Ingeniero Civil Matemático / El trabajo presentado en esta memoria se sitúa en la interfaz entre el análisis y la geometría. El interés recae en el estudio de fenómenos de concentración para dos problemas "geométricos" no lineales: la existencia de hipersuperficies con r-curvatura constante en variedades Riemannianas, y una ecuación de Schrödinger no lineal. Esta memoria se puede dividir en dos partes principales. La primera está dedicada a explorar algunos resultados sobre concentración de familias de hipersuperficies de curvatura media constante (o en general curvatura r-media constante) con topología no trivial en variedades Riemannianas compactas. Se recuerda que la curvatura r-media de una hipersuperficie se define como la r-ésima función simétrica elemental de las curvaturas principales de la hipersuperficie. Se prueba que las técnicas desarrolladas en el trabajo de Mahmoudi, Mazzeo y Pacard se pueden extender para manejar el caso de curvatura r-media con r>=1. Este fenómeno de concentración se relaciona en general con un fenómeno de resonancia, que hace el análisis particularmente delicado y que también se encuentra en el estudio de una clase de ecuaciones elípticas no lineales que presentan concentración sobre conjuntos de dimensión mayor. En la segunda parte, correspondiente al paper presentado, se prueba un nuevo resultado sobre concentración en subvariedades para una ecuación de Schrödinger no lineal con potencial definido en una variedad Riemanniana suave y compacta M o el espacio Euclídeo R^n, resolviendo en completa generalidad una conjetura planteada por Ambrosetti, Malchiodi y Ni. Precisamente, se estudian soluciones positivas de la siguiente ecuación semilineal: $$\e^2\Delta_{\bar g} u - V(z)u + u^{p} =0 en M,$$ donde (M,g) es una variedad Riemanniana n-dimensional suave, compacta y sin borde o el espacio Euclídeo R^n, e es un parámetro positivo pequeño, p>1 y V es un potencial uniformemente positivo. Se prueba que dado k=1,...,n-1 y 1<p<(n+2-k)/(n-2-k), y suponiendo que K es una subvariedad k-dimensional suave y encajada de M, que es estacionaria y no degenerada con respecto al funcional $\int_K V^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n-k}{2}}dvol$, entonces existe una secuencia $e=\e_j \to 0$ y soluciones positivas asociadas $u=u_\e$ que concentran sobre K en el sentido de que decaen exponencialmente a cualquier distancia positiva a K. En particular este enfoque explora una conexión entre soluciones de esta ecuación de Schrödinger no lineal y subvariedades f-minimales en variedades con densidad.

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Introducción a la geometría computacional, representación de puntos, segmentos, intersección de dos segmentos, orientación de segmentos y par de puntos más cercanos.

Intersección de segmentos. Sweep Line. Algoritmos de Convex Hull. Graham Scan.

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l. El Elipsoide Esta historia se inicia en una calurosa noche de octubre de 1970 en Río de Janeiro. Víctima del insomnio, decidí fisgonear los libros que mi esposa había acomodado cuidadosamente en nuestro estante. Recientemente ella había colocado allí un buen número de libros suyos. Mi cándida y reposada actitud contrastaba con una extraña tensión que emanaba del estante, inundando la sala. Intrigado me vi impelido a averiguar la causa. Arrinconado en una esquina, envuelto por una elegante pasta verde, pulsaba inquieto el libro de Struik "Lecciones de Geometría Diferencial Clásica".

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Muchas demostraciones que se ofrecen en la geometría, tanto la clásica como la analítica, se inician recurriendo a trazos geométricos, en algunos casos intuitivos, continuando con un proceso estrictamente geométrico. Surge por lo tanto la siguiente pregunta: ¿Es posible complementar esas demostraciones estrictamente geométricas? La respuesta es afirmativa porque existe la estructura matemática que permite esto: el álgebra geométrica que enriquece las demostraciones tradicionales con un sustento matemático algebraico, sin proponer que se prescinda de los trazos geométricos. / Tesis

Se estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3. / Tesis