Bei der Modellierung elektrischer Schaltungen ergeben sich Algebro-Differentialgleichungen (DAEs) mit proper formuliertem Hauptterm. Diese Gleichungen müssen z.B. bei der transienten Schaltungssimulation numerisch gelöst werden. Bei den klassischen Ansätzen der Linearen Mehrschrittverfahren oder der Runge-Kutta Verfahren ergeben sich Nachteile, die durch Verwendung von Allgemeinen Linearen Verfahren vermieden werden können. Sowohl Lineare Mehrschrittverfahren als auch Runge-Kutta Verfahren sind als Spezialfälle in dieser allgemeineren Klasse enthalten. Darüberhinaus sind aber neue Verfahren mit verbesserten Eigenschaften möglich. In dieser Arbeit werden DAEs der Schaltungssimulation eingehend studiert und Allgemeine Lineare Verfahren für solche Gleichungen untersucht. Die Verfahrenskonstruktion und Implementierungsfragen werden ausführlich diskutiert. Diese Arbeit erscheint im Logos Verlag Berlin (www.logos-verlag.de, ISBN 3-8325-1353-1). / Modelling electrical circuits leads to differential algebraic equations (DAEs) having a properly stated leading term. These equations need to be solved numerically, e.g. in case of a transient analysis of the given circuit. Classical methods such as linear multistep methods or Runge-Kutta schemes suffer from disadvantages that can be overcome by studying general linear schemes. Both Runge-Kutta methods and linear multistep schemes belong to this class as special cases, but there is plenty of room for new methods with improved properties. This work presents both a detailed study of DAEs in the framework of integrated circuit design and a thorough analysis of general linear methods for these kind of equations. The construction and implementation of general linear methods for DAEs is discussed in detail. This work is published by Logos Verlag Berlin (www.logos-verlag.de, ISBN 3-8325-1353-1).

Zur numerischen L\"osung von Algebro-Differentialgleichungen (ADGln) m\"ussen konsistente Anfangswerte berechnet werden. Diese Arbeit befasst sich mit einem Ansatz zur Behandlung dieses Problems f\"ur Index-2 DAEs unter Verwendung von Projektoren auf die zur DAE zugeh\"origen Unterr\"aume. Die Arbeit hat zwei Schwerpunkte.\\ Zum einen werden neue Struktureigenschaften aus schwachen Voraussetzungen hergeleitet. Anschlie{\ss}end wird eine Vorgehensweise zur Auswahl von geeigneten Gleichungen einer Index-2 ADGln vorgeschlagen, deren Differentiation zu einer Indexreduktion f\"uhrt. Diese Indexreduktion liefert neue Existenz- und Eindeutigkeitsergebnisse f\"ur L\"osungen von Index-2 ADGln. Die Ergebnisse umfassen eine allgemeinere Aufgabenklasse als die bisherigen Resultate. Beruhend auf dieser Vorgehensweise wird ein stufenweiser Ansatz zur Berechnung konsistenter Anfangswerte hergeleitet. Auf diese Weise werden neue Einsichten hinsichtlich der Ausnutzung von Struktureigenschaften von Index-2 ADGln gewonnen. Insbesondere stellt sich heraus, dass im Vergleich zu Index-1 ADGln der zus\"atzliche Schritt oft in der L\"osung eines linearen Systems besteht. Die sich hieraus ergebenden numerischen Folgen werden f\"ur zwei in der Schaltungssimulation h\"aufig verwendete Verfahren, das implizite Eulerverfahren und die Trapezregel, erl\"autert. \\ Zum anderen wird die Anwendung der erhaltenen Ergebnisse auf die Gleichungen, die bei der Schaltungssimulation mittels modifizierter Knotenanalyse entstehen, ausgearbeitet. Abschlie{\ss}end wird eine kurze \"Ubersicht der durchgef\"uhrten Umsetzung gegeben.\\ / For solving DAEs numerically, consistent initial values have to be calculated. This thesis deals with an approach for handling this problem for index-2 DAEs by considering projectors onto the spaces related to the DAE. There are two major aspects in this work.\\ On the one hand, new structural properties are deduced from weak assumptions. Subsequently, a method is proposed to choose suitable equations of an index-2 DAE, whose differentiation leads to an index reduction. This index reduction yields new theoretical results for the existence and uniqueness of solutions of index-2 DAEs which apply to a wider class of applications than previous results. Based on this method, a step-by-step approach to compute consistent initial values is developed. In this way, we gain new insights about how to deal with structural properties of index-2 DAEs. In particular, it turns out that, in comparison to index-1 DAEs, the additional step that has to be undertaken in practice often consists in solving a linear system. The numerical consequences of this fact are exemplified for two methods commonly used in circuit simulation, the implicit Euler method and the trapezoidal rule.\\ On the other hand, the application of the obtained results to the equations arising in circuit simulation by means of the modified nodal analysis (MNA) is worked out. Finally, a short overview of the specifics of their realization is given.

