A preconditioner to improve the convergence properties of Krylov subspace solvers is derived and analyzed in this work. This method is adapted to linear systems arising from a finite-element discretization of a phase-field crystal equation.

La méthode d'élimination sur le terrain est devenu ces dernières années la méthode de choix pour modéliser la formation des motifs de la microstructure lors de la solidification. Pour monocristaux, accord quantitatif avec des expériences et des solutions analytiques ont été obtenues. La modélisation des polycristaux, qui sont composées de nombreux grains d'une même phase thermodynamique, mais différentes orientations du réseau cristallin, est beaucoup moins avancée. Deux types de modèles ont été proposés: les modèles multi-phase-champ d'utiliser un champ de phase pour chaque grain, et les modèles d'orientation-champ d'utiliser un petit nombre de domaines, mais ont des termes non analytiques dans leur énergie libre fonctionnel. Ce travail examine les divers aspects de la phase de modélisation du champ de polycristaux et est divisé en trois parties. Dans la première, une nouvelle possibilité de décrire l'orientation locale est explorée, en utilisant un paramètre d'ordre tensoriel qui représente automatiquement la symétrie locale du système. Cette approche est testée en phase de développement d'un modèle de champ pour la transition de phase nématique-isotrope dans les cristaux liquides. Le modèle est appliqué pour simuler la solidification directionnelle''''d'un cristal liquide. L'effet du couplage entre l'orientation et la forme nématique interface est étudiée. Les résultats de simulation pour la stabilité d'une interface plane en bon accord avec une analyse de stabilité généralisée, qui tient compte d'une condition nouvelle d'ancrage à l'interface: l'orientation à l'interface nématique est le résultat de l'interaction entre la déformation en vrac et l'anisotropie d'interface. La forme et la stabilité des cellules bien développé est également influencée par cet effet. Numériquement, l'utilisation d'un paramètre d'ordre tensoriel simplifie le traitement des symétries dans le système de manière significative, tandis que les équations de mouvements deviennent beaucoup plus compliquées. Dans la deuxième partie, les joints de grains sont étudiés sur une échelle plus petite longueur, en utilisant un modèle de cristal phase de terrain, où les propriétés élastiques et des dislocations apparaissent naturellement. Avec ce modèle, l'ordre local dans les interfaces est examiné et la stabilité des films liquides entre deux grains solides est étudiée ci-dessous le point de fusion. Cette situation peut être décrite par un potentiel d'interaction entre les deux interfaces solide-liquide, qui est extraite numériquement. Les résultats sont comparés avec un modèle phénoménologique qui se trouve à tenir pour les joints de grains à forte inclinaison, où les dislocations se chevauchent. Pour les joints de grains à faible angle, autour de préfusion dislocation ainsi qu'une brisure de symétrie (paires de dislocations forme) est observée. En conséquence, le potentiel d'interaction devient nonmonotonous, et se compose d'une attraction à longue portée et une répulsion à courte portée. Dans la troisième partie, un nouveau modèle de phase sur le terrain est développé en utilisant une variable d'angle pour décrire l'orientation cristalline. Contrairement aux modèles déjà existants, l'énergie libre est construit sans un terme proportionnel au module du gradient du champ de l'orientation. Au lieu de cela, le gradient de la norme au carré est utilisé, mais il est couplé à la phase du champ avec une fonction de couplage singulier. Diverses simulations référence sont réalisés afin de tester le modèle. Il se trouve qu'elle présente plusieurs artefacts tels que la rotation et le mouvement du grain parasite interface, mais ces effets sont extrêmement petites, telles que le modèle donne des résultats satisfaisants que si la surfusion est très faible. Enfin, les problèmes observés sont analysés et des moyens d'obtenir une meilleure description de la dynamique de l'angle de champ sont discutées.

