The use and application of geometric transformations is a fundamental standard for the Common Core State Standards. This study was developed to determine current high school teachers’ prior mathematical content knowledge and develop their content knowledge of transformations and their applications. The design of this study was guided by the questions: “Why is there a level of reluctance amongst secondary teachers when it comes to teaching geometric transformations?” and “How can their content knowledge become deepened to apply geometric transformations to prove that two figures are congruent?” The study provided teachers a chance to gain experience with transformations and use transformations to develop an understanding of congruence and similarity. The teachers’ work with transformations also enhanced their understanding of how transformations are the foundation for Euclidean geometry and begin to lay a foundation for the basics of rigid motion in the plane, with or without the use of coordinates. The results supported the claim that teachers’ transformation content knowledge needs to be deepened overall and in particular with respect to the application of transformations to prove that two figures are congruent. The results also showed that, with an increase of understanding of the mathematical properties of transformations, teachers are better prepared to teach them in their classrooms.

Submitted by HELBA ALEXANDRA HERMINI null (helba.alexandra@uol.com.br) on 2017-04-06T23:13:08Z No. of bitstreams: 2 Dissertacao_Helba.pdf: 794862 bytes, checksum: 72e4f5b0a4b660c7dce8983313d39876 (MD5) Dissertacao_Helba.pdf: 794862 bytes, checksum: 72e4f5b0a4b660c7dce8983313d39876 (MD5) / Approved for entry into archive by LUIZA DE MENEZES ROMANETTO (luizamenezes@reitoria.unesp.br) on 2017-04-07T17:48:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 hermini_al_me_rcla.pdf: 794862 bytes, checksum: 72e4f5b0a4b660c7dce8983313d39876 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-07T17:48:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 hermini_al_me_rcla.pdf: 794862 bytes, checksum: 72e4f5b0a4b660c7dce8983313d39876 (MD5) Previous issue date: 2017-03-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Este trabalho consiste em estudar a continuidade de funções do ponto de vista topológico. Além disso, exploramos as diferentes métricas em R² e através de transformações geométricas neste espaço analisamos qual tipo de ação exerce em bolas abertas usando métricas diferentes no domínio e contradomínio. / In this work we study the continuity of maps from the topological point of view. In addition, we explore di erent metrics in R² and by using geometric transformations we analyze what kind of action carries in open balls using di erent metrics in the domain and in the codomain.

Neste estudo é proposto um método para resolução de problemas de tangências, especificamente para o décimo caso do problema de Apolônio. Este método é baseado na transformação geométrica inversão e no uso do conceito de feixes de circunferências. Além de permitir a resolução de todas as configurações do problema, ele é aplicável também à resolução de outros problemas. Através do trabalho indicamos a importância do tema Desenho Geométrico no ensino de Desenho que há muito tempo enfatiza apenas o desenvolvimento da visualização espacial. Destacamos ao longo do texto como o ensino de Desenho Geométrico pode ser utilizado eficazmente para fomentar o raciocínio lógico-dedutivo dos estudantes através da prática de demonstrações. / A new method to solve the tenth case of Appolonius problem is presented in this study. This method is based on the geometric transformation called inversion and the concept of coaxal circumferences. Besides allowing the resolution of all configurations of the problem, it can also be used to solve other problems. We indicate the importance of the subject about geometric constructions in teaching Drawing, which, since a long time ago has given attention only to the development of the spatial visualization ability. We detach along the text how the teaching of geometric construction can be used efficiently to foment the deductive logical reasoning of the students through the practice of demonstrations.

