Dans cette thèse, on étudie l'existence, l'unicité et la régularité des solutionsd'équation de type Cahn-Hilliard ainsi que son comportement asymptotiqueen termes d'existence de l'attracteur global et d'un attracteur exponentiel. Cetteéquation est considérée dans un domaine borné et régulier pour différents types denonlinéarités et de conditions au bord.D'abord, on étudie l'équation avec des conditions de type Dirichlet sur le bord etune nonlinéarité régulière. Après, on considère une perturbation du problème et ondémontre l'existence d'une famille robuste d'attracteurs exponentiels lorsque ε tendvers 0.Ensuite, on étudie l'équation avec des conditions dynamiques sur le bord. On considèretout d'abord une nonlinéarité régulière et on donne une étude théorique etnumérique. Après, on illustre ces résultats par des simulations numériques en dimensiondeux d'espace qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres.On termine par une étude du modèle considéré avec une nonlinéarité singulière quel'on approche par des fonctions régulières et on introduit une notion de solutionappropriée. / This thesis is devoted to the study of the existence, uniqueness andregularity of solutions for a Cahn-Hilliard type equation, as well as the asymptoticbehavior in terms of existence of the global attractor and of an exponential attractor.This equation is considered in a bounded and smooth domain under variousassumptions on the nonlinear terms and with different boundary conditions.We start by studying the equation with Dirichlet boundary conditions and a regularnonlinearity. Then, we consider a perturbation of the problem and we prove theexistence of a robust family of exponential attractors as ε tends to 0.For the equation endowed with dynamic boundary conditions, we first consider aregular nonlinearity and we treat the theoretical and numerical analysis. Then, weillustrate the results by numerical simulations in two space dimension which allow usto study the influence of different parameters. Finally, we treat the problem consideredwith a singular nonlinearity which is approximated by regular functions andwe give a suitable notion of solutions.

Die vorliegende Doktorarbeit befasst sich mit der optimalen Steuerung von einem Cahn–Hilliard–Navier–Stokes-System mit variablen Flüssigkeitsdichten. Dabei konzentriert sie sich auf das Doppelhindernispotential, was zu einem optimalen Steuerungsproblem einer Gruppe von gekoppelten Systemen, welche eine Variationsungleichung vierter Ordnung sowie eine Navier–Stokes-Gleichung beinhalten, führt. Eine geeignete Zeitdiskretisierung wird präsentiert und zugehörige Energieabschätzungen werden bewiesen. Die Existenz von Lösungen zum primalen System und von optimalen Steuerungen für das ursprüngliche Problem sowie für eine Gruppe von regularisierten Problemen wird etabliert. Die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für die regularisierten Probleme werden hergeleitet. Mittels eines Grenzübergangs in Bezug auf den Regularisierungsparameter werden Stationaritätsbedingungen für das ursprüngliche Problem etabliert, welche einer Form von C-Stationarität im Funktionenraum entsprechen. Weiterhin wird ein numerischer Lösungsalgorithmus für das Steuerungsproblem basierend auf einer Strafmethode entwickelt, welche die Moreau–Yosida-artigen Approximationen des Doppelhindernispotentials einschließt. In diesem Zusammenhang wird ein dual-gewichteter Residuenansatz für zielorientierte adaptive finite Elemente präsentiert, welcher auf dem Konzept der C-Stationarität beruht. Die numerische Realisierung des adaptiven Konzepts und entsprechende numerische Testergebnisse werden beschrieben. Die Lipschitzstetigkeit des Steuerungs-Zustandsoperators des zugehörigen instantanen Steuerungsproblems wird bewiesen und dessen Richtungsableitung wird charakterisiert. Starke Stationaritätsbedingungen für dieses Problem werden durch die Anwendung einer Technick von Mignot und Puel hergeleitet. Basierend auf der primalen Form der Bouligard-Ableitung wird ein impliziter numerischer Löser entwickelt, dessen Implentierung erläutert und anhand von numerischen Resultaten illustriert wird. / This thesis is concerned with the optimal control of a Cahn–Hilliard–Navier–Stokes system with variable fluid densities. It focuses on the double-obstacle potential, which yields an optimal control problem for a family of coupled systems in each time instant of a variational inequality of fourth order and the Navier–Stokes equation. A suitable time-discretization is presented and associated energy estimates are proven. The existence of solutions to the primal system and of optimal controls is established for the original problem as well as for a family of regularized problems. The consistency of these approximations is shown and first order optimality conditions for the regularized problems are derived. Through a limit process with respect to the regularization parameter, a stationarity system for the original problem is established, which corresponds to a function space version of ε-almost C-stationarity. Moreover, a numerical solution algorithm for the optimal control problem is developed based on a penalization method involving the Moreau–Yosida type approximations of the double-obstacle potential. A dual-weighted residual approach for goal-oriented adaptive finite elements is presented, which is based on the concept of C-stationarity. The overall error representation depends on dual weighted primal residuals and vice versa, supplemented by additional terms corresponding to the complementarity mismatch. The numerical realization of the adaptive concept is described and a report on numerical tests is provided. The Lipschitz continuity of the control-to-state operator of the corresponding instantaneous control problem is verified and its directional derivative is characterized. Strong stationarity conditions for the instantaneous control problem are derived. Utilizing the primal notion of B-differentiability, a bundle-free implicit programming method is developed. Details on the numerical implementation are given and numerical results are included.