<p>A framework is described using the phase-field crystal model for the study of premelting in binary alloys through short-range interfacial interactions that arise from the structure of grain boundaries. A nonconserved model A formulation of PFC was used to model grain boundaries in two dimensions for several different angles of misorientation: 27.8, 21.8, 17.8, 13.2, and 5 degrees. The character of the premelting transition, whereby a liquid-like film develops at a defect at temperatures below the melting point, changed with misorientation angle. An excess mass over the grain boundary can be defined as an analog to the liquid layer thickness due to premelting. It is found that low-angle grain boundaries remain at a relatively constant value of excess mass, and indeed can remain solid above the melting point. High-angle grain boundaries have a logarithmically increasing width that diverges at the melting point. A width-dependent energy can be defined called the disjoining potential that takes into account structure, interfacial and bulk energies to describe the liquid-layer width. The form of this disjoinging potential was found to be exponential and monotonically decreased as width increased for high angles and produced an attractive minimum for low angles. The results of this work were compared to a pure material from a previous study.</p> / Master of Applied Science (MASc)

Kolloidpartikel die von zwei nicht mischbaren Fluiden benetzt werden, tendieren dazu sich an der fluiden Grenzfläche aufzuhalten um die Oberflächenspannung zu minimieren. Bei genügender Anzahl solcher Kolloide werden diese zusammengedrückt und lassen die fluide Grenzfläche erstarren. Das gesamte System aus Fluiden und Kolloiden bildet dann eine spezielle Emulsion mit interessanten Eigenschaften. In dieser Arbeit wird ein kontinuum Model für solche Systeme entwickelt, basierend auf den Prinzipien der Massenerhaltung und der themodynamischen Konsistenz. Dabei wird die makroskopische Zwei-Phasen-Strömung durch eine Navier-Stokes Cahn-Hilliard Gleichung modelliert und die mikroskopischen Partikel an der fluiden Grenzfläche durch einen Phase-Field-Crystal Ansatz beschrieben. Zur Evaluation des verwendeten Strömungsmodells wird ein Test verschiedener Navier-Stokes Cahn-Hilliard Modelle anhand eines bekannten Benchmark Szenarios durchgeführt. Die Ergebnisse werden mit denen von anderen Methoden zur Simulation von Zwei-Phasen-Strömungen verglichen. Desweiteren wird eine neue Methode zur Simulation von Zwei-Phasen-Strömungen in komplexen Gebieten vorgestellt. Dabei wird die komplexe Geometrie implizit durch eine Phasenfeldvariable beschrieben, welche die charakteristische Funktion des Gebietes approximiert. Die Strömungsgleichungen werden dementsprechend so umformuliert, dass sie in einem größeren und einfacheren Gebiet gelten, wobei die Randbedingungen implizit durch zusätzliche Quellterme eingebracht werden. Zur Einarbeitung der Oberflächenkolloide in das Strömungsmodell wird schließlich die Variation der freien Energie des Gesamtsystems betrachtet. Dabei wird die Energie der Partikel durch die Phase-Field-Crystal Energie approximiert und die Energie der Oberfläche durch die Ginzburg-Landau Energie. Eine Variation der Gesamtenergie liefert dann die Phase-Field-Crystal Gleichung und die Navier-Stokes Cahn-Hilliard Gleichungen mit zusätzlichen elastischen Spannunngen. Zur Validierung des Ansatzes wird auch eine sharp interface Version der Gleichungen hergeleitet und mit der zuvor hergeleiteten diffuse interface Version abgeglichen. Die Diskretisierung der erhaltenen Gleichungen erfolgt durch Finiten Elemente in Kombination mit einem semi-impliziten Euler Verfahren. Durch numerische Simulationen wird die Anwendbarkeit des Modells gezeigt und bestätigt, dass die oberflächenaktiven Kolloide die fluide Grenzfläche hinreichend steif machen können um externen Kräften entgegenzuwirken und das gesamte System zu stabilisieren. / Colloid particles that are partially wetted by two immiscible fluids can become confined to fluidfluid interfaces. At sufficiently high volume fractions, the colloids may jam and the interface may crystallize. The fluids together with the interfacial colloids compose an emulsion with interesting new properties and offer an important route to new soft materials. Based on the principles of mass conservation and thermodynamic