Doctor en Ciencias, Mención Computación / El estudio de las interacciones entre cajas multi-dimensionales (es decir, hiperrectángulos d-dimensionales alineados a los ejes) ha encontrado aplicaciones en distintas áreas, incluyendo geometría computacional, bases de datos, teoría de grafos y redes. Esta tesis considera varias preguntas abiertas sobre este tema, enfocándose en tres materias fundamentales: el cálculo de emparejamientos de un conjunto de puntos con cajas, la detección de redundancias en la región cubierta por un conjunto de cajas, y el cálculo de distintas medidas de dicha región. Se estudia la complejidad computacional de tres grupos respectivos de problemas, tanto en el peor caso, como dentro del marco de análisis adaptativos. Primero se consideran problemas sobre el cálculo de distintas medidas de la región del espacio cubierta por un conjunto B de cajas. Se introduce el problema de calcular la distribución de profundidad de B, que generaliza el cálculo de su medida de Klee y su profundidad máxima, respectivamente. Se describen distintos algoritmos para calcular la distribución de profundidad de un conjunto de cajas, y se prueban cotas computacionales superiores refinadas para los problemas de calcular la medida de Klee y la profundidad máxima de B, respectivamente, considerando distintas medidas de dificultad de las instancias de estos problemas. Además, se demuestran distintas cotas inferiores condicionales para el problema de calcular la distribución de profundidad, que ayudan a entender su relación con otros problemas fundamentales en la computación. Luego, se estudian distintos problemas sobre el cálculo de emparejamientos de pares de puntos coloreados en un conjunto finito mediante cajas. Un emparejamiento con cajas de un conjunto finito S de puntos, es un conjunto de cajas cerradas, disjuntas dos a dos, y tales que cada caja contiene exactamente dos puntos de S. Los problemas que esta tesis considera difieren entre sí en restricciones tales como que las cajas deban emparejar solo a puntos del mismo color (llamados emparejamientos monocromáticos) o contener solo puntos de distintos colores (llamados emparejamientos bicromáticos), o restricciones sobre el conjunto de puntos, por ejemplo, que se requiera que estén en posición general. Se muestra que algunos de estos problemas son difíciles de resolver en tiempo polinomial, pero que sus soluciones óptimas se pueden aproximar hasta factores constantes en tiempo polinomial. Finalmente, se consideran problemas sobre la eliminación de redundancias en la región del espacio cubierta por un conjunto de cajas multi-dimensionales. Se estudia el problema de encontrar un kernel de cobertura de tamaño mínimo, que consiste en, dado un conjunto B de cajas d-dimensionales, encontrar un subconjunto de B de tamaño mínimo que cubra la misma región que B. Este problema es NP-difícil, pero como muchos problemas NP-difícil sobre grafos, se puede resolver en tiempo polinomial bajo distintas restricciones sobre el grafo inducido por B. Esta tesis considera varias clases de grafos, y muestra que el problema de encontrar un kernel de cobertura de tamaño mínimo sigue siendo NP-difícil incluso para instancias severamente restringidas; y proporciona dos algoritmos de aproximación en tiempo polinomial para este problema.