Este trabalho de pesquisa investigou o processo de aprendizagem de geometria em uma turma do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede municipal de Porto Alegre. Durante dois meses do ano de 2016, foram desenvolvidos os conceitos de quadriláteros, triângulos e de Transformações Geométricas (translação, rotação e reflexão) sob a perspectiva da Investigação Matemática em sala de aula, metodologia de ensino que possui potencial para desencadear o processo de construção do conhecimento. Durante este período, os estudantes realizaram a investigação de quadriláteros e de triângulos, utilizando o software GeoGebra como recurso das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Os alunos construíram estes polígonos no GeoGebra, através de orientações passo-a-passo que foram disponibilizadas através de formulários online. Ao longo destas construções, os estudantes responderam a questionamentos também contidos nestes formulários online, de forma a identificar as propriedades contidas em cada construção, referentes a cada figura geométrica. Posteriormente, registraram as propriedades de cada polígono em uma tabela de características, de forma a organizar as propriedades de cada quadrilátero e de cada triângulo estudado. Para a investigação das Transformações Geométricas, desenvolveu-se um trabalho fazendo-se uso de tesselações no plano (coberturas para o plano). Para esta etapa da investigação, utilizou-se o applet “Design a Tessellation”, que é um recurso online e gratuito no qual o usuário pode criar diferentes coberturas para o plano através de uma unidade de tesselação quadrada. Os alunos fizeram uso de formulários online para responder aos questionamentos sobre as Transformações Geométricas estudadas, assim como folhas com atividades e malhas impressas para a criação de tesselações. Para a análise do processo de aprendizagem dos estudantes, foi utilizada a perspectiva dos níveis de Van Hiele, que classifica os níveis de pensamento geométrico, utilizando também uma abordagem que admite a existência de níveis intermediários. Além disso, este trabalho também formulou uma complementação para os níveis de Van Hiele quanto às Transformações Geométricas, de forma a analisar os dados obtidos com a pesquisa de uma maneira mais detalhada. Com a pesquisa finalizada, conclui-se que houve progresso dos níveis de Van Hiele para os estudantes analisados. / This research investigated the learning process of geometry in a class of the sixth grade of Elementary School, of a municipal school in Porto Alegre. During two months of 2016, the concepts of quadrilaterals, triangles and Geometric Transformations (translation, rotation and reflection) were developed from the perspective of Math Investigation in the classroom, teaching methodology which has the potential to develop the process of knowledge construction. During this period, students performed the investigation of quadrilaterals and triangles, using GeoGebra software as a resource of Information and Communication Technologies (TIC). The students constructed these polygons in GeoGebra, through step-by-step guidelines, which were made available through online forms. Throughout these constructions, the students answered the questions also contained in these online forms, in order to identify the properties contained in each construction, referring to each geometric figure. Later, they registered the properties of each polygon in a table of characteristics, in order to organize the properties of each quadrilateral and of each triangle studied. For the investigation of the Geometric Transformations, a work was developed making use of tessellations in the plane (covers for the plane). For this stage of the research, the "Design a Tessellation" applet was used, which is an online and free resource, where the user can create different covers for the plane, through a square tessellation unit. Students used online forms to answer questions about Geometric Transformations studied, as well as sheets with activities, and printed meshes for the creation of tessellations. For the analysis of the students' learning process, the Van Hiele levels perspective was also used, which classifies the levels of geometric thinking, using an approach that admits the existence of intermediate levels. In addition, this work also formulated a complementation for the Van Hiele levels, regarding Geometric Transformations, in order to analyze the data obtained with the research in a more detailed way. With the research completed, it is concluded that there was progress of the levels of Van Hiele for the analyzed students.

Submitted by WELTON FRANCISCO DE OLIVEIRA null (welton.oliveira3@etec.sp.gov.br) on 2017-03-16T16:03:13Z No. of bitstreams: 1 Uma proposta para ampliar a perspectiva de professores e alunos no estudo de matrizes.pdf: 12604887 bytes, checksum: cb8a97167b40fc0fe963439e55c0a0ff (MD5) / Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2017-03-21T18:00:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 oliveira_wf_me_sjrp.pdf: 12604887 bytes, checksum: cb8a97167b40fc0fe963439e55c0a0ff (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-21T18:00:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 oliveira_wf_me_sjrp.pdf: 12604887 bytes, checksum: cb8a97167b40fc0fe963439e55c0a0ff (MD5) Previous issue date: 2017-02-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / As matrizes são objeto de estudo na Educação Básica e na Educação Superior, porém, apesar de estarem relacionadas a diversas aplicações na Matemática, Engenharia, Computação Gráfica, e Economia, por exemplo, no Ensino Médio são abordadas de maneira superficial, mecânica e subjetiva. Em 2008, a proposta curricular do Estado de São Paulo tentou alterar esse panorama associando o estudo de matrizes a codificações e transformações geométricas. No entanto, como professor de matemática da rede estadual de ensino de São Paulo desde 2005, entendo nos diálogos com os colegas professores de Matemática e nos resultados das avaliações, sejam internas ou externas, que a estrutura do material oferecido ainda deixa lacunas que dificultam o ensino de matrizes. O presente trabalho pretende utilizar o software GeoGebra como principal agregador de teoria e prática, com foco no estudo de transformações geométricas. Além disso, serão apresentadas aplicações de matrizes na computação gráfica e imagens digitais. Outro ponto relevante é a proposta diferenciada de resolução de situações de aprendizagem contidas no material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo. Também serão elaboradas atividades sobre transformações geométricas. Essas atividades serão aplicadas como pesquisa a um grupo de alunos do Ensino Médio. Dessa forma, pretende-se não descartar o material didático existente, mas sim enriquecer e aprimorar as práticas pedagógicas em sala de aula, transformando um material muitas vezes rejeitado em uma poderosa fonte de conhecimento que oferece aos professores e alunos do ensino médio uma alternativa que amplia a perspectiva de Matriz de forma eficiente e significativa. / The matrices are object of study in Basic Education and Higher Education, but, although they are related to several applications in Mathematics, Engineering, Computer Graphics, and Economics, for example, in High School are approached superficially, mechanically and subjectively. In 2008, the curricular proposal of the State of São Paulo tried to change this scenario by associating the study of matrices with geometric codifications and transformations. However, as a professor of mathematics at the São Paulo state education network since 2005, I understand in the dialogues with my fellow mathematics teachers and in the results of the evaluations, whether internal or external, that the structure of the material offered still leaves gaps that make it difficult to Teaching of matrices. The present work intends to use GeoGebra software as the main aggregator of theory and practice, focusing on the study of geometric transformations. In addition, matrix applications will be presented in computer graphics and digital images. Another relevant point is the differentiated proposal for solving learning situations contained in the curriculum support material of the State of São Paulo. Also will be elaborated activities on geometric transformations. These activities will be applied as research to a group of high school students. Thus, it is intended not to discard existing teaching material, but rather to enrich and improve pedagogical practices in the classroom, transforming an often rejected material into a powerful source of knowledge that offers teachers and high school students an alternative that Extends the matrix perspective efficiently and significantly.