In this thesis, we have used a phase field model for studying the effect of atomic mobility inside the precipitate phase on coarsening behaviour in two dimensional (2D) systems. In all the available coarsening theories, the diffusivity inside the precipitate phase is not explicitly taken into account; this would imply that there is no chemical potential gradient inside the precipitate. This assumption is valid if (a) the atomic mobility inside the precipitate is much higher than that in the matrix, or (b) the precipitate volume fraction is small (i.e. the interparticle spacing is far higher than the average particle size). We undertook this study to evaluate the potential effect of diffusivity in the precipitate on coarsening in situations where conditions (a) and (b), above, do not hold, by studying systems with moderate volume fractions (20% and 30%) and with low atomic mobilities in the precipitate. In our study, we have fixed the atomic mobility in the matrix at a constant value. We have used the well known Cahn-Hilliard model in which the microstructure is described in terms of a composition field variable. The evolution of microstructure is studied by numerically solving a non-classical diffusion equation known as the Cahn-Hilliard equation. We have used a semi-implicit Fourier spectral technique for solving the CH equation using periodic boundary conditions. The coarsening behaviour is tracked and analyzed using number density of particles, their average size and their size distribution. The main conclusion from this study is that, contrary to expectations, the atomic mobility in the precipitate phase has only a small effect on coarsening behavior. Specifically, with decreasing atomic mobility in the precipitate phase, we report a small increase in the number density, a slightly wider size distribution and a slightly smaller coarsening rate. We also add that these effects are too small to allow experimental verification. These results indicate that the need for chemical potential equilibration within each precipitate is not an important factor during coarsening.

The purpose of this research was to explore the work of Dr. Asa Grant Hilliard, III (Nana Baffour Amankwatia, II) in three areas: (1) traditional African education and socialization, (2) responsibilities of African teachers, and (3) the need for inter/multicultural teacher education programs. It was also the purpose of this research to explore my African identity development and transformation as I interacted with, studied, and read works by Dr. Hilliard. Data used in the study include a selection of works by Dr. Hilliard, fieldnotes, fieldletters, original poetry and essays, and memory data (St. Pierre, 1997). Qualitative content analysis and autoethnography were combined to present an autoethnographic content analysis (ACA) of Dr. Hilliard’s work. The ACA method is unique to this study and provided a reflexive analysis of documents (Altheide, 1987) complimented by recognition of the events that contributed to my African identification. Findings from the study revealed several major themes in Dr. Hilliard’s work: (a) African socialization to challenge the MAAFA, (b) traditional African education for all children, (c) African teachers as responsible teachers, and (d) teacher education for inter/multicultural perspectives. The final product is an amalgamation of academic and literary writing, and includes poems, vignettes, and autobiographical narratives.