El estudio de la mecánica cuántica en espacios de configuración no triviales dista mucho de estar agotado y constituye un problema de amplio interés actualmente. Por ejemplo, no existe acuerdo sobre cuál es la ecuación de Schrödinger adecuada que contemple la dependencia con respecto a la curvatura espacial de la variedad, es decir el equivalente a una ecuación de Schrödinger para casos de curvatura distinta de cero, la cual en el límite reproduzca la cuántica usual. En esta tesis se estudian métodos de cuantización inspirados en las integrales de Feynman para espacios de configuración que generalizan el euclidiano. En el caso de grupos de Lie con una métrica bi-invariante, se construye un propagador infinitesimal por medio de la integración en el álgebra de Lie del grupo vía el mapa exponencial. Se obtiene una ecuación de Schrödinger modificada que incluye un potencial correspondiente a la curvatura escalar de la variedad. También se estudian métodos de cuantización holomorfa como el desarrollado por B. C. Hall [57, 59, 61, 62], se los relaciona con la transformada de Segal-Bargmann y se los conecta con integrales de Feynman, lo cual nos permite obtener resultados originales. Se define un propagador infinitesimal que genera la evolución cuántica. La medida de integración usada surge de la solución fundamental de la ecuación del calor en la complexificación de la variedad. En el caso de variedades riemannianas conexas orientables de curvatura cero (euclidean space form) se muestra que existe un isomorfismo natural entre el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el espacio de configuración y el espacio de funciones holomorfas de cuadrado integrable en el espacio fase. Los productos escalares son definidos con una medida dada por la solución fundamental de la ecuación del calor en cada espacio. Este espacio de funciones holomorfas en el espacio fase resulta ser un espacio de Hilbert con núcleo reproductor (reproducing kernel Hilbert space). Haciendo uso de la existencia de un núcleo reproductor se obtiene el isomorfismo mencionado y una integral de Feynman que coincide con las expresiones conocidas para el caso euclidiano, ver [27, 139]. En particular, las euclidean space forms de dimensión 3 orientables compactas presentan especial interés en cosmología, dado que permiten modelar la parte espacial de los llamados modelos de universo plano [34]. Ver el trabajo más reciente de J. Levin et al., en donde se busca desarrollar un modelo cosmológico plausible usando euclidean space forms orientables y compactas de dimensión 3 de acuerdo con los resutados de observaciones del fondo de radiación cósmico [98, 99, 100, 97]. / The study of quantum mechanics on nontrivial configuration spaces is far from being exhausted and it is a topic of current wide interest. For instance, there is no agreement on which is the appropriate Schrödinger equation that considers the dependence on the spatial curvature of the manifold, i. e. the equivalent of a Schrödinger equation for cases of non-zero curvature, which in the limit, reproduces the usual quantum mechanics. In this thesis, quantization methods inspired by Feynman integrals for confi- guration spaces, which generalize the Euclidean case, are studied. In the case of Lie groups with a bi-invariant metric, an infinitesimal propagator is constructed by integrating in the Lie algebra of the group via the exponential map. A modified Schrödinger equation is obtained, which includes a potential corresponding to the scalar curvature of the manifold. Also, holomorphic quantization methods are studied following Hall [57, 59, 61, 62], specifically in association with the Segal-Bargmann transform and the connection with Feynman integrals, which allows us to obtain original results. An infinitesimal propagator is defined, in order to obtain the quantum evolution. The measure of integration used arises from the fundamental solution of the heat equation in the complexification of the manifold. In the case of an orientable connected compact at Riemannian manifold (euclidean space form) it is shown that there is a natural isomorphism between the Hilbert space of square integrable complex functions on the configuration space and the space of square integrable holomorphic functions on the phase space. The scalar products are defined with a measure given by the fundamental solution of the heat equation on each space. This space of holomorphic functions on the phase space turns out to be a reproducing kernel Hilbert space. Taking advantage of the existence of a reproducing kernel, the above mentioned isomorphism and a path integral are obtained, the latter of which coincides with the known expressions in the euclidean case, see [27, 139]. In particular, the 3-dimensional orientable compact euclidean space forms present a particular interest for cosmology, since they could model the spatial part of the flat-universe models [34]. See the most recent works of J. Levin et al. [98, 99, 100, 97], which seek to develop a plausible cosmological model using orientable compact euclidean space forms of dimension 3 in agreement with results of observations made on the cosmic microwave background radiation.

La presente investigación aborda la parábola como lugar geométrico en una formación continua de profesores de matemáticas por medio de una secuencia de actividades con el uso del Geogebra y que toma la Teoría de Registros de Representación Semiótica como base teórica. Por ello, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Cómo profesores de matemática movilizan la noción de parábola como lugar geométrico cuando coordinan diferentes registros de representación semiótica? La metodología de investigación es cualitativa y el método es la Ingeniería Didáctica, específicamente en nuestra investigación utilizamos aspectos de la Ingeniería Didáctica. En cuanto al marco teórico, particularmente nos centramos la coordinación de los registros figural, gráfico, lengua natural y algebraico, y sus transformaciones: tratamientos y conversiones. En la parte experimental, trabajamos cuatro actividades con el uso del software Geogebra como herramienta tecnológica, especialmente usamos la herramienta de animación, lugar geométrico, rastro y la función arrastre para generar la representación gráfica de la parábola de forma dinámica y así poder generar relaciones entre los elementos y propiedades de la parábola. Los resultados de la investigación muestran que los profesores coordinan los registros figural, de lengua natural, gráfico y algebraico. Sin embargo, consiguieron, de manera parcial, movilizar estos registros al resolver el problema planteado en la última actividad. Por otro lado, consideremos que el Geogebra favoreció la movilización de las nociones de la parábola como lugar geométrico, en las diversas actividades, y la coordinación de los diferentes registros antes mencionados. / Tesis