Este trabalho tem como objetivo central a elaboração, implementação e reflexão sobre uma sequência didática para o estudo de matrizes a partir de tranformações geométricas. A sequência didática pretende propiciar ao aluno um estudo que justifique as definições das operações entre matrizes e suas respectivas propriedades, a partir da observação e análise de algumas transformações geométricas, de modo a se refazer o processo histórico da definição e obtenção desses conceitos. Além disso apresenta algumas atividades de aplicação de matrizes, onde a composição e iteração de transformações geométricas no software Shapari geram algumas figuras fractais. Como metodologia de trabalho adotamos a engenharia didática para a elaboração, implementação e avaliação da didática proposta. O texto também apresenta a análise das referências sobre o ensino de matrizes e tranformações geométricas. Começando pelas orientações dos documentos oficiais e passando pela apresentação de diversos estudos sobre o tema delimitamos e justificamos a nossa proposta de ensino. Além disso, apresentamos um extrato sobre o conhecimento matemático envolvido no tema, de modo que sirva de base para o docente que implementar a seuência didática em sala de aula. / This work has as its main goal the formulation, implementation and contemplation of a didactie sequence to the study of matrices from geometric transformations. The didactic sequence intends to propitiate the student a study which justifies the definitions of operations between matrices and their respective properties, from the observation and analysis of some geometrie transformations, so that they are able to redo the historical process of the definition and the acquisition of these concepts. Besides that, it shows some activities to the application of matrices, in which the composition and interation of geometric transformations in the Shapari software generate some fractals. We have adopted Didactic Engineering as a methodology to the elaboration, implementation and evaluation of the proposed didactic sequence. The text also shows an analysis of the references about the teaching of matrices and the geometric transformations. We delimited and justified our teaching proposal by staring with orientations of official documents and showing a series of studies about the theme. Besides that, we show an excerpt about the mathematical knowledge involved in the theme, so that, it can be used as basis to the teacher who decides to implement the didactic sequence in the classroom.

