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We study physical systems composed of at least two immiscible fluids occu- pying different regions of space, the so-called phases. Flows of such multi-phase fluids are frequently met in industrial applications which rises the need for their numerical simulations. In particular, the research conducted herein is motivated by the need to model the float glass forming process. The systems of interest are in the present contribution mathematically described in the framework of the so-called diffuse interface models. The thesis consists of two parts. In the modelling part, we first derive standard diffuse interface models and their generalized variants based on the concept of multi-component continuous medium and its careful thermodynamic analysis. We provide a critical assessment of assumptions that lead to different models for a given system. Our newly formulated class of generalized models of Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-Fourier (CHNSF) type is applicable in a non-isothermal setting. Each model belonging to that class describes a mixture of separable, heat conducting Newtonian fluids that are either compressible or incompressible. The models capture capillary and thermal effects in thin interfacial regions where the fluids actually mix. In the computational part, we focus on the development of an efficient and robust...

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects numériques et mathématiques liés à la simulation d'écoulements incompressibles triphasiques à l'aide d'un modèle à interfaces diffuses de type Cahn-Hilliard/Navier-Stokes. La discrétisation spatiale est effectuée par éléments finis. La présence d'échelles très différentes dans le système suggère l'utilisation d'une méthode de raffinement local adaptatif. La procédure mise en place permet de tenir compte implicitement des non conformités des maillages générés, pour produire in fine des espaces d'approximation conformes. Nous montrons, en outre, qu'il est possible d'exploiter cette méthode pour construire des préconditionneurs multigrilles. Concernant la discrétisation en temps, notre étude a commencé par celle du système de Cahn-Hilliard. Pour remédier aux problèmes de convergence de la méthode de Newton utilisée pour résoudre ce système (non linéaire), nous proposons un schéma semi-implicite permettant de garantir la décroissance de l'énergie. Nous montrons l'existence et la convergence des solutions discrètes. Nous poursuivons ensuite cette étude en donnant une discrétisation en temps inconditionnellement stable du modèle complet Cahn-Hilliard/Navier-Stokes ne couplant pas fortement les deux systèmes. Nous montrons l'existence des solutions discrètes et, dans le cas où les trois fluides ont la même densité, nous montrons leur convergence. Nous étudions, pour terminer cette partie, diverses problématiques liées à l'utilisation de la méthode de projection incrémentale. Enfin, la dernière partie présente plusieurs exemples de simulations numériques, diphasiques et triphasiques, en deux et trois dimensions.

Ce travail de thèse affronte l'étude de divers problèmes surgissant de la mécanique du milieu continu. La première partie du manuscrit est dédiée à l'étude mathématique de certains modèles à interfaces diffuses qui décrivent la séparation de phase de mixtures binaires (par exemple, le grossissement de la taille des grains dans un alliage ou bien l'écoulement des fluides polymériques bistables). La seconde partie examine le fonctionnement de certains dispositifs électroniques, comme les jonctions p-n, sous l'effet de déformations mécaniques. La troisième partie présente un model pour la prédiction de la durée de vie pour des métaux polycristallins en régime de chargement cyclique. Un modèle typique de séparation de phase est le modèle H, qui est constitué d'une équation de Cahn-Hilliard convective couplée avec le système de Navier-Stokes par la force dite de Korteweg. On considère des variations de ce modèle qui tiennent compte, par exemple, d'une viscosité du fluide dépendante du cisaillement ou de constituants réagissant chimiquement entre eux. Tout d'abord, on étudie des questions de base comme l'existence, l'unicité et la régularité des solutions. Par la suite, on analyse le comportement asymptotique des systèmes dynamiques infini-dimensionnels générés par les systèmes étudiés. Plus précisément, on démontre l'existence d'attracteurs globaux, d'attracteurs exponentiels, d'attracteurs pullback et d'attracteurs de trajectoires pour les systèmes dynamique correspondants. On discute aussi la robustesse de ces ensembles invariants par rapport à des perturbations de certains paramètres du modèle. Nos résultats constituent une extension naturelle des propriétés connues pour le cas de l'écoulement d'un fluide simple qui représentent le cas de référence pour toute nouvelle technique proposée en littérature. Enfin, comme description plus précise des phénomènes de séparation de phase, on considère une équation de Cahn-Hilliard modélisant des interactions non-locales à travers un noyau singulier. En ce cas, des résultats d'existence et de régularité sont donnés. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude des effets de couplage entre les propriétés mécaniques et électroniques des semi-conducteurs. La modélisation des dispositifs électroniques choisie se base sur le modèle de diffusion et transport pour les électrons et les trous. Le dispositif est décrit comme un continu macroscopique standard avec, pour objectif, la compréhension des effets des déformations sur les propriétés électroniques du semi-conducteur et, en particulier, sur la caractéristique d'une jonction p-n. Ceci permet de proposer une formulation variationelle du système classique de diffusion et transport et de dériver un modèle thermodynamiquement consistent pour les effets électromécaniques couplés. Les déformations ont des effets en particulier sur les coefficients de mobilité et sur le terme de génération et recombinaison des porteurs. Deux solutions approximées sont étudiées : une développé à partir d'hypothèses physiques et l'autre qui comporte une expansion asymptotique. Ces résultats constituent une étape préalable pour la compréhension des dispositifs électroniques flexibles. La dernière partie de la thèse présente une application de la théorie des systèmes dynamiques à la prédiction de la durée de vie des métaux polycristallins sous chargement périodique pour grand nombre de cycle de chargement. Un nouveaux model est proposé et ses prévisions comparées avec les résultats connus dans la littérature.