En este trabajo de investigación, se propone el tratamiento de los problemas de optimización mediante el uso del software Cabrí-Géomètre II y Cabrí 3D, para articular los tipos de representaciones semióticas que producen los estudiantes de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad Privada del Norte (UPN)- Lima, matriculados en el curso de Cálculo 1 en el semestre académico 2013-1, al resolver problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal y cuyos modelos matemáticos resultan ser funciones cuadráticas o cúbicas. Para esta investigación se ha tomado como marco teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval, la cual sirvió como referencia para el diseño de las actividades a ser trabajadas con los estudiantes, solo usando lápiz y papel; así poder detectar las dificultades que presentan al resolver los problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal. Dichas actividades fueron diseñadas de tal manera que se induzca al estudiante a articular el registro verbal, el registro gráfico y el registro algebraico. La planificación y elaboración de este trabajo de investigación se hizo teniendo como marco metodológico a la Ingeniería Didáctica de Artigue, la que sirvió para los análisis preliminares, la concepción y análisis a priori, la experimentación; para el análisis a posteriori y validación de las producciones de los estudiantes, al confrontar los supuestos o comportamientos esperados con los resultados observados. Luego de recoger la información y analizar las dificultades de los estudiantes, presentamos una propuesta didáctica para tratar los mismos problemas desarrollados con lápiz y papel, pero esta vez usando como recurso didáctico el software Cabrí6 Géomètre II y Cabrí 3D con la finalidad de mejorar la articulación entre los registros de representación semiótica. Con esta investigación queremos contribuir en la mejora de la enseñanza y aprendizaje de los problemas de contexto real, enunciados en el lenguaje verbal, relacionados con la optimización de funciones cuadráticas y cúbicas, para los estudiantes de la UPN. También contribuir con el modelo educativo de la UPN, el cual apunta a la enseñanza basado en competencias, con el uso de las TIC y centrado principalmente en el estudiante, promoviendo la experimentación e innovación. / Tesis

Ingeniero Civil Mecánico / El método de aproximación de campo de geometría independiente (GIFT) introducido recientemente en [1] como una extensión del análisis isogeométrico (IGA), permite diferentes bases para la parametrización de la geometría y la aproximación de campo. Por ejemplo, se demostró en [1] cómo se puede emparejar la geometría CAD original dada por NURBS con la solución dada por PHT-splines para problemas bidimensionales de conducción de calor regidos por la ecuación de Poisson. Esta modificación permite superar ciertas deficiencias del método IGA, como la ausencia de refinamiento local, que es crucial para los problemas donde las soluciones muestran altos gradientes, manteniendo la principal ventaja de IGA, es decir, la estrecha integración del análisis con el diseño de CAD. Este trabajo es una extensión del trabajo realizado en [1]. Tiene dos objetivos principales: el primero es estudiar la adaptabilidad local de la solución, esto se logra implementando y comparando tres medidas de error diferentes; la segunda parte consiste en el estudio de la dependencia de la parametrización de la geometría en la solución, para este objetivo, se analizan dos parametrizaciones diferentes del mismo problema. Para estudiar la adaptabilidad local, se resuelven dos problemas usando tres métodos diferentes, usando indicadores de error para seleccionar las celdas a refinar: el Método 1 usa un indicador de error de norma-L2, el Método 2 usa un indicador de error basado en residuos y el Método 3 usa un algoritmo jerárquico. Para probar estos métodos se utiliza el método GIFT con su geometría definida por NURBS y un campo de solución definido por PHT-Splines, las tasas de convergencia, las mallas refinadas y las gráficas de error se comparan con la solución analítica y el refinamiento homogéneo. Finalmente, dos de los tres métodos muestran mejoras en comparación con el refinamiento homogéneo, donde el Método 2 presenta los mejores resultados, seguido de cerca por el Método 1 y finalmente el método 3, que presenta peores resultados que el refinamiento homogéneo. Para la dependencia de la parametrización de la geometría, los resultados obtenidos muestran una diferencia entre las parametrizaciones, concluyendo que la parametrización de la geometría si afecta la solución, además, se observa que al utilizar el método de refinamiento adaptativo local se presentan mejores tasas de convergencia para ambas parametrizaciones. Se espera que este trabajo conduzca a posteriores mejoras del método GIFT, propuesto en [1].