Este trabalho tem como objetivo central a elaboração, implementação e reflexão sobre uma sequência didática para o estudo de matrizes a partir de tranformações geométricas. A sequência didática pretende propiciar ao aluno um estudo que justifique as definições das operações entre matrizes e suas respectivas propriedades, a partir da observação e análise de algumas transformações geométricas, de modo a se refazer o processo histórico da definição e obtenção desses conceitos. Além disso apresenta algumas atividades de aplicação de matrizes, onde a composição e iteração de transformações geométricas no software Shapari geram algumas figuras fractais. Como metodologia de trabalho adotamos a engenharia didática para a elaboração, implementação e avaliação da didática proposta. O texto também apresenta a análise das referências sobre o ensino de matrizes e tranformações geométricas. Começando pelas orientações dos documentos oficiais e passando pela apresentação de diversos estudos sobre o tema delimitamos e justificamos a nossa proposta de ensino. Além disso, apresentamos um extrato sobre o conhecimento matemático envolvido no tema, de modo que sirva de base para o docente que implementar a seuência didática em sala de aula. / This work has as its main goal the formulation, implementation and contemplation of a didactie sequence to the study of matrices from geometric transformations. The didactic sequence intends to propitiate the student a study which justifies the definitions of operations between matrices and their respective properties, from the observation and analysis of some geometrie transformations, so that they are able to redo the historical process of the definition and the acquisition of these concepts. Besides that, it shows some activities to the application of matrices, in which the composition and interation of geometric transformations in the Shapari software generate some fractals. We have adopted Didactic Engineering as a methodology to the elaboration, implementation and evaluation of the proposed didactic sequence. The text also shows an analysis of the references about the teaching of matrices and the geometric transformations. We delimited and justified our teaching proposal by staring with orientations of official documents and showing a series of studies about the theme. Besides that, we show an excerpt about the mathematical knowledge involved in the theme, so that, it can be used as basis to the teacher who decides to implement the didactic sequence in the classroom.

Este estudo tem como objetivo examinar as possibilidades e potencialidades do ensino das Transformações Geométricas no Ensino Fundamental, assunto este pouco abordado nos currículos deste nível de ensino. Realiza um resgate histórico sobre o ensino da Geometria e constata que a introdução do tema das transformações se dá a partir do Movimento da Matemática Moderna. Identifica os Parâmetros Curriculares Nacionais como incentivador deste estudo, a partir do momento em que, devido a essas orientações, autores de livros didáticos passam a tratar do tema em suas coleções, mesmo que, em alguns casos, de forma tímida. Para verificar as potencialidades do estudo das Transformações Geométricas foram elaborados dois conjuntos de atividades, sendo um desenvolvido com professoras atuantes nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental e outro com uma turma de alunos do 6º ano desse nível de ensino, ambas em uma escola municipal da Rede Pública de Ensino da cidade de São Leopoldo, RS. Esta pesquisa de caráter qualitativo segue princípios da pesquisa-ação, adotando procedimentos de acompanhamento e controle da intervenção produzida. Da análise da aplicação da proposta, foi produzido um livro do tipo paradidático intitulado Matemática das Transformações, o qual trata o tema com aspectos lúdicos, de caráter artístico e que, pela linguagem nele utilizada, tem a pretensão de incentivar a leitura. / This study intents to examine the possibilities and potential of Geometric Transformations in teaching Elementary School, a few discussed subject in the curriculum of this educational level. Performs a historical survey about the teaching of geometry and notes that the introduction of the theme of change is given from the Movement of Modern Mathematics. Identifies how the National Curriculum Parameters for this study, from the time when, due to these guidelines, authors of textbooks come to address the issue in their collections, even though in some cases, so shy. To verify the potential of the study of Geometric Transformations were prepared two sets of activities, one developed with teachers working in early years of elementary school and another with a group of students from the 6th year of this level of education, both in a municipal school of the Network public Schools in the city of São Leopoldo, RS. This qualitative study follows the principles of action-research, adopting procedures for monitoring and control of the intervention produced. An analysis of the implementation of the proposal, was produced a textbook titled Transformation’s Mathematics , which treats the subject with playful aspects of artistic character, and that the language used therein, intend to encourage reading.

Este trabalho tem como objetivo central a elaboração, implementação e reflexão sobre uma sequência didática para o estudo de matrizes a partir de tranformações geométricas. A sequência didática pretende propiciar ao aluno um estudo que justifique as definições das operações entre matrizes e suas respectivas propriedades, a partir da observação e análise de algumas transformações geométricas, de modo a se refazer o processo histórico da definição e obtenção desses conceitos. Além disso apresenta algumas atividades de aplicação de matrizes, onde a composição e iteração de transformações geométricas no software Shapari geram algumas figuras fractais. Como metodologia de trabalho adotamos a engenharia didática para a elaboração, implementação e avaliação da didática proposta. O texto também apresenta a análise das referências sobre o ensino de matrizes e tranformações geométricas. Começando pelas orientações dos documentos oficiais e passando pela apresentação de diversos estudos sobre o tema delimitamos e justificamos a nossa proposta de ensino. Além disso, apresentamos um extrato sobre o conhecimento matemático envolvido no tema, de modo que sirva de base para o docente que implementar a seuência didática em sala de aula. / This work has as its main goal the formulation, implementation and contemplation of a didactie sequence to the study of matrices from geometric transformations. The didactic sequence intends to propitiate the student a study which justifies the definitions of operations between matrices and their respective properties, from the observation and analysis of some geometrie transformations, so that they are able to redo the historical process of the definition and the acquisition of these concepts. Besides that, it shows some activities to the application of matrices, in which the composition and interation of geometric transformations in the Shapari software generate some fractals. We have adopted Didactic Engineering as a methodology to the elaboration, implementation and evaluation of the proposed didactic sequence. The text also shows an analysis of the references about the teaching of matrices and the geometric transformations. We delimited and justified our teaching proposal by staring with orientations of official documents and showing a series of studies about the theme. Besides that, we show an excerpt about the mathematical knowledge involved in the theme, so that, it can be used as basis to the teacher who decides to implement the didactic sequence in the classroom.