Es wird ein Verfahren zur lokalisierten elektrochemischen Abscheidung metallischer Strukturen aus Kapillarsonden vorgestellt. Der experimentelle Aufbau, die Herstellung der Sonden, das Arbeiten im Nahfeld der Probe (Scherkraft-Abstandsdetektion)sowie die verschiedenen Beschaltungmöglichkeiten der elektrochemischen Zelle werden ausführlich beschrieben. Ergänzend zu den experimentellen Arbeiten werden einerseits numerische Simulationen gezeigt, die zur Veranschaulichung der Potentialverteilung in der Apexregion dienen und qualitativ beschreiben, wie sich das Schichtdickenprofil der abgeschiedenen Strukturen mit den einstellbaren Parametern (Elektrodenpotentiale, Spitze-Probe-Abstand) variieren läßt. Andererseits werden die verschiedenen Beschaltungsmöglichkeiten der Zelle anhand von Schaltungssimulationen verglichen und so die Wahl des günstigsten Arbeitspunktes für die in den Experimenten verwendete (bi)-potentiostatische Abscheidung diskutiert. Mit dieser Anordnung wurden lokalisiert Cluster in einer porösen Aluminiumoxidmembran deponiert und anschließend abgebildet. In weiteren Strukturierungsversuchen wurden Kupfer bzw. Gold lokalisiert elektrochemisch auf ITO abgeschieden, wobei das Schichtwachstum simultan optisch in Transmission beobachtet wurde. Es werden u.a. Strukturen erzeugt, deren laterale Abmessungen kleiner als der Kapillardurchmesser sind (Fokussierung, max. Verhältnis 8:1). Die derzeit kleinsten elektrochemisch erzeugbaren Strukturen haben eine laterale Ausdehnung von ca. 5 Mikrometern. / A method for the localized electrochemical deposition of metal structures using capillary tips is presented. The experimental set-up, the tip preparation, the distance detection in near-field operation (shear-force detection), as well as the different types of circuiting of the electrochemical cell are described in detail. In addition to the experimental work, numerical simulations for the qualitative visualization of the potential distribution around the apex region show, how the films thickness profile can be adjusted with the variable parameters (electrode voltages, tip-sample distance). Circuit simulations of the electrochemical cell allow to pre-estimate the optimum working conditions for the used (bi)-potentiostatic electrode set-up. With this method, clusters have been deposited in a thin film of porous alumin oxide and imaged in shear-force mode. Gold and copper structures have been deposited on ITO, while the film growth was observed optically. The lateral dimension of the deposited structures can be smaller than the inner diameter of the capillaries (maximum focus: 8:1). The smallest structures produced in this work have lateral dimensions of 5 micrometers.

