La dynamique des flammes de prémélange est étudiée par deux approches numériques différentes. La première résout les équations compressibles de Navier-Stokes avec une chimie simplifiée (DNS). Afin de réduire les coûts de calcul, nous analysons et développons un schéma numérique à grille décalée. Le traitement des ondes acoustiques aux sorties est connu pour rendre les flammes cylindriques légèrement carrées. Ces déformations non-physiques sont expliquées en mettant en évidence la modélisation insuffisamment précise de l'accélération du fluide lorsque l'écoulement est oblique à la sortie. Une étude paramétrique et statistique de flammes turbulentes est menée en 2D et une simulation parallèle 3D est réalisée dans un domaine de (3cm)3. En considérant la flamme infiniment mince, l'approche EEM diminue considérablement les coûts de calcul. Les mêmes simulations sont réalisées et comparées aux résultats de DNS pour tester la capacité du modèle EEM à fournir des résultats quantitatifs.

Les travaux de recherche présentés dans ce manuscrit concernent l'application des méthodes multi-niveaux pour la simulation numérique des écoulements incompressibles turbulents dans le cadre d'une approximation Volumes Finis avec placement des inconnues sur grilles décalées (Harlow et Welch), ainsi que le développement d'une nouvelle méthode de type frontière immergée sur maillage cartésien pour la simulation numérique d'écoulements autour d'obstacles. Les écoulements considérés dans cette étude sont bidimensionnels.

Ce travail est consacré à l’étude numérique de l’interaction entre un fluide compressible et une structure indéformable, en adaptant une famille récente de schémas d’ordre très élevé à la prise en compte de conditions aux bords particulières entre le fluide et la structure. Plus précisément,on évalue l’apport de schémas d’ordre strictement supérieur à 3 par rapport à des stratégies plus classiques dans la littérature restreintes aux ordres 1 et 2. Un résultat important est qu’il est possible de réaliser le couplage à tout ordre et qu’il existe des configurations pour lesquelles on observe un gain important pour les ordres élevés. Une revue bibliographique est faite rappelant les résultats théoriques concernant les systèmes hyperboliques et décrivant les méthodes utilisées dans la littérature pour la simulation de la dynamique des gaz et la prise en compte des conditions aux bords. Un schéma sur grilles cartésiennes décalées et d’ordre très élevé est proposé pour la résolution des équations d’Euler en 1D/2D. Ce schéma est basé sur le formalisme Lagrange-projection et bien que formulé en énergie interne assure conservation et consistance faible grâce à un correctif en énergie interne. Parallèlement, l’étude pour les systèmes hyperboliques linéaires de discrétisation à l’ordre très élevé des conditions aux bords est faite. Elle met en évidence la nécessité pour l’ordre élevé de s’intéresser à la stabilité des schémas ainsi obtenus. À partir de ces travaux, la prise en compte de conditions aux bords en vitesse normale imposée est réalisée pour les équations d’Euler en 1D et 2D. Enfin, une procédure de couplage entre fluide compressible et structure indéformable est proposée. / This work is devoted to the construction of stable and high-order numerical methods in order to simulate fluid - rigid body interactions. In this manuscript, a bibliographic overview is done, which highlights theoretical results about hyperbolic system of conservation laws, as well as the methods available in the literature for the hydrodynamics simulation and the numericalboundary treatment. A high-order accurate scheme is proposed on staggered Cartesian grids to approximate the solution of Euler equations in 1D and 2D. The scheme relies on Lagrange-remap formalism, and although formulated in internal energy, ensures both conservation and weak consistency thanks to an internal energy corrector. In the same time, the study of high-order numerical boundary treatment for linear hyperbolic system is done. It highlights the necessity to focus especially on the linear stability of the effective scheme. Starting from the linear results, the numerical boundary treatment with imposed normal velocity is done for Euler equations in 1D and 2D. Last, the coupling between a compressible fluid and a rigid body is realized, using the designed procedure for numerical boudary treatment.

La dynamique des flammes de prémélange est étudiée par deux approches numériques différentes. La première résout les équations compressibles de Navier-Stokes avec une chimie simplifiée (DNS). Afin de réduire les coûts de calcul, nous analysons et développons un schéma numérique à grille décalée. Le traitement des ondes acoustiques aux sorties est connu pour rendre les flammes cylindriques légèrement carrées. Ces déformations non-physiques sont expliquées en mettant en évidence la modélisation insuffisamment précise de l'accélération du fluide lorsque l'écoulement est oblique à la sortie. Une étude paramétrique et statistique de flammes turbulentes est menée en 2D et une simulation parallèle 3D est réalisée dans un domaine de (3cm)3. En considérant la flamme infiniment mince, l'approche EEM diminue considérablement les coûts de calcul. Les mêmes simulations sont réalisées et comparées aux résultats de DNS pour tester la capacité du modèle EEM à fournir des résultats quantitatifs. / We study premixed flame dynamics using DNS and EEM approaches. DNS solves compressible Navier-Stokes equations with simplified chemistry. To reduce computational costs and increase efifciency, we analyse and develop a modified staggered scheme. Treatment of acoustic waves at boundaries is known to slightly square cylindrical flames. We try to explain these unphysical distortions by highlighting the poor modeling of fluid acceleration when mainstrean is transverse to outow. A parametric and statistical study of expanding flames is carried out in 2D and also for an expanding (3cm)3 flame. The EEM approach models the flame as an infinitely thin interface. This perturbative strategy dramatically decreases cpu costs. Simulations are carried out and compared to DNS results to check the ability of EEM modeling to give quantitative results.

Cette thèse porte sur l'approximation numérique des équations de Saint-Venant et de quelques problèmes qui leur sont reliés. Dans la première partie, nous analysons les propriétés mathématiques et les applications des schémas numériques sur grilles décalées. La robustesse de ces schémas est prouvée sur des applications telles que les équations de Saint-Venant dans un domaine en rotation, en vue des écoulements géostrophiques, ainsi que l'extension de ces équations au cas visqueux. Dans la seconde partie, nous présentons des modèles basés sur les équations de Saint-Venant. Nous commençons par étudier le couplage avec l'équation d'Exner, qui porte sur le transport des sédiments. Nous observons des propriétés de convergence numérique vers la solution exacte dans un cas de solution analytique, et nous constatons un bon accord avec des données expérimentales dans le cas de la rupture de barrage avec fond érodable. Nous continuons par l'étude d'un schéma numérique, basé sur une méthode de volumes finis colocalisés (HLLC) pour l'approximation du modèle de Richard-Gavrilyuk. Ce modèle étend les équations de Saint-Venant au cas des écoulements avec cisaillement. Des tests numériques montrent la validité du schéma / This thesis is devoted to the numerical approximation of the shallow water equations and of some related models. In the first part, we analyze the mathematical properties and the applications of the staggered grid scheme. The robustness of this scheme is validated on various applications such as the rotating shallow water equations for geostrophic flows model and viscous shallow water equations. In the second part, we consider some related models. Firstly focusing on the coupling between the Exner equation and the shallow water equations, modelling bedload sediment transport, we observe in a particular case the numerical convergence of the scheme to the exact solution, as well as a good agreement with the experimental data in the dam-break with erodible bottom test. Secondly, we present a numerical scheme based on the finite volume collocated scheme (HLLC) in order to approximate the Richard-Gavrilyuk model. This model is an extension of the shallow water model, fit for modelling the shear shallow water flows. Some numerical tests provide a validation of the scheme