consistency, we develop a continuum model for such systems which combines a Cahn-Hilliard-Navier-Stokes model for the macroscopic two-phase fluid system with a surface Phase-Field-Crystal model for the microscopic colloidal particles along the interface. We begin with validating the used flow model by testing different diffuse interface models on a benchmark configuration for a two-dimensional rising bubble and compare the results with reference solutions obtained by other two-phase flow models. Furthermore, we present a new method for simulating two-phase flows in complex geometries, taking into account contact lines separating immiscible incompressible components. In this approach, the complex geometry is described implicitly by introducing a new phase-field variable, which is a smooth approximation of the characteristic function of the complex domain. The fluid and component concentration equations are reformulated and solved in larger regular domain with the boundary conditions being implicitly modeled using source terms. Finally, we derive the thermodynamically consistent diffuse interface model for two-phase flow with interfacial particles by taking into account the surface energy and the energy associated with surface colloids from the surface PFC model. The resulting governing equations are the phase field crystal equations and Navier-Stokes Cahn-Hilliard equations with an additional elastic stress. To validate our approach, we derive a sharp interface model and show agreement with the diffuse interface model. We demonstrate the feasibility of the model and present numerical simulations that confirm the ability of the colloids to make the interface sufficiently rigid to resist external forces and to stabilize interfaces for long times.

A preconditioner to improve the convergence properties of Krylov subspace solvers is derived and analyzed in this work. This method is adapted to linear systems arising from a finite-element discretization of a phase-field crystal equation.

Kolloidpartikel die von zwei nicht mischbaren Fluiden benetzt werden, tendieren dazu sich an der fluiden Grenzfläche aufzuhalten um die Oberflächenspannung zu minimieren. Bei genügender Anzahl solcher Kolloide werden diese zusammengedrückt und lassen die fluide Grenzfläche erstarren. Das gesamte System aus Fluiden und Kolloiden bildet dann eine spezielle Emulsion mit interessanten Eigenschaften. In dieser Arbeit wird ein kontinuum Model für solche Systeme entwickelt, basierend auf den Prinzipien der Massenerhaltung und der themodynamischen Konsistenz. Dabei wird die makroskopische Zwei-Phasen-Strömung durch eine Navier-Stokes Cahn-Hilliard Gleichung modelliert und die mikroskopischen Partikel an der fluiden Grenzfläche durch einen Phase-Field-Crystal Ansatz beschrieben. Zur Evaluation des verwendeten Strömungsmodells wird ein Test verschiedener Navier-Stokes Cahn-Hilliard Modelle anhand eines bekannten Benchmark Szenarios durchgeführt. Die Ergebnisse werden mit denen von anderen Methoden zur Simulation von Zwei-Phasen-Strömungen verglichen. Desweiteren wird eine neue Methode zur Simulation von Zwei-Phasen-Strömungen in komplexen Gebieten vorgestellt. Dabei wird die komplexe Geometrie implizit durch eine Phasenfeldvariable beschrieben, welche die charakteristische Funktion des Gebietes approximiert. Die Strömungsgleichungen werden dementsprechend so umformuliert, dass sie in einem größeren und einfacheren Gebiet gelten, wobei die Randbedingungen implizit durch zusätzliche Quellterme eingebracht werden. Zur Einarbeitung der Oberflächenkolloide in das Strömungsmodell wird schließlich die Variation der freien Energie des Gesamtsystems betrachtet. Dabei wird die Energie der Partikel durch die Phase-Field-Crystal Energie approximiert und die Energie der Oberfläche durch die Ginzburg-Landau Energie. Eine Variation der Gesamtenergie liefert dann die Phase-Field-Crystal Gleichung und die Navier-Stokes Cahn-Hilliard Gleichungen mit zusätzlichen elastischen Spannunngen. Zur Validierung des Ansatzes wird auch eine sharp interface Version der Gleichungen hergeleitet und mit der zuvor hergeleiteten diffuse interface Version abgeglichen. Die Diskretisierung der erhaltenen Gleichungen erfolgt durch Finiten Elemente in Kombination mit einem semi-impliziten Euler Verfahren. Durch numerische Simulationen wird die Anwendbarkeit des Modells gezeigt