Diese Dissertation ist dem Studium temperierter Distributionen mittels mikrolokaler Methoden gewidmet. Die fundamentale Größe der mikrolokalen Analysis, die Wellenfrontmenge, wird durch zwei analoge Konzepte ersetzt, die den pseudo-differentiellen SG- und Shubin-Kalkülen zugeordnet sind. Die Eigenschaften dieser globalen Wellenfrontmengen werden studiert und ferner werden unterschiedliche Möglichkeiten, diese globalen Singularitäten zu charakterisieren, untersucht, insbesondere mittels der FBI-Transformation. Zahlreiche Konstruktionen, die den klassischen Wellenfrontmengenbegriff beinhalten, werden in den globalen Kontext übersetzt, insbesondere Rechenoperationen mit temperierten Distributionen wie etwa (getwistete) Produkte, Pull-backs und Paarungen, für die mikrolokale Existenzkriterien angegeben werden. Als eine Anwendung wird eine Klasse von temperierten Oszillatorintegralen eingeführt, welche durch inhomogene Phasenfunktionen und Amplituden aus SG-Symbolklassen parametrisiert werden. Die SG-Wellenfrontmengen dieser Distributionen werden untersucht und es stellt sich heraus, dass diese durch eine Verallgemeinerung der Menge stationärer Punkte der Phasenfunktionen beschränkt werden. In diesem Kontext wird eine Verallgemeinerung des klassischen Begriffs einer konischen Lagrange-Untermannifaltigkeit des T*R^d vorgenommen und diese Objekte werden auf ihre Parametrisierungseigenschaften untersucht. Es stellt sich heraus, dass jedes solche Objekt lokal als die Menge der stationären Punkte einer SG-Phasenfunktion realisiert werden kann. Als weitere Anwendung werden einige Konstruktionen der axiomatischen Quantenfeldtheorie, die Distributionen beinhalten, im temperierten Kontext realisiert.

<p>We study the expansions of the elements in <em>S</em>(ℝ₊^d) and <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d) with respect to the Laguerre orthonormal basis. As a consequence, we obtain the Schwartz kernel theorem for <em>S</em>(ℝ₊^d) and <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d). Also we give the extension theorem of Whitney type for <em>S</em>(ℝ₊^d). Next, we consider the G-type spaces i.e. the spaces <em>G</em>_{<em>&alpha;</em>}^{<em>&alpha;</em>}(ℝ₊^d), &alpha;&ge;1&nbsp; and their dual spaces which can be described as analogous to the Gelfand-Shilov spaces and their dual spaces. Actually, we show the exist-ence of the topological isomorphism between the <em>G</em>-type spaces and the subspaces of the Gelfand-Shilov spaces <em>S</em>_&alpha;/2^&alpha;/2(ℝ^d), &alpha;&ge;1&nbsp;consisting of &quot;even&quot; functions. Next, we show that the Fourier Laguerre coecients of the elements in the <em>G</em>-type spaces and their dual spaces characterize these spaces through the exponential and sub-exponentia l growth of the coecients. We provide the full topological description and the kernel theorem is proved. Also two structural theorems for the dual spaces of <em>G</em>-type spaces are obtained. Furthemore, we dene the new class of the Weyl pseudo-dierential operators with radial symbols belonging to the G-type spaces and their dual spaces. The continuity properties of this class of pseudo-dierential operators over the Gelfand-Shilov type spaces and their duals are proved. In this way the class of the Weyl pseudo-dierential operators is extended to the one with the radial symbols with the exponential and sub-exponential growth rate.</p> / <p>Proučavamo razvoje elemenata iz <em>S</em>(ℝ₊^d) i <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d) preko Lagerove ortonormirane baze. Kao posledicu dobijamo &Scaron;varcovu teoremu o jezgru za preko Lagerove ortonormirane baze. Kao posledicu dobijamo &Scaron;varcovu teoremu o jezgru za <em>S</em>(ℝ₊^d) i <em>S</em>&#39;(ℝ₊^d). Takođe, pokazujemo i Teoremu Vitnijevog tipa za <em>S</em>(ℝ₊^d) . Zatim, posmatramo prostore G-tipa i.e. prostore <em>G</em>_&alpha;^&alpha;(ℝ^d), &alpha; &ge; 1 i njihove duale koji su analogni sa Geljfand-&Scaron;ilovim prostorima i njihovim dualima. Zapravo, pokazujemo da postoji topolo&scaron;ki izomorfizam između prostora <em>G</em>-tipa i potprostora Geljfand-&Scaron;ilovih prostora <em>S</em>_&alpha;/2^&alpha;/2(ℝ^d), &alpha; &ge; 1 koji sadrže &quot;parne&quot; funkcije. Dalje, dokazujemo da Furije Lagerovi koeficijenti elemenata iz prostora <em>G</em>-tipa i njihovih duala karakteri&scaron;u ove prostore kroz eksponencijalni i sub-eksponencijalni rast tih koeficijenata. Opisujemo topolo&scaron;ku strukturu ovih prostora i dajemo &Scaron;varcovu teoremu o jezgru. Takođe, dve strukturalne teoreme za duale prostora <em>G</em>-tipa su dobijene. Dalje, defini&scaron;emo novu klasu Vejlovih pseudo-diferencijalnih operatora sa radijalnim simbolima koji se nalaze u prostorima <em>G</em>-tipa i njihovim dualima. Pokazana je neprekidnost ove klase Vejlovih pseudo-diferencijalnih operatora na prostorima Geljfand-&Scaron;ilova i na njihovim dualima. Na ovaj način klasa Vejlovih pseudo-diferencijalnih operatora je pro&scaron;irena na radijalne simbole koji imaju eksponencijalni i sub-eksponencijalni rast.</p>