Universiẗat, Diss., 2002--Bonn.

Techn. Universiẗat, Diss., 2003--Dresden.

no / In recent years there have been major advances in our understanding of the mechanisms of phase separation in polymer and copolymer blends, to the extent that good control of phase-separated morphology is a real possibility. Many groups are studying the computational simulation of polymer phase separation. In the light of this, we are exploring methods which will give insight into the mechanical response of multiphase polymers. We present preliminary results from a process which allows the production of a two-dimensional finite-element mesh from the contouring of simulated composition data. We examine the stretching of two-phase structures obtained from a simulation of linear Cahn-Hilliard spinodal phase separation. In the simulations, we assume one phase to be hard, and the other soft, such that the shear modulus ratio ... is large (... ). We indicate the effect of varying composition on the material modulus and on the distribution of strains through the stretched material. We also examine in some detail the symmetric structures obtained at 50% composition, in which both phases are at a percolation threshold. Inspired by simulation results for the deformation of these structures, we construct a "scaling" theory, which reproduces the main features of the deformation. Of particular interest is the emergence of a lengthscale, below which the deformation is non-affine. This length is proportional to ... , and hence is still quite small for all reasonable values of this ratio. The same theory predicts that the effective composite modulus scales also as ..., which is supported by the simulations.

Ziel dieser Arbeit ist es zwei verschiedene Klassen von Systemen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu homogenisieren, und zwar Reaktions-Diffusions-Systeme mit verschiedenen Diffusionslängenskalen und Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard. Wir betrachten parabolische Gleichungen mit periodischen Koeffizienten, wobei die Periode dem Verhältnis der charakteristischen mikroskopischen zu der makroskopische Längenskala entspricht. Unser Ziel ist es, effektive Gleichungen rigoros herzuleiten, um die betrachteten Systeme besser zu verstehen und den Simulationsaufwand zu minimieren. Wir suchen also einen Konvergenzbegriff, mit dem die Lösung des Ausgangsmodells im Limes der Periode gegen Null gegen die Lösung des effektiven Modells konvergiert. Um die periodische Mikrostruktur und die verschiedenen Diffusivitäten zu erfassen, verwenden wir die Zwei-Skalen Konvergenz mittels periodischer Auffaltung. Der erste Teil der Arbeit handelt von Reaktions-Diffusions-Systemen, in denen einige Spezies mit der charakteristischen Diffusionslänge der makroskopischen Skala und andere mit der mikroskopischen diffundieren. Die verschiedenen Diffusivitäten führen zu einem Verlust der Kompaktheit, sodass wir nicht direkt den Grenzwert der nichtlinearen Terme bestimmen können. Wir beweisen mittels starker Zwei-Skalen Konvergenz, dass das effektive Modell ein zwei-skaliges Modell ist, welches von der makroskopischen und der mikroskopischen Skale abhängt. Unsere Methode erlaubt es uns, explizite Raten für die Konvergenz der Lösungen zu bestimmen. Im zweiten Teil betrachten wir Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard, welche ortsabhängige Mobilitätskoeffizienten und allgemeine Potentiale beinhalten. Wir beweisen evolutionäre Gamma-Konvergenz der zugehörigen Gradientensysteme basierend auf der Gamma-Konvergenz der Energien und der Dissipationspotentiale. / The aim of this thesis is to derive homogenization results for two different types of systems of nonlinear parabolic equations, namely reaction-diffusion systems involving different diffusion length scales and Cahn-Hilliard-type equations. The coefficient functions of the considered parabolic equations are periodically oscillating with a period which is proportional to the ratio between the charactersitic microscopic and macroscopic length scales. In view of greater structural insight and less computational effort, it is our aim to rigorously derive effective equations as the period tends to zero such that solutions of the original model converge to solutions of the effective model. To account for the periodic microstructure as well as for the different diffusion length scales, we employ the method of two-scale convergence via periodic unfolding. In the first part of the thesis, we consider reaction-diffusion systems, where for some species the diffusion length scale is of order of the macroscopic length scale and for other species it is of order of the microscopic one. Based on the notion of strong two-scale convergence, we prove that the effective model is a two-scale reaction-diffusion system depending on the macroscopic and the microscopic scale. Our approach supplies explicit rates for the convergence of the solution. In the second part, we consider Cahn-Hilliard-type equations with position-dependent mobilities and general potentials. It is well-known that the classical Cahn-Hilliard equation admits a gradient structure. Based on the Gamma-convergence of the energies and the dissipation potentials, we prove evolutionary Gamma-convergence, for the associated gradient system such that we obtain in the limit of vanishing periods a Cahn-Hilliard equation with homogenized coefficients.