und bestätigt, dass die oberflächenaktiven Kolloide die fluide Grenzfläche hinreichend steif machen können um externen Kräften entgegenzuwirken und das gesamte System zu stabilisieren. / Colloid particles that are partially wetted by two immiscible fluids can become confined to fluidfluid interfaces. At sufficiently high volume fractions, the colloids may jam and the interface may crystallize. The fluids together with the interfacial colloids compose an emulsion with interesting new properties and offer an important route to new soft materials. Based on the principles of mass conservation and thermodynamic consistency, we develop a continuum model for such systems which combines a Cahn-Hilliard-Navier-Stokes model for the macroscopic two-phase fluid system with a surface Phase-Field-Crystal model for the microscopic colloidal particles along the interface. We begin with validating the used flow model by testing different diffuse interface models on a benchmark configuration for a two-dimensional rising bubble and compare the results with reference solutions obtained by other two-phase flow models. Furthermore, we present a new method for simulating two-phase flows in complex geometries, taking into account contact lines separating immiscible incompressible components. In this approach, the complex geometry is described implicitly by introducing a new phase-field variable, which is a smooth approximation of the characteristic function of the complex domain. The fluid and component concentration equations are reformulated and solved in larger regular domain with the boundary conditions being implicitly modeled using source terms. Finally, we derive the thermodynamically consistent diffuse interface model for two-phase flow with interfacial particles by taking into account the surface energy and the energy associated with surface colloids from the surface PFC model. The resulting governing equations are the phase field crystal equations and Navier-Stokes Cahn-Hilliard equations with an additional elastic stress. To validate our approach, we derive a sharp interface model and show agreement with the diffuse interface model. We demonstrate the feasibility of the model and present numerical simulations that confirm the ability of the colloids to make the interface sufficiently rigid to resist external forces and to stabilize interfaces for long times.

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude des solutions stationnaires, en dimension 1 d'espace, d'unmodèle de champs de phase cristallin introduit par Elder en 2002. Ainsi, nous prouvons, par la méthode deréduction de Lyapunov-Schmidt et la technique des multiparamètres, l'existence de courbes de solutionsbifurquantes stationnaires lorsque le noyau de l'opérateur linéarisé, au voisinage de la solution triviale estde dimension 2. Une parenthèse est ouverte pour la comparaison de l'énergie de la solution bifurquantepar rapport à celle la solution triviale. Aussi, grâce au principe de la stabilité réduite, nous fournissonsdes ensembles précis de valeurs des paramètres de bifurcation pour lesquelles les solutions obtenues sontstables ou instables. Ces résultats théoriques sont corroborés par plusieurs tests numériques.Par ailleurs, dans le cas classique du noyau unidimensionel, nous établissons des diagrammes de phasespermettant de comprendre les différentes orientations de courbes de solutions non triviales au voisinage dechaque point de bifurcation. / This thesis is devoted to the study of stationary solutions of a Phase Field Crystal model, in one spacedimension, introduced by Elder in 2002. Thus, we prove by the Lyapunov-Schmidt method of reductionand the multiparameter technique, the existence of the curves of bifurcating stationary solutions whenthe kernel of the linearized operator near to trivial solution is of two dimension. A parenthesis is open forcomparing the energies of the bifurcating solution and the trivial solution. Also, thanks to the principle ofreduced stability, we provide specific sets of parameter values for wich the obtained solutions are stable orunstable. These theoretical results are confirmed by several numerical tests.Moreover, in the classical case of a one dimensional kernel, we establish the phase diagrams allowing tounderstand the different orientations of non-trivial solutions curves near to of each bifurcation point.