Este trabalho de pesquisa investigou o processo de aprendizagem de geometria em uma turma do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede municipal de Porto Alegre. Durante dois meses do ano de 2016, foram desenvolvidos os conceitos de quadriláteros, triângulos e de Transformações Geométricas (translação, rotação e reflexão) sob a perspectiva da Investigação Matemática em sala de aula, metodologia de ensino que possui potencial para desencadear o processo de construção do conhecimento. Durante este período, os estudantes realizaram a investigação de quadriláteros e de triângulos, utilizando o software GeoGebra como recurso das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Os alunos construíram estes polígonos no GeoGebra, através de orientações passo-a-passo que foram disponibilizadas através de formulários online. Ao longo destas construções, os estudantes responderam a questionamentos também contidos nestes formulários online, de forma a identificar as propriedades contidas em cada construção, referentes a cada figura geométrica. Posteriormente, registraram as propriedades de cada polígono em uma tabela de características, de forma a organizar as propriedades de cada quadrilátero e de cada triângulo estudado. Para a investigação das Transformações Geométricas, desenvolveu-se um trabalho fazendo-se uso de tesselações no plano (coberturas para o plano). Para esta etapa da investigação, utilizou-se o applet “Design a Tessellation”, que é um recurso online e gratuito no qual o usuário pode criar diferentes coberturas para o plano através de uma unidade de tesselação quadrada. Os alunos fizeram uso de formulários online para responder aos questionamentos sobre as Transformações Geométricas estudadas, assim como folhas com atividades e malhas impressas para a criação de tesselações. Para a análise do processo de aprendizagem dos estudantes, foi utilizada a perspectiva dos níveis de Van Hiele, que classifica os níveis de pensamento geométrico, utilizando também uma abordagem que admite a existência de níveis intermediários. Além disso, este trabalho também formulou uma complementação para os níveis de Van Hiele quanto às Transformações Geométricas, de forma a analisar os dados obtidos com a pesquisa de uma maneira mais detalhada. Com a pesquisa finalizada, conclui-se que houve progresso dos níveis de Van Hiele para os estudantes analisados. / This research investigated the learning process of geometry in a class of the sixth grade of Elementary School, of a municipal school in Porto Alegre. During two months of 2016, the concepts of quadrilaterals, triangles and Geometric Transformations (translation, rotation and reflection) were developed from the perspective of Math Investigation in the classroom, teaching methodology which has the potential to develop the process of knowledge construction. During this period, students performed the investigation of quadrilaterals and triangles, using GeoGebra software as a resource of Information and Communication Technologies (TIC). The students constructed these polygons in GeoGebra, through step-by-step guidelines, which were made available through online forms. Throughout these constructions, the students answered the questions also contained in these online forms, in order to identify the properties contained in each construction, referring to each geometric figure. Later, they registered the properties of each polygon in a table of characteristics, in order to organize the properties of each quadrilateral and of each triangle studied. For the investigation of the Geometric Transformations, a work was developed making use of tessellations in the plane (covers for the plane). For this stage of the research, the "Design a Tessellation" applet was used, which is an online and free resource, where the user can create different covers for the plane, through a square tessellation unit. Students used online forms to answer questions about Geometric Transformations studied, as well as sheets with activities, and printed meshes for the creation of tessellations. For the analysis of the students' learning process, the Van Hiele levels perspective was also used, which classifies the levels of geometric thinking, using an approach that admits the existence of intermediate levels. In addition, this work also formulated a complementation for the Van Hiele levels, regarding Geometric Transformations, in order to analyze the data obtained with the research in a more detailed way. With the research completed, it is concluded that there was progress of the levels of Van Hiele for the analyzed students.