Esta exploración tuvo el propósito de estudiar las condiciones pedagógicas bajo las cuales un procesador geométrico, como Cabri Geometre II, permite que estudiantes de primer año de enseñanza media, obtengan aprendizajes significativos en el eje temático de geometría, específicamente en la unidad de Transformaciones Isométricas.

Determina la influencia del material concreto en el aprendizaje de geometría de los alumnos del segundo grado de secundaria de la Institución Educativa Felipe Santiago Estenos de la UGEL 06, en el año 2015. La metodología de la investigación tuvo un enfoque cuantitativo, de diseño experimental y de tipo aplicativo. Para realizar el trabajo de campo se usaron los siguientes instrumentos: guía de observación y prueba educativa la cual fue aplicada a una muestra que estuvo conformada por dos grupos de 30 alumnos de 2 secciones del 2° grado de educación secundaria de la Institución Educativa Felipe Santiago Estenos, de la UGEL 06. Finalmente la principal conclusión a la que se llegó fue que existe influencia del material concreto en el aprendizaje de geometría. / Tesis

El presente trabajo tiene por objetivo analizar el proceso de visualización del paraboloide en estudiantes de Arquitectura de una universidad privada en Lima, Perú, mediante una secuencia didáctica mediada por el Geogebra. Para dicha labor, hemos revisado antecedentes de investigación los cuales tienen como objeto matemático superficies cuádricas y figuras tridimensionales de la geometría espacial elemental, así como el uso de la tecnología para representarlos, y su aplicación en la parte experimental de sus instrumentos de recolección de datos, lo cual nos puede inspirar en el diseño de nuestras actividades. Así mismo, hemos justificado la realización de nuestra tesis en aspectos académicos, personales y profesionales para indicar la importancia de la ejecución de nuestro trabajo. El marco teórico de la visualización de la Teoría de Registros de Representación Semiótica (TRRS) de Duval (1995), nos da las herramientas necesarias para comprender e interpretar el proceso de visualización del paraboloide. La metodología para lograr el objetivo general de nuestra investigación, dada su naturaleza cualitativa experimental, lo hemos tomado de aspectos metodológicos de la Ingeniería Didáctica de Artigue (1995), cuyos lineamientos estructuran la forma de nuestro trabajo. Para la experimentación, hemos seleccionado dos estudiantes quienes participaron en tres actividades, dos de ellas mediadas por el software Geogebra 3D. Finalmente, hemos concluido que las herramientas del software Geogebra 3D, favorecen el desarrollo de aprehensiones de los estudiantes en el registro gráfico del paraboloide, y el marco teórico de la TRRS nos permite explicar cómo se desarrolla el proceso de visualización, así como la identificación de las dificultades por las cuales los estudiantes no visualizan.

Esta tesis presenta una visión global y prácticamente autocontenida de los avances que se llevaron a cabo en la décadas de los años 1960 y 1970 con respecto al estudio de las estructuras de contacto en variedades diferenciables. Nuestro objetivo principal sería exhibir explícitamente estructuras métricas de contacto en las denominadas variedades de Brieskorn, que surgen como el conjunto de ceros de los llamados polinomios de Brieskorn-Pham intersecado con la esfera unitaria. Para ello comenzaremos desarrollando a grandes rasgos los conceptos relacionados a la geometría simpléctica, la geometría compleja y las variedades de Kähler. Luego realizaremos un esbozo de prueba del teorema de Boothby-Wang, que constituye una generalización de la fibración de Hopf. A continuación presentaremos la construcción de estructuras métricas de contacto, en particular, las denominadas estructuras de Sasaki. El objetivo de ello es obtener estructuras de Sasaki en las variedades de Brieskorn, las cuales exhibiremos en coordenadas a fin de obtener un procedimiento para construirlas en una variedad de Brieskorn arbitraria. Por último, relacionaremos lo estudiado con la fibración de Boothby-Wang para probar que las estructuras construidas pueden ser proyectadas como hipersuperficies en el espacio proyectivo complejo. Debido a la naturaleza de las nociones presentadas, se espera que el lector tenga un conocimiento elemental de la geometría riemanniana. / Tesis

Se estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3. / Tesis