Active matter describes systems that convert energy from their environment into directed motion. Therefore, these systems are in intrinsic nonequilibrium, unlike their passive counterparts. From a theoretical point of view, such active systems have been modeled by agent-based models, as well as hydrodynamic approaches, which allowed for the investigation of a wide range of observed collective phenomena characterizing active matter. In this thesis we develop a microscopic field-theoretical approach to describe generic properties of active systems. This description combines the phase field crystal model with a polar order parameter and a self-propulsion term. First, we validate this approach by reproducing results obtained with corresponding agent-based models, such as binary collisions, collective migration and vortex formation. We also perform a direct comparison between our model and a microscopic phase field description of active matter. Next, we use this continuum approach to simulate some larger active systems and to analyze the coarsening process in active crystals, as well as the mechanisms leading to mobile clusters. We show the generality of our approach by extending it to binary mixtures of interacting active and passive particles. Also in this case, we first validate the model by reproducing known results, such as enhanced crystallization via active doping and the suppression of collective migration in an active bath in the presence of fixed obstacles. Interestingly, for the regime of mobile passive particles in an active bath a laning state is found, which is characterized by an alignment of the active particles that is globally nematic, but polar within each lane. This state represents a theoretical prediction feasible to be validated experimentally. Finally, we explore the field of topological active matter. We develop an agent-based model to describe self-propelled particles on curved surfaces and study the complex spatiotemporal patterns that emerge. / Aktive Materie beschreibt Systeme, die Energie aus ihrer Umgebung in gerichtete bewegung umwandeln. Im Gegensatz zur passiven Materie befinden sich diese Systeme nie im physikalischen Gleichgewicht und offenbaren dadurch interessante physikalische Phänomene. Vom theoretischen Standpunkt her wurde aktive Materie bereits simuliert, typischerweise durch agenten-basierte Modelle oder hydrodynamische Ansätze, die es ermöglichen eine Vielzahl der auftretenden kollektiven Bewegungsprinzipien zu untersuchen. In dieser Doktorarbeit entwickeln wir einen mikroskopischen Kontinuumsansatz um die generischen Eigenschaften von aktiven Systemen zu untersuchen. Unsere Beschreibung kombiniert das Phasenfeld-Kristall Modell mit einem polaren Ordnungsparameter und einem Antriebsterm. Zuerst validieren wir den Ansatz durch Reproduktion bekannter Ergebnisse agenten-basierter Modelle, wie binäre Kollisionen, kollektive Bewegung und Wirbelformationen. Des Weiteren führen wir einen direkten Vergleich zwischen unserem Modell und einer mikroskopischen Phasenfeldbeschreibung aktiver Materie durch. Danach nutzen wir den kontinuierlichen Ansatz um große aktive Systeme zu simulieren und analysieren den Vergröberungsprozess in aktiven Kristallen und Mechanismen der mobilen Aggregatbildung. Wir illustrieren die Allgemeingültigkeit unseres Simulationsansatzes durch die Erweiterung auf binäre Systeme, in denen sowohl aktive als auch passive Partikel enthalten sind. Auch in diesem Fall validieren wir das Modell durch Vergleiche mit bekannten Resultaten, wie zum Beispiel die verstärkte Kristallisation durch aktives Doping oder die Unterdrückung kollektiver Bewegung durch die Einführung von Hindernissen in einem aktiven Bad. Interessanterweise finden wir bei der Präsenz mobiler passiver Partikel in einem aktiven Bad einen Fahrspur-Zustand, in welchem die aktiven Partikel nematische Fahrspuren bilden und sich nur jeweils innerhalb einer Fahrspur nematisch polar anordnen. Dieser bisher unbekannte Zustand stellt eine theoretische Vorhersage dar, die experimentell geprüft werden kann. Schließlich begeben wir uns auf das Gebiet der topologischen aktiven Materie. Wir entwickeln ein agenten-basiertes Modell um selbst-angetriebene Partikel auf gekrümmten Oberflächen zu beschreiben und untersuchen die dabei auftretenden zeitlich und räumlich komplexen Muster.%, die dabei auftreten.

