Les variétés de Deligne-Lusztig associées à un élément de Coxeter, dites variétés de Coxeter et notées $YY(dot{c})$, sont des variétés candidates à réaliser l'équivalence dérivée demandée dans la conjecture de Broué. Cette conjecture implique qu'une telle variété doit avoir une cohomologie disjointe et donne également la description de l'algèbre d'endomorphismes associée. Dans le cas des groupes linéaires, nous décrivons la cohomologie des variétés de Coxeter et en déduisons que celles-ci vérifient bien les propriétés impliquées par la conjecture de Broué. Pour ce faire, nous montrons qu'il est possible d'appliquer un résultat de og transitivitéfg permettant de se ramener à des variétés de Coxeter og plus petitesfg et nous utilisons ensuite un résultat établi par Lusztig sur des variétés notées $XX(c)$, obtenues comme des quotients des variétés $YY(dot{c})$ par des groupes finis. Enfin, dans une dernière partie, la description de la cohomologie des variétés de Coxeter nous permet d'obtenir un lien entre la cohomologie de la compactification $overline{YY}(dot{c})$ et celle de la compactification $overline{XX}(c)$. / Deligne-Lusztig varieties associated to Coxeter elements, or more simply Coxeter Varieties denoted by $YY(dot{c})$, are good candidates to realize the derived equivalence needed for the Broué's conjecture. The conjecture implies that the varieties should have disjoint cohomology as well as gives a description of the endomorphisms algebra.For linear groups, we describe the cohomology of the Coxeter varieties and hence show that it agrees with the conditions implied by Broué's conjecture. To do so, we prove it is possible to apply a og transitivityfg result allowing us to restrict to og smallerfg Coxeter varieties. Then, we apply a result obtained by Lusztig on varieties $XX(c)$, which are quotient varieties of $YY(dot{c})$ by some finite groups.In the last part of the thesis, we use the description of the cohomology of Coxeter varieties to connect the cohomology of the compactification $overline{YY}(dot{c})$ and the cohomology of the compactification $overline{XX}(c)$.

Cette thèse porte sur la construction et l'étude des représentations modulaires des groupes réductifs finis. Comme dans le cas ordinaire, l'accent est mis sur les constructions de nature géométrique, obtenues à partir de la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. On commence par introduire des méthodes de décomposition du type Deodhar, permettant de déterminer en toute généralité la présence d'une classe particulière de représentations, les modules de Gelfand-Graev, ainsi que certaines de leurs versions généralisées. Des résultats plus précis sont ensuite démontrés pour des variétés associées à certains éléments réguliers de petite longueur. Le cas des éléments de Coxeter tient une place importante dans ce mémoire : pour ces éléments, on détermine un représentant explicite du complexe de cohomologie, aboutissant à une preuve de la version géométrique de la conjecture de Broué pour certains nombres premiers. On en déduit aussi la forme de l'arbre de Brauer du bloc principal dans ce cas, ce qui résout une conjecture de Hiss, Lübeck et Malle. Ces deux résultats sont conditionnés par une hypothèse assurant l'absence de torsion dans la cohomologie, dont on montre qu'elle est satisfaite pour de nombreux groupes classiques et exceptionnels.

Cette thèse se compose de deux parties : dans la première on donne une généralisation d'espaces fibrés construit au-dessus de l'arbre de Bruhat-Tits du groupe GL(2) sur un corps p-adique. Plus précisément, on a construit une tour projective d'espaces fibrés au-dessus du 1-squelette de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. On a montré que toute représentation cuspidale π de GL(n) se plonge avec multiplicité 1 dans le premier espace de cohomologie à support compact du k-ième étage de la tour, où k est le conducteur de π. Dans la deuxième partie on a construit un espace W au-dessus de la subdivision barycentrique de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. Pour étudier les espaces de cohomologie à support compact d'un G-complexe simplicial propre X muni d'un recouvrement équivariant assez particulier, où G est un groupe localement compact totalement discontinu, on a montré l'existence d'une suite spactrale dans la catégorie des représentations lisses de G qui converge vers la cohomologie à support compact de X. En s'appuyant sur ce dernier résultat, on a calculé la cohomologie à support compact de l'espace W comme représentation lisse de GL(n) puis on a montrer que les types cuspidaux de niveau 0 de GL(n) apparaissent avec multiplicité fini dans la cohomologie de certain complexes fini construit au niveau résiduel. Comme conséquence, on montre que les représentations cuspidales de niveau 0 de GL(n) apparaissent dans la cohomologie de W. / This thesis consists of two parts: the first one gives a generalization of fiber spaces constructed above the Bruhat-Tits tree of the group GL(2) over a p-adic field. More precisely we construct a projective tower of spaces over the 1-skeleton of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. We show that any cuspidal representation π of GL(n) embeds with multiplicity 1 in the first cohomology space with compact support of k-th floor of the tower, where k is the conductor of π. In the second part we constructed a space W above the barycentric subdivision of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. To study the cohomology spaces with compact support of a proper G-simplicial complex X with a rather special equivariant covering, where G is a totally disconnected locally compact group, we show the existence of a spactrale sequence in the category of smooth representations of G that converges to the cohomology with compact support of X. Based on the latter results, we calculate the cohomology with compact support of W as smooth representation of GL(n), and then we show that the level zero cuspidal types of GL(n) appear with finite multiplicity in the cohomology of some finite simplicial complexes constructed in residual level. As a consequence, we show that the cuspidal representations of level 0 of GL(n) appear in the cohomology of W.