Certain properties of an unknown element u in a Hilbert space are investigated. For u satisfying certain linear constraints, it is shown that approximations to u and error bounds for the approximations may be obtained in terms of functional representers. The general approximation method is applied to homogeneous systems of ordinary linear differential equations and various formulae are derived. An Alwac III-E digital computer was used to compute optimal approximations and error bounds with the aid of these formulae. Numerous applications to particular systems are mentioned. On the basis of the numerical results, certain remarks are given as a guide for the numerical application of the method, at least in the framework of ordinary differential equations. From the cases studied it is seen that this can be a practicable method for the numerical solution of differential equations. / Science, Faculty of / Mathematics, Department of / Graduate

Orientador : Paulo Roberto Brumatti / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-07-18T21:36:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Bastos_JeffersonLuizRocha_M.pdf: 1263797 bytes, checksum: dd5c506daab09f6eebe89e0057759684 (MD5) Previous issue date: 1993 / Resumo: Não informado. / Abstract: Not informed. / Mestrado / Mestre em Matemática

Generalising the divisibility relation of terms we introduce the lattice of so-called involutive divisions and define the admissibility of such an involutive division for a given set of terms. Based on this theory we present a new approach for building up a general theory of involutive bases of polynomial ideals. In particular, we give algorithms for checking the involutive basis property and for completing an arbitrary basis to an involutive one. It turns out that our theory is more constructive and more exible than the axiomatic approach to general involutive bases due to Gerdt and Blinkov. Finally, we show that an involutive basis contains more structural information about the ideal of leading terms than a Gröbner basis and that it is straight forward to compute the (affine) Hilbert function of an ideal I from an arbitrary involutive basis of I.

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I use novel splittings of conjugate exponents in Holder’s inequality and other techniques to obtain new inequalities of Hilbert, Hilbert-Pachpatte and Hardy type for series and integrals. The Thesis gives far reaching generalisations of the work of Dragomir-Kim (2003), Pachpatte (1987, 1990, 1992),Handley-Koliha-Pecaric (2000), Hwang-Yang (1990), Hwang(1996), Love-Pecaric (1995) and Mohapatra-Russell (1985) and inequalities for fractional derivatives of integrable functions. (For complete abstract open document)

[pt] O problema de decomposição de contrações em espaços de Hilbert é motivado pelo problema do subespaço invariante, o qual é um famoso problema em aberto em Teoria de Operadores. Se T (pertence) B [H] é uma contração, define- se o operador A como o limite forte da seqüência { T* n Tn (pertence) B [H]; n > ou = 1}. Este operador caracteriza as isometrias, uma vez que T é uma isometria se e somente se A = I. A decomposição de Von Neumann-Wold para isometrias estabelece que toda isometria é a soma direta ortogonal de um Shift unilateral com um operador unitário. O presente trabalho estende a decomposição de Von Neumann-Wold para contrações tais que o operador A é uma projeção ortogonal arbitrária. Através desta decomposição, conclui-se que se uma contração não possui subespaço invariante próprio, então T (pertence) C00 U C01 U C10. uma análise abrangente do efeito dessa nova decomposição é desenvolvida, interceptando a classe de contrações em questão com as classes dos operadores compactos, normais, quasinormais, subnormais, hiponormais e normalóides. Como se conclui que o operador A é uma projeção ortogonal apenas até a classe das contrações quasinormais, também é analisado o quanto o operador A referente a uma contração subnormal não-quasinormal pode se afastar de uma projeção ortogonal. Além disso, estabelece-se para contrações hipornormais o subespaço onde A é uma projeção ortogonal. / [en] Decomposition of Hilbert-space contractions is motivated the invariant subspace problem, which is a famous open problem in Operator Theory. If T (pertenc) B [H] is a contraction, {T*n Tn (pertenc) B [H]; n > = 1} converger strongly. Let the operator A be its (strongly) limit. T is a isometry if and only if A = I. The von Neumann-Wold decomposition for isometries says that a isometry is the direct orthogonal sum of a unilateral shift and a unitary operator. The present work extends the von Neumann-Wold decomposition to a contrataction for wich A is an orthogonal projection. According to such a decomposition it is established that a contractin with no nontrivial invariant subspace is such that T (pertenc) C00 U C01 U C10. it follows a detailed investigation n the impact of such a new decomposition on several classes of operators; viz. compact, normal, quasinormal, subnormal, hyponormal and normaloid. It is verified that the operator A is an orthogonal projection up to the class of all quasinormal contraction T, but not for every subnormal contraction. Thus it is investigated how the operator A, for a susbnormal contraction T, can distanciate from an orthogonal projection, for hyponormal contraction T, is exhibited as well

