Nous montrons que les morphismes du groupe de tresses à n brins dans le mapping class group d'une surface de bord éventuellement non vide et de genre inférieur ou égal à n/2 sont soit cycliques (i.e. dont l'image est un groupe cyclique), soit des transvections de monodromie géométriques (i.e. à multiplication près par un élément du centralisateur de l'image, un générateur standard du groupe de tresses est envoyé sur un twist de Dehn, et deux générateurs standards consécutifs sont envoyés sur deux twists de Dehn le long de deux courbes s'intersectant en un point). En corollaire, nous déterminons les endomorphismes, les endomorphismes injectifs, les automorphismes et le groupe d'automorphisme des groupes suivants : le groupe de tresses à n brins lorsque n est supérieur ou égal à 6, le mapping class group de toute surface de genre supérieur ou égal à 2. Pour chacun des énoncés impliquant le mapping class group, nous étudions deux cas : lorsque le bord est fixé point par point ou seulement composante par composante. Nous décrivons également l'ensemble des morphismes entre différents groupes de tresses dont le nombre de brins diffèrent d'au plus un, et l'ensemble des morphismes entre mapping class groups de surfaces (de bord éventuellement non vide) dont les genres (supérieurs ou égal à 2) différent d'au plus un.

L'invariant de Casson est un invariant classique des 3-sphères d'homologie entière. Via les scindements de Heegaard, S. Morita le décrit comme la somme de deux homomorphismes d et q définis sur un sous-groupe K_(g,1) du groupe de difféotopies M_(g,1) d'une surface S_(g,1) orientée de genre g à une composante de bord. L'homomorphisme d constitue le "Coeur de l'invariant de Casson" et est décrit géométriquement en termes de SU-parallélisations de Morita des mapping tores. A l'origine, d provient d'une application d_X définie sur M_(g,1) comme la différence entre le cocycle de Meyer et un cocycle d'intersection dépendant d'un champ de vecteurs X sur la surface S_(g,1). Tout d'abord, nous revisiterons les résultats de Morita et rendrons l'application d_X calculatoire. Puis nous considèrerons les cobordismes d'homologie et leur groupe associé H_(g,1) : via les mapping cylindres, M_(g,1) constitue un sous-groupe de H_(g,1). Dans la perspective de prolonger d, nous étendrons les cocycles d'intersection et cocycle de Meyer aux cobordismes d'homologie munis de structure d'Euler.