Le but principal de ce mémoire est de comprendre la représentation et la classification des groupes de Coxeter hyperboliques. Après avoir jeté les interbases de la théorie de Coxeter, nous exposerons la classification des groupes de Coxeter, puis celle des groupes de Coxeter hyperboliques. Nous porterons une attention particulière au cas des groupes hyperboliques de rang 3. Plus précisément, nous tâcherons de faire le pont entre leur représentation dans ℝ³ et celle dans le disque de Poincarré; notamment, nous remarquerons l'équivalence des notions de réflexion et d'inversion. Les notions de domaine fondamental, de cône de Tits et de forme bilinéaire sont essentielles à la représentation des groupes de Coxeter. La classification des groupes de Coxeter hyperboliques est, pour sa part, basée sur la compacité et sur la classification des groupes de Coxeter finis et affines. Ce mémoire ayant comme visée la compréhension, et non le développement de la science, nous n'exposons que des résultats connus. Le désir d'illustrer le plus possible constitue peut-être une distinction dans la démarche suivie. Nous avons surtout tenté de représenter un groupe de Coxeter hyperbolique grâce au langage informatique Sage. Les détails du code sont omis, mais dérivent directement des calculs faits aux chapitres 2 et 3. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Groupe, Coxeter, Hyperbolique, Représentation, Classification.

Cette thèse a pour objet l'étude de la mesure harmonique associée à une marche aléatoire sur un groupe hyperbolique ou sur un sous-groupe discret d'un groupe semi-simple. Dans ces deux cadres, les groupes sont munis d'un bord géométrique naturel, qui porte la mesure harmonique. On s'intéresse aux relations entre celle-ci et la structure métrique du bord, à travers l'étude de sa dimension. Dans chacun des cadres, on majore la dimension de la mesure harmonique par le quotient de l'entropie asymptotique et de la vitesse de fuite de la marche aléatoire. Cette majoration nous permet de construire des mesures harmoniques de petite dimension. Un de nos résultats principaux découle de cette construction : la mesure harmonique associée à une marche aléatoire sur un réseau d'un groupe semi-simple peut être singulière par rapport à la mesure de Haar sur l'espace des drapeaux complets.

L'objet principal de cette thèse est l'étude de la dimension conforme Ahlfors régulière ($\dim_{AR}X$) d'un espace métrique $X$. C'est un invariant numérique par quasisymétrie, introduit par P.\,Pansu, permettant la classification à quasi-isométrie près des espaces homogénes de courbure négative. Elle joue actuellement un rôle important en théorie géométrique des groupes et en dynamique conforme. A partir d'une suite de recouvrements d'un espace métrique compact $\left(X,d\right)$, on construit des distances de dimension contrôlée appartenant à la jauge conforme (Ahlfors régulière). On peut ainsi caractériser toutes les métriques de la jauge á homéomorphismes bi-Lipschitz prés. On montre comment calculer $\dim_{AR}X$ á partir de modules combinatoires en considérant un exposant critique $Q_N$. Comme conséquence de l'égalité $\dim_{AR}X=Q_N$, on obtient un critère général de dimension $1$. Les conditions sont données en termes de points de coupure locale de $X$. On donne par ailleurs des applications de ces résultats aux bords des groupes hyperboliques et aux ensembles de Julia des fractions rationnelles semihyperboliques.