Cette thèse est une étude théorique d’un système d’équations de Cahn-Hilliard/Allen-Cahn couplées qui représente un mélange binaire en séparation de phase. Le but principal de l’étude est le comportement asymptotique des solutions en termes d’attracteurs exponentiels/globaux. Pour cette raison, l’existence et l’unicité de la solution sont étudiées tout d’abord. Une des principales applications de ce modèle d’équations est la cristallographie.Dans la première partie de la thèse, on examine le modèle proposé avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial : on réussit à trouver un attracteur exponentiel et par conséquence un attracteur global de dimension finie. Une non linéarité singulière de type logarithmique est ensuite prise dans la deuxième partie, cette fonction étant approchée par une suite de fonctions régulières et l’existence d’un attracteur global est démontrée sous des conditions au bord de type Dirichlet.Enfin, dans la dernière partie, le système est couplé avec une équation pour la température: suivant la loi de Fourrier premièrement, puis la loi de type III de la thermo-élasticité. Dans les deux cas, la dynamique de l’équation est étudiée et un attracteur exponentiel est trouvé malgré la difficulté créée par l’équation hyperbolique dans le deuxième cas. / This thesis is a theoretical study of a coupled system of equations of Cahn-Hilliard and Allen-Cahn that represents phase separation of binary alloys. The main goal of this study is to investigate the asymptotic behavior of the solution in terms of exponential/global attractors. For this reason, the existence and unicity of the solution are first studied. One of the most important applications of this proposed model of equations is crystallography. In the first part of the thesis, the system is studied with boundary conditions of Dirichlet type and a regular nonlinearity (a polynomial). There, we prove the existence of an exponential attractor that leads to the existence of a global attractor of finite dimension. Then, a singular nonlinearity (a logarithmic potential) is considered in the second part. This function is approximated by a sequence of regular ones and a global attractor is found.At the end, the system of equations is coupled with temperature: with the Fourrier law in the first case, then with the type III law (in the context of thermoelasticity) in the second case. The dynamics of the equations are studied and the existence of an exponential attractor is obtained.