Dans cette thèse, nous étudions certaines équations différentielles partielles avec mécanisme dissipatif, telles que l'équation de Boltzmann, l'équation de Landau et certains systèmes hyperboliques symétriques avec type de dissipation. L'existence globale de solutions ou les taux de dégradation optimaux des solutions pour ces systèmes sont envisagées dans les espaces de Sobolev ou de Besov. Les propriétés de lissage des solutions sont également étudiées. Dans cette thèse, nous prouvons principalement les quatre suivants résultats, voir les chapitres 3-6 pour plus de détails. Pour le premier résultat, nous étudions le problème de Cauchy pour le non linéaire inhomogène équation de Landau avec des molécules Maxwelliennes (= 0). Voir des résultats connus pour l'équation de Boltzmann et l'équation de Landau, leur existence globale de solutions est principalement prouvée dans certains espaces de Sobolev (pondérés) et nécessite un indice de régularité élevé, voir Guo [62], une série d'oeuvres d'Alexander Morimoto-Ukai-Xu-Yang [5, 6, 7, 9] et des références à ce sujet. Récemment, Duan-Liu-Xu [52] et Morimoto-Sakamoto [145] ont obtenu les résultats de l'existence globale de solutions à l'équation de Boltzmann dans l'espace critique de Besov. Motivés par leurs oeuvres, nous établissons l'existence globale de la solution dans des espaces de Besov spatialement critiques dans le cadre de perturbation. Précisément, si le datum initial est une petite perturbation de la distribution d'équilibre dans l'espace Chemin-Lerner eL 2v (B3=2 2;1 ), alors le problème de Cauchy de Landau admet qu'une solution globale appartient à eL 1t eL 2v (B3=2 2;1 ). Notre résultat améliore le résultat dans [62] et étend le résultat d'existence globale de l'équation de Boltzmann dans [52, 145] à l'équation de Landau. Deuxièmement, nous considérons le problème de Cauchy pour l'équation de Kac non-coupée spatialement inhomogène. Lerner-Morimoto-Pravda-Starov-Xu a considéré l'équation de Kac non-coupée spatialement inhomogène dans les espaces de Sobolev et a montré que le problème de Cauchy pour la fluctuation autour de la distribution maxwellienne admise S 1+ 1 2s 1+ 1 2s Propriétés de régularité Gelfand-Shilov par rapport à la variable de vélocité et propriétés de régularisation G1+ 1 2s Gevrey à la variable de position. Et les auteurs ont supposé qu'il restait encore à déterminer si les indices de régularité 1 + 1 2s étaient nets ou non. Dans cette thèse, si la donnée initiale appartient à l'espace de Besov spatialement critique, nous pouvons prouver que l'équation de Kac inhomogène est bien posée dans un cadre de perturbation. De plus, il est montré que la solution bénéficie des propriétés de régularisation de Gelfand-Shilov en ce qui concerne la variable de vitesse et des propriétés de régularisation de Gevrey en ce qui concerne la variable de position. Dans notre thèse, l'indice de régularité de Gelfand-Shilov est amélioré pour être optimal. Et ce résultat est le premier qui présente un effet de lissage pour l'équation cinétique dans les espaces de Besov. A propos du troisième résultat, nous considérons les équations de Navier-Stokes-Maxwell compressibles apparaissant dans la physique des plasmas, qui est un exemple concret de systèmes composites hyperboliques-paraboliques à dissipation non symétrique. On observe que le problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes-Maxwell admet le mécanisme dissipatif de type perte de régularité. Par conséquent, une régularité plus élevée est généralement nécessaire pour obtenir le taux de dégradation optimal de L1(R3)-L2(R3) type, en comparaison avec cela pour l'existence globale dans le temps de solutions lisses. / In this thesis, we study some kinetic equations and some partial differential equations with dissipative mechanism, such as Boltzmann equation, Landau equation and some non-symmetric hyperbolic systems with dissipation type. Global existence of solutions or optimal decay rates of solutions for these systems are considered in Sobolev spaces or Besov spaces. Also the smoothing properties of solutions are studied. In this thesis, we mainly prove the following four results, see Chapters 3-6 for more details. For the _rst result, we investigate the Cauchy problem for the inhomogeneous nonlinear Landau equation with Maxwellian molecules ( = 0). See from some known results for Boltzmann equation and Landau equation, their global existence of solutions are mainly proved in some (weighted) Sobolev spaces and require a high regularity index, see Guo [62], a series works of Alexandre-Morimoto-Ukai-Xu-Yang [5, 6, 7, 9] and references therein. Recently, Duan-Liu-Xu [52] and Morimoto-Sakamoto [145] obtained the global existence results of solutions to the Boltzmann equation in critical Besov spaces. Motivated by their works, we establish the global existence of solutions for Landau equation in spatially critical Besov spaces in perturbation framework. Precisely, if