwell-Gleichungen mit Hilfe der finiten Integrationstechnik formulieren wir das resultierende gekoppelte System als Differential-algebraische Gleichung. Um eine geeignete Entkopplung zu bekommen, verwenden wir den zweigorientierten Loop-Cutset-Ansatz für die Schaltungsmodellierung. Daraus folgt, dass wir in der Lage sind, eine geeignete Operatorzerlegung so zu konstruieren, dass wir eine natürliche topologisch entkoppelte Port-Hamiltonsche DAE-Struktur erhalten. Wir schlagen einen Operator-Splitting-Ansatz für die Schaltungs-DAEs und gekoppelten Feld-Schaltungs-DAEs in entkoppelter Form vor und analysieren seine numerischen Eigenschaften. Darüber hinaus nutzen wir das Hamiltonsche Verhalten der inhärenten gewöhnlichen Differentialgleichung durch die Verwendung expliziter und energieerhaltender Zeitintegrations-methoden. Schließlich führen wir numerische Tests, um das mathematische Modell zu illustrieren und die Konvergenzergebnisse für das vorgeschlagene DAE-Operator-Splitting zu demonstrieren. / Le equazioni algebriche differenziali e algebriche alle derivate parziali hanno avuto un enorme successo come modelli di sistemi dinamici vincolati. Nella modellazione matem- atica, spesso si desidera catturare diversi aspetti di una situazione come le leggi di conservazione della fisica, il trasporto convettivo o la diffusione. Queste aspetti si riflettono nel sistema di equazioni del modello come operatori diversi. La tecnica dell’Operator Splitting si è rivelata una strategia di successo per affrontare problemi così complicati. L’applicazione dei metodi di Operator Splitting alle equazioni differenziali ordinarie (ODE) è ormai una tecnologia ben consolidata. Tuttavia, per equazioni algebriche differenziali (DAE) e algebriche differenziali parziali (PDAE), l’approccio è soggetto a molte restrizioni dovute alla presenza di vincoli e alla proprietà di indice. La discretizzazione spaziale riduce le PDAE e indirizza la nostra attenzione al concetto di DAE. Le DAE emergono in problemi dinamici vincolati come circuiti elettrici o reti di trasporto di energia. Al fine di generalizzare agevolmente la tecnica dell’Operator Splitting dalle ODE alle DAE, è importante avere una struttura disaccoppiata adeguata per il sistema algebrico differenziale desiderato. In questa tesi, consideriamo un modello che accoppia equazioni differenziali alle derivate parziali per dispositivi elettromagnetici -modellati dalle equazioni di Maxwell- con equazioni algebriche differenziali che descrivono gli elementi base del circuito. Dopo aver discretizzato spazialmente la formulazione classica delle equazioni di Maxwell usando la tecnica di integrazione finita, formuliamo il sistema accoppiato risultante come una equazione algebrica differenziale. Interpretando il dispositivo elettromagnetico come un elemento capacitivo, l’indice dell’intero sistema di circuito e campo accoppiato può essere specificato utilizzando le proprietà topologiche del circuito e non supera il valore di due. Per eseguire un disaccoppiamento appropriato, utilizziamo l’approccio loop-cutset per la modellazione dei circuiti. In tal modo siamo in grado di costruire una opportuna decomposizione dell’operatore tale da ottenere una naturale struttura disaccoppiata port-Hamiltonian DAE. Proponiamo un approccio di suddivisione dell’operatore per i DAE a circuito disaccoppiato e a circuito di campo accoppiato utilizzando gli algoritmi di divisione Lie-Trotter e Strang e per analizzare le proprietà numeriche di questi sistemi. Inoltre, sfruttiamo il comportamento hamiltoniano del sistema di equazioni differenziali ordinarie mediante l’utilizzo di metodi di integrazione temporale con esatta conservazione dell’energia. Poggiando sull’analisi di convergenza del metodo di suddivisione dell’operatore ODE, deriviamo i risultati di convergenza per l’approccio proposto che dipendono dall’indice delsistema e quindi dalla sua struttura topologica. Infine, eseguiamo prove numeriche di sistemi circuitali, nonchè sistemi accoppiati a circuito di campo, per testare il modello matematico e dimostrare i risultati di convergenza per la proposta Operator Splitting DAE. / The application of operator splitting methods to ordinary differential equations (ODEs) is well established. However, for differential-algebraic equations (DAEs) and partial differential-algebraic equations (PDAEs), it is subjected to many restrictions due to the presence of constraints. In constrained dynamical problems as electrical circuits or energy transport networks, DAEs arise. In order to perform a smooth transfer of the operator splitting from ODEs to DAEs, it is important to have a suitable decoupled structure for the desired differential-algebraic system. In this thesis, we consider a model which couples partial differential equations for electro- magnetic devices -modeled by Maxwell’s equations- with differential-algebraic equations describing the basic circuit elements. After spatially discretizing the classical formulation of Maxwell’s equations using the finite integration technique, we formulate the resulting coupled system as a differential-algebraic equation. To perform an appropriate decoupling, we use the branch oriented loop-cutset approach for circuit modeling. It follows that we are able to construct a suitable operator decomposition such that we obtain a natural topologically decoupled port-Hamiltonian DAE structure. We propose an operator splitting approach for the decoupled circuit and coupled field- circuit DAEs using the Lie-Trotter and Strang splitting algorithms and analyze its numerical properties. Furthermore, we exploit the Hamiltonian behavior of the system’s inherent ordinary differential equation by the utilization of explicit and energy-preserving time integration methods. Based on the convergence analysis of the ODE operator splitting method, we derive convergence results for the proposed approach that depends on the index of the system and thus on its topological structure. Finally, we perform numerical tests, to underline the mathematical model and to demonstrate the convergence results for the proposed DAE operator splitting.