Es wird ein Verfahren zur lokalisierten elektrochemischen Abscheidung metallischer Strukturen aus Kapillarsonden vorgestellt. Der experimentelle Aufbau, die Herstellung der Sonden, das Arbeiten im Nahfeld der Probe (Scherkraft-Abstandsdetektion)sowie die verschiedenen Beschaltungmöglichkeiten der elektrochemischen Zelle werden ausführlich beschrieben. Ergänzend zu den experimentellen Arbeiten werden einerseits numerische Simulationen gezeigt, die zur Veranschaulichung der Potentialverteilung in der Apexregion dienen und qualitativ beschreiben, wie sich das Schichtdickenprofil der abgeschiedenen Strukturen mit den einstellbaren Parametern (Elektrodenpotentiale, Spitze-Probe-Abstand) variieren läßt. Andererseits werden die verschiedenen Beschaltungsmöglichkeiten der Zelle anhand von Schaltungssimulationen verglichen und so die Wahl des günstigsten Arbeitspunktes für die in den Experimenten verwendete (bi)-potentiostatische Abscheidung diskutiert. Mit dieser Anordnung wurden lokalisiert Cluster in einer porösen Aluminiumoxidmembran deponiert und anschließend abgebildet. In weiteren Strukturierungsversuchen wurden Kupfer bzw. Gold lokalisiert elektrochemisch auf ITO abgeschieden, wobei das Schichtwachstum simultan optisch in Transmission beobachtet wurde. Es werden u.a. Strukturen erzeugt, deren laterale Abmessungen kleiner als der Kapillardurchmesser sind (Fokussierung, max. Verhältnis 8:1). Die derzeit kleinsten elektrochemisch erzeugbaren Strukturen haben eine laterale Ausdehnung von ca. 5 Mikrometern. / A method for the localized electrochemical deposition of metal structures using capillary tips is presented. The experimental set-up, the tip preparation, the distance detection in near-field operation (shear-force detection), as well as the different types of circuiting of the electrochemical cell are described in detail. In addition to the experimental work, numerical simulations for the qualitative visualization of the potential distribution around the apex region show, how the films thickness profile can be adjusted with the variable parameters (electrode voltages, tip-sample distance). Circuit simulations of the electrochemical cell allow to pre-estimate the optimum working conditions for the used (bi)-potentiostatic electrode set-up. With this method, clusters have been deposited in a thin film of porous alumin oxide and imaged in shear-force mode. Gold and copper structures have been deposited on ITO, while the film growth was observed optically. The lateral dimension of the deposited structures can be smaller than the inner diameter of the capillaries (maximum focus: 8:1). The smallest structures produced in this work have lateral dimensions of 5 micrometers.

Die Anwenung von Operator-Splitting-Methoden auf gewöhnliche Differentialgleichungen ist gut etabliert. Für Differential-algebraische Gleichungen und partielle Differential-algebraische Gleichungen unterliegt sie jedoch vielen Einschränkungen aufgrund des Vorhandenseins von Nebenbedingungen. Die räumliche Diskretisierung reduziert PDAEs und lenkt unseren Fokus auf das Konzept der DAEs. Um eine reibungslose Übertragung des Operator-Splittings von ODEs auf DAEs durchzuführen, ist es wichtig, eine geeignete entkoppelte Struktur für das gewünschte Differential-algebraische System zu haben. In dieser Arbeit betrachten wir ein Modell, das partielle Differentialgleichungen für elektromagnetische Bauelemente - modelliert durch die Maxwell-Gleichungen - mit Differential-algebraischen Gleichungen koppelt, die die elementaren Schaltungselemente beschreiben. Nach der räumlichen Diskretisierung der klassischen Formulierung der Maxwell-Gleichungen mit Hilfe der finiten Integrationstechnik formulieren wir das resultierende gekoppelte System als Differential-algebraische Gleichung. Um eine geeignete Entkopplung zu bekommen, verwenden wir den zweigorientierten Loop-Cutset-Ansatz für die Schaltungsmodellierung. Daraus folgt, dass wir in der Lage sind, eine geeignete Operatorzerlegung so zu konstruieren, dass wir eine natürliche topologisch entkoppelte Port-Hamiltonsche DAE-Struktur erhalten. Wir schlagen einen Operator-Splitting-Ansatz für die Schaltungs-DAEs und gekoppelten Feld-Schaltungs-DAEs in entkoppelter Form vor und analysieren seine numerischen Eigenschaften. Darüber hinaus nutzen wir das Hamiltonsche Verhalten der inhärenten gewöhnlichen Differentialgleichung durch die Verwendung expliziter und energieerhaltender Zeitintegrations-methoden. Schließlich führen wir numerische Tests, um das mathematische Modell zu illustrieren und die Konvergenzergebnisse für das vorgeschlagene DAE-Operator-Splitting zu demonstrieren. / Le equazioni algebriche differenziali e algebriche alle derivate parziali hanno avuto un enorme successo come modelli di sistemi dinamici vincolati. Nella modellazione matem- atica, spesso si desidera catturare diversi aspetti di una situazione