<p>Continuum atomistic and mesoscopic models are developed and utilized in the context of studying microstructural evolution and phase selection in materials systems. Numerous phenomena are examined, ranging from defect-solute interaction in solid state systems to microstructural evolution under external driving conditions. Emphasis is placed on the derivation and development of models capable of self consistently describing the intricate mechanisms at work in the systems undergoing these phenomena.</p> <p>Namely, grain growth dynamics are studied in nanocrystalline systems under external driving conditions using a newly developed phase-field-crystal model, which couples an additional free energy source term to the standard phase-field-crystal model. Such external driving can be attributed to incident energetic particles. The nanocrystalline system is found to be susceptible to enhanced grain growth as a function of the intensity/flux associated with the external driving and the energy of driving. Static kinetic phase diagram calculations also seem to confirm that systems under external driving conditions can be forced into long metastable states.</p> <p>Early stage solute clustering and precipitation in Al alloys is also examined with a variant of the phase-field-crystal method, so-called structural phase-field-crystal models for multi-component alloys developed as part of this thesis. We find that clustering is aided by quenched-in defects (dislocations), whereby the nucleation barrier is reduced and at times eliminated, a mechanism proposed by Cahn for a single dislocation for spinodal systems. In a three-component system, we predict a multi-step mechanism for clustering, where the nature and amount of the third species plays an important role in relieving stresses caused by the quenched-in dislocations before clustering, i.e., segregation as predicted by the equilibrium phase diagram, can occur.</p> <p>Finally, we present a new coarse-graining procedure for generating complex amplitude models, i.e., complex order-parameter phase-field models, derived from phase-field-crystal models. They retain many salient atomistic features and behaviours of the original phase-field-crystal model, however is now capable of describing mesoscopic length scales like the phase-field model. We demonstrate the scheme by generating an amplitude model of the two-dimensional structural phase-fieldcrystal model, which allows multiple crystal structures to be stable in equilibrium, a crucial aspect of proper multi-scale modelling of materials systems. The dynamics are demonstrated by examining solidification and coarsening, peritectic growth, along with grain growth and the emergence of secondary phases.</p> / Doctor of Science (PhD)

<p>In this dissertation, the Phase Field Crystal (PFC) Method is used to study a number of problems in which interfaces and elastic effects play important roles in alloys. In particular, the three topics covered in this work are grain boundary thermodynamics in alloys, dislocation-mediated formation of clusters in binary and ternary alloys, and solutal effects in explosive crystallization. Physical phenomena associated with grain boundaries, such as Read-Shockley-like behaviour and Gibbs adsorp- tion theorem, were shown to be accurately captured in both PFC- and XPFC-type models. In fact, a connection between the solute segregation behaviour and physical properties of the system—such as energy of mixing, mismatch, and undercooling—were shown. Also, grain boundary premelting was investigated. It was shown how solute can change the disjoining potential of a grain boundary and a mechanism for hysteresis in grain boundary premelting was discussed. Regarding the phenomenon of cluster formation, a general coexistence approach and a nucleation-like approach were used to describe the mechanism consistently with observations; the process is facilitated by lowering the energy increase associated with it. The final phenomenon studied was explosive crystallization. It was shown that the temperature oscillations due to unsteady motion of an interface could be captured with PFC-type models and that this behaviour leaves patterns, such as solute traces, in the material. The versatility of this PFC formalism was demonstrated by capturing the underlying physics and elucidating the role of misfit strain in altering interface oscillations during explosive crystallization. Finally, it was demonstrated in all projects how PFC model parameters relate to coarse-grained material properties, thereby connecting these phenomena on larger scales to atomistic-scale properties.</p> / Doctor of Philosophy (PhD)