Un nœud est un plongement du cercle dans une variété de dimension 3. Dans la sphère S3 , les nœuds peuvent être codés combinatoirement par des diagrammes de Gauss. Ceux-ci peuvent être étudiés indépendamment, en oubliant les véritables nœuds: c'est ce qu'on appelle la théorie des nœuds virtuels. En première partie nous définissons une version générale de nœuds virtuels, dépendant d'un groupe G muni d'un morphisme à valeurs dans Z/2. Lorsque ces paramètres sont bien choisis, la théorie obtenue généralise les nœuds dans une surface épaissie quelconque (c'est-à-dire un fibré en droites réelles sur une surface). Outre l'encodage des nœuds, les diagrammes de Gauss sont aussi un outil puissant pour décrire les invariants de type fini de Vassiliev. En seconde partie, nous donnons un ensemble complet de critères pour détecter ces invariants. Notamment, le critère d'invariance sous Reidemeister III est une réponse positive à une conjecture de M.Polyak. Parmi les exemples donnés figure une nouvelle preuve et une généralisation du théorème de Grishanov-Vassiliev sur les invariants par chaînes planaires. La troisième partie est une ébauche de plan visant à trouver un algorithme pour décider si un diagramme donné dans l'anneau R × S1 représente une tresse fermée dans le tore solide, à isotopie près. La première étape est franchie, consistant à trouver un critère reconnaissant les diagrammes de Gauss des tresses fermées. Nous conjecturons que ce critère suffit pour les diagrammes à nombre minimal de croisements, et proposons des pistes dans cet objectif. La dernière partie est un travail commun avec T.Fiedler, explorant les propriétés d'objets non génériques liés à l'espace de toutes les immersions du cercle dans R3 . Cet espace est de dimension infinie, stratifié par le degré de non généricité des immersions. Alors que la théorie de Vassiliev se cantonne à l'étude des strates contenant uniquement des points doubles ordinaires, ici nous interdisons ces points doubles et autorisons uniquement un certain type de points triples. Nous montrons que l'espace qui en résulte n'est pas simplement connexe en exhibant un 1-cocycle non trivial. Une pondération de ce 1-cocycle fournit une nouvelle formule pour l'invariant de Casson des nœuds.

L'invariant de Casson est un invariant classique des 3-sphères d'homologie entière. Via les scindements de Heegaard, S. Morita le décrit comme la somme de deux homomorphismes d et q définis sur un sous-groupe K_(g,1) du groupe de difféotopies M_(g,1) d'une surface S_(g,1) orientée de genre g à une composante de bord. L'homomorphisme d constitue le "Coeur de l'invariant de Casson" et est décrit géométriquement en termes de SU-parallélisations de Morita des mapping tores. A l'origine, d provient d'une application d_X définie sur M_(g,1) comme la différence entre le cocycle de Meyer et un cocycle d'intersection dépendant d'un champ de vecteurs X sur la surface S_(g,1). Tout d'abord, nous revisiterons les résultats de Morita et rendrons l'application d_X calculatoire. Puis nous considèrerons les cobordismes d'homologie et leur groupe associé H_(g,1) : via les mapping cylindres, M_(g,1) constitue un sous-groupe de H_(g,1). Dans la perspective de prolonger d, nous étendrons les cocycles d'intersection et cocycle de Meyer aux cobordismes d'homologie munis de structure d'Euler.

Cette thèse porte sur les invariants des sphères d'homologie entière de dimension 3, et en particulier sur les invariants de type fini pour la filtration de Goussarov-Habiro.<br />Dans une première partie, on étudie la variation d'un invariant de degré 2n après chirurgie le long d'une surface par un élément du 2n-ième terme de la série centrale descendante du groupe de Torelli. Dans le cas d'un commutateur de 2n éléments du groupe de Torelli, on exprime cette variation en fonction de l'homomorphisme de Johnson évalué sur ces 2n éléments et du système de poids de l'invariant.<br /><br />Le calcul des claspers de Goussarov-Habiro donne des équivalences topologiques entre des chirurgies sur des corps en anses plongés dans les variétés. Ce calcul a déjà permis de préciser le comportement des invariants de type fini lors de nombreuses modifications topologiques. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à un raffinement de ce calcul. Ce raffinement est ensuite appliqué à l'obtention d'une formule de chirurgie géométrique sur les noeuds pour les invariants de degré 4, c'est-à-dire que l'on exprime la variation d'un tel invariant après chirurgie sur un noeud en fonction d'invariants de courbes tracées au voisinage d'une surface de Seifert de ce noeud.