come le leggi di conservazione della fisica, il trasporto convettivo o la diffusione. Queste aspetti si riflettono nel sistema di equazioni del modello come operatori diversi. La tecnica dell’Operator Splitting si è rivelata una strategia di successo per affrontare problemi così complicati. L’applicazione dei metodi di Operator Splitting alle equazioni differenziali ordinarie (ODE) è ormai una tecnologia ben consolidata. Tuttavia, per equazioni algebriche differenziali (DAE) e algebriche differenziali parziali (PDAE), l’approccio è soggetto a molte restrizioni dovute alla presenza di vincoli e alla proprietà di indice. La discretizzazione spaziale riduce le PDAE e indirizza la nostra attenzione al concetto di DAE. Le DAE emergono in problemi dinamici vincolati come circuiti elettrici o reti di trasporto di energia. Al fine di generalizzare agevolmente la tecnica dell’Operator Splitting dalle ODE alle DAE, è importante avere una struttura disaccoppiata adeguata per il sistema algebrico differenziale desiderato. In questa tesi, consideriamo un modello che accoppia equazioni differenziali alle derivate parziali per dispositivi elettromagnetici -modellati dalle equazioni di Maxwell- con equazioni algebriche differenziali che descrivono gli elementi base del circuito. Dopo aver discretizzato spazialmente la formulazione classica delle equazioni di Maxwell usando la tecnica di integrazione finita, formuliamo il sistema accoppiato risultante come una equazione algebrica differenziale. Interpretando il dispositivo elettromagnetico come un elemento capacitivo, l’indice dell’intero sistema di circuito e campo accoppiato può essere specificato utilizzando le proprietà topologiche del circuito e non supera il valore di due. Per eseguire un disaccoppiamento appropriato, utilizziamo l’approccio loop-cutset per la modellazione dei circuiti. In tal modo siamo in grado di costruire una opportuna decomposizione dell’operatore tale da ottenere una naturale struttura disaccoppiata port-Hamiltonian DAE. Proponiamo un approccio di suddivisione dell’operatore per i DAE a circuito disaccoppiato e a circuito di campo accoppiato utilizzando gli algoritmi di divisione Lie-Trotter e Strang e per analizzare le proprietà numeriche di questi sistemi. Inoltre, sfruttiamo il comportamento hamiltoniano del sistema di equazioni differenziali ordinarie mediante l’utilizzo di metodi di integrazione temporale con esatta conservazione dell’energia. Poggiando sull’analisi di convergenza del metodo di suddivisione dell’operatore ODE, deriviamo i risultati di convergenza per l’approccio proposto che dipendono dall’indice delsistema e quindi dalla sua struttura topologica. Infine, eseguiamo prove numeriche di sistemi circuitali, nonchè sistemi accoppiati a circuito di campo, per testare il modello matematico e dimostrare i risultati di convergenza per la proposta Operator Splitting DAE. / The application of operator splitting methods to ordinary differential equations (ODEs) is well established. However, for differential-algebraic equations (DAEs) and partial differential-algebraic equations (PDAEs), it is subjected to many restrictions due to the presence of constraints. In constrained dynamical problems as electrical circuits or energy transport networks, DAEs arise. In order to perform a smooth transfer of the operator splitting from ODEs to DAEs, it is important to have a suitable decoupled structure for the desired differential-algebraic system. In this thesis, we consider a model which couples partial differential equations for electro- magnetic devices -modeled by Maxwell’s equations- with differential-algebraic equations describing the basic circuit elements. After spatially discretizing the classical formulation of Maxwell’s equations using the finite integration technique, we formulate the resulting coupled system as a differential-algebraic equation. To perform an appropriate decoupling, we use the branch oriented loop-cutset approach for circuit modeling. It follows that we are able to construct a suitable operator decomposition such that we obtain a natural topologically decoupled port-Hamiltonian DAE structure. We propose an operator splitting approach for the decoupled circuit and coupled field- circuit DAEs using the Lie-Trotter and Strang splitting algorithms and analyze its numerical properties. Furthermore, we exploit the Hamiltonian behavior of the system’s inherent ordinary differential equation by the utilization of explicit and energy-preserving time integration methods. Based on the convergence analysis of the ODE operator splitting method, we derive convergence results for the proposed approach that depends on the index of the system and thus on its topological structure. Finally, we perform numerical tests, to underline the mathematical model and to demonstrate the convergence results for the proposed DAE operator splitting.