Kolloidpartikel die von zwei nicht mischbaren Fluiden benetzt werden, tendieren dazu sich an der fluiden Grenzfläche aufzuhalten um die Oberflächenspannung zu minimieren. Bei genügender Anzahl solcher Kolloide werden diese zusammengedrückt und lassen die fluide Grenzfläche erstarren. Das gesamte System aus Fluiden und Kolloiden bildet dann eine spezielle Emulsion mit interessanten Eigenschaften. In dieser Arbeit wird ein kontinuum Model für solche Systeme entwickelt, basierend auf den Prinzipien der Massenerhaltung und der themodynamischen Konsistenz. Dabei wird die makroskopische Zwei-Phasen-Strömung durch eine Navier-Stokes Cahn-Hilliard Gleichung modelliert und die mikroskopischen Partikel an der fluiden Grenzfläche durch einen Phase-Field-Crystal Ansatz beschrieben. Zur Evaluation des verwendeten Strömungsmodells wird ein Test verschiedener Navier-Stokes Cahn-Hilliard Modelle anhand eines bekannten Benchmark Szenarios durchgeführt. Die Ergebnisse werden mit denen von anderen Methoden zur Simulation von Zwei-Phasen-Strömungen verglichen. Desweiteren wird eine neue Methode zur Simulation von Zwei-Phasen-Strömungen in komplexen Gebieten vorgestellt. Dabei wird die komplexe Geometrie implizit durch eine Phasenfeldvariable beschrieben, welche die charakteristische Funktion des Gebietes approximiert. Die Strömungsgleichungen werden dementsprechend so umformuliert, dass sie in einem größeren und einfacheren Gebiet gelten, wobei die Randbedingungen implizit durch zusätzliche Quellterme eingebracht werden. Zur Einarbeitung der Oberflächenkolloide in das Strömungsmodell wird schließlich die Variation der freien Energie des Gesamtsystems betrachtet. Dabei wird die Energie der Partikel durch die Phase-Field-Crystal Energie approximiert und die Energie der Oberfläche durch die Ginzburg-Landau Energie. Eine Variation der Gesamtenergie liefert dann die Phase-Field-Crystal Gleichung und die Navier-Stokes Cahn-Hilliard Gleichungen mit zusätzlichen elastischen Spannunngen. Zur Validierung des Ansatzes wird auch eine sharp interface Version der Gleichungen hergeleitet und mit der zuvor hergeleiteten diffuse interface Version abgeglichen. Die Diskretisierung der erhaltenen Gleichungen erfolgt durch Finiten Elemente in Kombination mit einem semi-impliziten Euler Verfahren. Durch numerische Simulationen wird die Anwendbarkeit des Modells gezeigt und bestätigt, dass die oberflächenaktiven Kolloide die fluide Grenzfläche hinreichend steif machen können um externen Kräften entgegenzuwirken und das gesamte System zu stabilisieren. / Colloid particles that are partially wetted by two immiscible fluids can become confined to fluidfluid interfaces. At sufficiently high volume fractions, the colloids may jam and the interface may crystallize. The fluids together with the interfacial colloids compose an emulsion with interesting new properties and offer an important route to new soft materials. Based on the principles of mass conservation and thermodynamic consistency, we develop a continuum model for such systems which combines a Cahn-Hilliard-Navier-Stokes model for the macroscopic two-phase fluid system with a surface Phase-Field-Crystal model for the microscopic colloidal particles along the interface. We begin with validating the used flow model by testing different diffuse interface models on a benchmark configuration for a two-dimensional rising bubble and compare the results with reference solutions obtained by other two-phase flow models. Furthermore, we present a new method for simulating two-phase flows in complex geometries, taking into account contact lines separating immiscible incompressible components. In this approach, the complex geometry is described implicitly by introducing a new phase-field variable, which is a smooth approximation of the characteristic function of the complex domain. The fluid and component concentration equations are reformulated and solved in larger regular domain with the boundary conditions being implicitly modeled using source terms. Finally, we derive the thermodynamically consistent diffuse interface model for two-phase flow with interfacial particles by taking into account the surface energy and the energy associated with surface colloids from the surface PFC model. The resulting governing equations are the phase field crystal equations and Navier-Stokes Cahn-Hilliard equations with an additional elastic stress. To validate our approach, we derive a sharp interface model and show agreement with the diffuse interface model. We demonstrate the feasibility of the model and present numerical simulations that confirm the ability of the colloids to make the interface sufficiently rigid to resist external forces and to stabilize interfaces for long times.