the initial datum is a small perturbation of the equilibrium distribution in the Chemin-Lerner space eL 2v (B3=2 2;1 ), then the Cauchy problem of Landau equation admits a global solution belongs to eL 1t eL 2v (B3=2 2;1 ). Our results improve the result in [62] and extend the global existence result for Boltzmann equation in [52, 145] to Landau equation. Secondly, we consider the Cauchy problem for the spatially nhomogeneous non-cuto_ Kac equation. Lerner-Morimoto-Pravda-Starov-Xu [117] considered the spatially inhomogeneous non-cuto_ Kac equation in Sobolev spaces and showed that the Cauchy problem for the uctuation around the Maxwellian distribution admitted S 1+ 1 2s 1+ 1 2s Gelfand-Shilov regularity properties with respect to the velocity variable and G1+ 1 2s Gevrey regularizing properties with respect to the position variable. And the authors conjectured that it remained still open to determine whether the regularity indices 1+ 1 2s is sharp or not. In this thesis, if the initial datum belongs to the spatially critical Besov space eL 2v (B1=2 2;1 ), we prove the well-posedness to the inhomogeneous Kac equation under a perturbation framework. Furthermore, it is shown that the weak solution enjoys S 3s+1 2s(s+1) 3s+1 2s(s+1) Gelfand-Shilov regularizing properties with respect to the velocity variableand G1+ 1 2s Gevrey regularizing properties with respect to the position variable. In our results, the Gelfand-Shilov regularity index is improved to be optimal. And this result is the _rst one that exhibits smoothing e_ect for the kinetic equation in Besov spaces. About the third result, we consider compressible Navier-Stokes-Maxwell equations arising in plasmas physics, which is a concrete example of hyperbolic-parabolic composite systems with non-symmetric dissipation. It is observed that the Cauchy problem for Navier-Stokes-Maxwell equations admits the dissipative mechanism of regularity-loss type. Consequently, extra higher regularity is usually needed to obtain the optimal decay rate of L1(R3)-L2(R3) type, in comparison with that for the global-in-time existence of smooth solutions.

This thesis deals with cohomologies on the symplectic quotient of a Frölicher space which is locally diffeomorphic to a Euclidean Frölicher subspace of Rn of constant dimension equal to n. The symplectic reduction under consideration in this thesis is an extension of the Marsden-Weinstein quotient (also called, the reduced space) well-known from the finite-dimensional smooth manifold case. That is, starting with a proper and free action of a Frölicher-Lie-group on a locally Euclidean Frölicher space of finite constant dimension, we study the smooth structure and the topology induced on a small subspace of the orbit space. It is on this topological space that we will construct selected cohomologies such as : sheaf cohomology, Alexander-Spanier cohomology, singular cohomology, ~Cech cohomology and de Rham cohomology. Some natural questions that will be investigated are for instance: the impact of the symplectic structure on these di erent cohomologies; the cohomology that will give a good description of the topology on the objects of category of Frölicher spaces; the extension of the de Rham cohomology theorem in order to establish an isomorphism between the five cohomologies. Beside the algebraic, topological and geometric study of these new objects, the thesis contains a modern formalism of Hamiltonian mechanics on the reduced space under symplectic and Poisson structures. / Mathematical Sciences / D. Phil. (Mathematics)

This thesis deals with cohomologies on the symplectic quotient of a Frölicher space which is locally diffeomorphic to a Euclidean Frölicher subspace of Rn of constant dimension equal to n. The symplectic reduction under consideration in this thesis is an extension of the Marsden-Weinstein quotient (also called, the reduced space) well-known from the finite-dimensional smooth manifold case. That is, starting with a proper and free action of a Frölicher-Lie-group on a locally Euclidean Frölicher space of finite constant dimension, we study the smooth structure and the topology induced on a small subspace of the orbit space. It is on this topological space that we will construct selected cohomologies such as : sheaf cohomology, Alexander-Spanier cohomology, singular cohomology, ~Cech cohomology and de Rham cohomology. Some natural questions that will be investigated are for instance: the impact of the symplectic structure on these di erent cohomologies; the cohomology that will give a good description of the topology on the objects of category of Frölicher spaces; the extension of the de Rham cohomology theorem in order to establish an isomorphism between the five cohomologies. Beside the algebraic, topological and geometric study of these new objects, the thesis contains a modern formalism of Hamiltonian mechanics on the reduced space under symplectic and Poisson structures. / Mathematical Sciences / D. Phil. (Mathematics)