Ce travail a pour motivation une meilleure compréhension des graphes parfaits. La preuve en 2002 de la conjecture des graphes parfaits de Claude Berge par Chudnovsky, Robertson, Seymour et Thomas a jeté une lumière nouvelle sur ce domaine de la combinatoire, mais a laissé plusieurs questions en suspens, notamment l'existence d'un algorithme combinatoire de coloration des graphes parfaits. Une paire d'amis d'un graphe est une paire de sommets telle que tous les chemins les reliant sont de longueur paire. Comme l'ont montré Fonlupt et Urhy, la contraction d'une paire amis préserve le nombre chromatique du graphe, et appliquée récursivement, permet dans certains cas de colorier optimalement le graphe. Nous prouvons une conjecture de Everett et Reed affirmant que cette approche fonctionne pour une classe de graphes parfaits: les graphes d'Artémis. Nous en déduisons un algorithme de coloration des graphes Artémis de complexité O(mn^2). Nous donnons un algorithme de complexité O(n^9) pour la reconnaissance des graphes d'Artémis. D'autres algorithmes de reconnaissance sont donnés, tous fondés sur des routines de détection de sous-graphes dans des graphes de Berge. Nous montrons que ces problèmes de détection sont NP-complets si on cherche à les étendre aux graphes quelconques.

A partir du concept de paire d'amis dans un graphe (paire de sommets telle que toutes les chaînes sans cordes qui les relient sont de longueur paire) deux classes de graphes parfaits ont été déjà définies. La première notée QPS (graphes de quasi-parité stricte) est définie par l'existence de paires d'amis pour tout sous-graphe induit incomplet. La deuxième notée PC (graphes parfaitement contractibles) est définie à partir de l'idée algorithmique de coloration du graphe ou de ses sous-graphes induits par enchaînement de contractions successives des sommets d'une paire d'amis jusqu'à obtenir une clique, auquel cas la coloration est optimale. Dans cette thèse nous avons abordé deux conjectures: la première (relative à la classe QPS) énoncée par S. Hougardy est proche de la conjecture forte de graphes parfaits et la deuxième énoncée par H. Everett et B. Reed consite à caractériser les graphes PC par sous-graphes exclus. Nous avons pu valider ces deux conjectures dans deux cas: le cas des graphes planaires et le cas des graphes sans griffe. Ces quatre résultats sont assortis d'algorithmes polynomiaux de reconnaissance (ainsi que de coloration pour la classe PC)

Le polyèdre associé à un problème d'optimisation combinatoire est l'enveloppe convexe des (vecteurs d'incidence des) solutions réalisables de ce problème. De nombreux problèmes d'optimisation combinatoire se formulent comme une maximisation de fonctions linéaires sur les polyèdres qui leurs sont associés. La description du polyèdre par un système d'inéquations linéaires est intimement liée à la résolution du problème correspondant, par le biais de la programmation linéaire. Afin de déterminer un tel système, une approche classique consiste à décomposer le problème en sous-problèmes tels que les polyèdres associés soient connus ; une composition ultérieure de ces derniers conduit à une description du polyèdre associé au problème considéré. L'objet principal de cette thèse est l'étude de la composition des polyèdres. Dans un premier temps, une approche de composition, basée sur la programmation dynamique et les méthodes de projection polyédrale, est étudiée et des résultats généraux sont proposés, permettant ainsi d'unifier des recherches existantes dans ce domaine. Cette approche est, ensuite, appliquée à la composition de polyèdres associés au problème du voyageur de commerce. En seconde partie, considérant le problème du stable, des opérations sur les graphes (composition par identification de sous-graphes de deux graphes donnés, adjonction d'une nouvelle arête) sont traitées. Des résultats polyédraux sont donc donnés, et des conséquences concernant la perfection et la h-perfection des graphes sont montrés

De nombreux problèmes appliqués peuvent être modélisés par le problème de la coloration des sommets d'un graphe, qui est NP-complet en général mais polynomial sur la classe des graphes parfaits introduite par Berge. L'algorithme de coloration des graphes parfaits, de Grötschel, Lovasz et Schrijver, n'est pas réellement efficace d'un point de vue pratique et il est toujours intéressant de trouver un algorithme ''purement'' combinatoire permettant de colorier les graphes parfaits en temps polynomial. Dans cette thèse, nous donnons plusieurs algorithmes simples et rapides permettant de colorier des sous-classes de graphes parfaits. Ces algorithmes utilisent en particulier la notion de contraction de paire d'amis, introduite par Fonlupt et Uhry, à propos de laquelle plusieurs conjectures sont encore ouvertes. Nous utilisons aussi des algorithmes de parcours comme LexBFS, de Rose, Tarjan et Lueker, pour prouver des résultats structuraux sur les graphes considérés.