[pt] As transformações F e F(diferente) surgiram associados ao problema de estabilidade em média-quadrática de sistemas bilineares discretos de dimensão infinita evoluindo em espaços de Hilbert separáveis, tendo sido originariamente definidas através de séries infinitas na álgebra de Banach dos operadores lineares e limitados no espaço de Hilbert em que o sistema evolui. O presente trabalho parte de uma condição suficiente para a estabilidade, condição esta anteriormente determinada, que se traduz imposições sobre os raios espectrais das transformações mencionadas ambos estritamente menores que um- e do fato já conhecido de que, a condição sendo parcialmente satisfeita, isto é, um dos raios espectrais menor que um, não implica que ela o seja por completo. Deste modo, coloca-se uma primeira questão: em que casos tal implicação existe? O estudo é então desenvolvido sobre a simplificação das condições que originaram: as transformações F e F (diferente) são tomadas simplificadamente como somas de apenas dois termos, e a questão inicial se converte na pesquisa de casos em que a igualdade entre raios espectrais de F e F(diferente) ocorre. Mais precisamente, os termos que compõem F e F(diferente) se constitui em produtos de operadores pertencentes à álgebra de Banach inicialmente referida, de modo que é feita uma análise do comportamento dos raios espectrais de F e F(diferente) situando-se esses operadores em classes específicas nessa álgebra. Sob estas condições são apresentados resultados relativos às classes dos operadores auto-adjuntos, unitários, normais, isometrias e subnormais, assim como um resultado referente aos shifts ponderados. Além disto, é apresentado um resultado geral para o caso de espaços de dimensão finita. / [en] The transformations f and F(different) appeared associated to the mean-square stability problem for infinite dimensional discrete bilinear systems evolving in a separable Hilbert space, being originally defined as infinite series in the Banach algebra of bounded linear operators on the Hilbert space where the system evolves. The present work starts with a previously defined sufficient stability condition, expressed by assumptions on the spectral radiuses of the mentioned transformations - both strictly less than one- and from the already known fact that the condition being partially fulfilled, that is, one of the spectral radiuses less than one, does not imply that it be so completely. Thus one poses a first question: in which cases does one have such an implication? The study is then developed on a simplification of the conditions from which it arose: both F and F(different) are taken as sums of only terms, and the initial question becomes the search for cases in which the equality betweem the spectral radiuses of F and F(different) occurs. More precisely, the terms that compose F and F(different) are products of operators in the above mentioned algebra, so that the behaviour of the spectral radiuses of F and F (different) is analysed by placing those operators in specific classes in that algebra. Under these assumptions, results related to the classes of self-adjoint, unitary, normal, isometries and subnormal operators are presented, as well as result referring to weighted shifts. Besides, a general result related to finite-dimensional spaces is also presented.

We introduce localization and sheaves to define projective schemes, and in particular the projective n-space. Afterwards, we define closed subschemes of projective space and show that they arise from quotients of graded rings by homogeneous ideals. We then define the Hilbert function and Hilbert polynomial to determine several invariants of closed subschemes of projective space: their degree, dimension, and arithmetic genus. Finally, we provide numerous examples with explicit computations, finding the invariants of hypersurfaces, curves, the twisted cubic and more.

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