Distributed computing is an approach where computationally heavy problems are broken down into more manageable sub-tasks, which can then be distributed across a number of different computers or servers, allowing for increased efficiency through parallelization. This thesis explores an established distributed computing setting, in which the computationally heavy task involves a number of users requesting a linearly separable function to be computed across several servers. This setting results in a condition for feasible computation and communication that can be described by a matrix factorization problem. Moreover, the associated costs with computation and communication are directly related to the number of nonzero elements of the matrix factors, making sparse factors desirable for minimal costs. The Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) is explored as a possible method of solving the sparse matrix factorization problem. To obtain convergence results, extensive convex analysis is conducted on the ADMM iterates, resulting in a theorem that characterizes the limiting points of the iterates as KKT points for the sparse matrix factorization problem. Using the results of the analysis, an algorithm is devised from the ADMM iterates, which can be applied to the sparse matrix factorization problem. Furthermore, an additional implementation is considered for a noisy scenario, in which existing theoretical results are used to justify convergence. Finally, numerical implementations of the devised algorithms are used to perform sparse matrix factorization. / Distribuerad beräkning är en metod där beräkningstunga problem bryts ner i hanterbara deluppgifter, som sedan kan distribueras över ett antal olika beräkningsenheter eller servrar, vilket möjliggör ökad effektivitet genom parallelisering. Denna avhandling undersöker en etablerad distribuerad beräkningssmiljö, där den beräkningstunga uppgiften involverar ett antal användare som begär en linjärt separabel funktion som beräknas över flera servrar. Denna miljö resulterar i ett villkor för tillåten beräkning och kommunikation som kan beskrivas genom ett matrisfaktoriseringsproblem. Dessutom är det möjligt att relatera kostanderna associerade med beräkning och kommunikation till antalet nollskilda element i matrisfaktorerna, vilket gör glesa matrisfaktorer önskvärda. Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) undersöks som en möjlig metod för att lösa det glesa matrisfaktoriseringsproblemet. För att erhålla konvergensresultat genomförs omfattande konvex analys på ADMM-iterationerna, vilket resulterar i ett teorem som karakteriserar de begränsande punkterna för iterationerna som KKT-punkter för det glesa matrisfaktoriseringsproblemet. Med hjälp av resultaten från analysen utformas en algoritm från ADMM-iterationerna, vilken kan appliceras på det glesa matrisfaktoriseringsproblemet. Dessutom övervägs en ytterligare implementering för ett brusigt scenario, där befintliga teoretiska resultat används för att motivera konvergens. Slutligen används numeriska implementeringar av de framtagna algoritmerna för att utföra gles matrisfaktorisering.