Bei der Schwefelquantifizierung in Kupfer und anderen reinen Metallen zeigte sich in der Vergangenheit eine mangelnde SI-Rückführung und zusätzlich inkonsistente Ergebnisse, wenn verschiedene Methoden verglichen wurden. Um diesen Mangel zu beheben ist ein Referenzverfahren erforderlich, welches SI-rückführbare Werte mit einem zuverlässigen Unsicherheitsbudget ermöglicht. In dieser Studie wurde ein entsprechendes Referenzverfahren zur Quantifizierung von Gesamtschwefel in Kupfer basierend auf der induktiv gekoppelten Plasma-Massenspektrometrie und der Isotopenverdünnungsanalyse (ICP-IDMS) entwickelt. Um diese Probleme zu lösen wurde mit Hilfe der Ionenaustauschchromatographie ein Schwefel-Matrix-Trennverfahren entwickelt. Dieses Trennverfahren wurde mit ICP-IDMS kombiniert, um Schwierigkeiten mit der Kalibrierung zu lösen und fehlende metrologische Konzepte einzuführen. So wurden die in diesem Projekt erzielten IDMS-Messwerte für die Kalibrierung von GDMS und LA-ICP-MS verwendet, beides Verfahren die im industriellen Einsatz üblich sind. Dadurch konnten mit beiden Routineverfahren zuverlässige Ergebnisse erzeilt warden, die zudem auf SI rückführbar sind. Darüber hinaus wurde ein auf der LA-ICP-IDMS basierendes Verfahren entwickelt, um den Probenvorbereitungsschritt von ICP-IDMS mit Schwefel-Matrix-Trennung zu reduzieren. Die Vorteile dieser Methode sind ein geringerer Arbeits- und Zeitaufwand, die SI- Rückführung der Messergebnisse und eine für LA-ICP-MS vergleichsweise hohe Genauigkeit. Die Schlüsselrolle hierbei spielte der innovative Einsatz von Polyethylenfritten als Trägermaterial der aufgelösten Probe. Dadurch war die Quantifizierung von Schwefel in Kupferproben mittels LA-ICP-IDMS möglich. Die wesentlichen Parameter wie Absorptionseffizienz der Fritten und Matrixeffekt wurden untersucht. Das entwickelte Verfahren konnte mit Hilfe der ICP-IDMS vollständig validiert werden. / Sulphur quantification in copper and other pure metals in the past revealed a lack of SI-traceability and also showed inconsistent results, when different methods are compared. Therefore, a reference procedure is required to enable SI-traceable measurement results accompanied by a sound uncertainty budget. In this study, such a procedure was developed for the quantification of total sulphur in copper using inductively coupled plasma-isotope dilution mass spectrometry (ICP-IDMS). For solving these problems ion exchange chromatography was applied, and a sulphur-matrix separation procedure was developed. This procedure was combined with ICP-IDMS to solve difficulties with the calibration and to realize metrological concepts. An application of the IDMS procedure was realized by using the measurement results of specific copper samples values for calibrating glow discharge mass spectrometry (GDMS) and laser ablation ICP-MS (LA-ICP-MS). Both techniques are considered routine techniques. Thus, they could provide reliable results which are traceable to the SI. Additionally, a procedure based on LA-ICP-IDMS was developed to significantly reduce the sample preparation step of ICP-IDMS with sulphur-matrix separation. This procedure is less laborious and the measurement results are still SI traceable and offer a comparatively high accuracy for LA-ICP-MS. Key for this development was the innovative application of polyethylene frits as support material for the dissolved sample. Thus, the quantification of sulphur in copper samples by LA-ICP-IDMS could be realized. The essential parameters are investigated such as the absorption efficiency of the frit and matrix effects. The developed procedure was fully validated by means of the ICP-IDMS results.