SAMPAIO, Breno Rafael Pinheiro. Sobre o número de Milnor de germes de funções holomorfas. 2015. 53 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2015-02-10T15:55:26Z No. of bitstreams: 1 2015_dis_brpsampaio.pdf: 9011044 bytes, checksum: 79ea4e2b63403426b3e68d3c52b699d8 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-02-10T15:58:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_dis_brpsampaio.pdf: 9011044 bytes, checksum: 79ea4e2b63403426b3e68d3c52b699d8 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-02-10T15:58:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_dis_brpsampaio.pdf: 9011044 bytes, checksum: 79ea4e2b63403426b3e68d3c52b699d8 (MD5) Previous issue date: 2015 / In early work on the number of Milnor, it is defined as the dimension of the nth homology group of a Milnor fiber. This work will check some other equivalences, with the aim of showing that the number of Milnor can be written as the demension of a vector C-space that comes from the ratio of the germ ring of holomorphic functions and its Jacobian. / Nos trabalhos iniciais sobre o número de Milnor, ele é definido como a dimensão do n-ésimo grupo de homologia de uma fibra de Milnor. Esse trabalho irá verificar algumas outras equivalências, com o objetivo de mostrar que o número de Milnor pode ser escrito como a dimenção de um C-espaço vetorial que vem do quociente entre o anel de germes de funções holomorfas e de seu jacobiano.

Nos trabalhos iniciais sobre o nÃmero de Milnor, ele à definido como a dimensÃo do n-Ãsimo grupo de homologia de uma fibra de Milnor. Esse trabalho irà verificar algumas outras equivalÃncias, com o objetivo de mostrar que o nÃmero de Milnor pode ser escrito como a dimenÃÃo de um C-espaÃo vetorial que vem do quociente entre o anel de germes de funÃÃes holomorfas e de seu jacobiano. / In early work on the number of Milnor, it is defined as the dimension of the nth homology group of a Milnor fiber. This work will check some other equivalences, with the aim of showing that the number of Milnor can be written as the demension of a vector C-space that comes from the ratio of the germ ring of holomorphic functions and its Jacobian.

Neste trabalho estudaremos a geração do semigrupos por operadores elípticos em dois espaços. Em primeiro lugar estudaremos a geração de semigrupo no espaço \'L POT.2\' (\'OMEGA\') por operadores elípticos de ordem 2m com \'OMEGA\' suficientemente regular. Mais precisamente, se \'OMEGA\' é um domínio limitado com \'PARTIAL OMEGA\' de classe \'C POT. 2m,\' L (x;D) = \'SIGMA\' / [\'alpha\'] \'< ou =\' \'a IND. alpha\' (x) \'D POT. alpha\' é um operador diferencial elíptico de ordem 2m, com \'a IND. alpha\' \'PERTENCE\' \' \'C POT.j\' (\'OMEGA\'), j = max {0, [\'alpha\'] - m}, e A : D(A) \'ESTÁ CONTIDO\' EM \'L POT. 2 (\'OMEGA\') \'SETA\' \' L POT. 2 (\'OMEGA\') é o operador linear dado por D(A) = \'H POT. 2m\' (\'OMEGA\') \'H POT. m INF. 0\' (\'OMEGA\'), (Au)(x) = L (x;D)u; então -A gera um \'C IND. 0\'-semigrupo holomorfo em \'L POT.2\' (\'OMEGA\'). ). Em segundo lugar estudaremos a geração de semigrupo em \'C IND. 0\'(\'OMEGA\") = ) = {u \'PERTENCE A\' C (\'OMEGA\' \'BARRA\") : u[\'PARTIAL omega\' = 0} por operadores elípticos de ordem 2 com \'OMEGA\' satisfazendo uma propriedade geométrica. Mais precisamente, se \'OMEGA\' ESTA CONTIDO EM\' \'R POT. n\' (n \'> ou =\' 2) é um domínio limitado que satisfaz a condição de cone exterior uniforme, L é o operador Lu := - \\\\SIGMA SUP n INF. i,j = 1\' \'a IND. ij \'D IND. ij u + \'\\SIGMA SUP. n IND. j=1 \'b IND. j\' u + cu com coeficientes reais \'a IND. ij\' , \'b IND. j\' , c que satisfazem \'b IND. j \' \'PERTENCE A\' \'L POT. INFTY\' (\'OMEGA\') , j = 1, ..., n, c \'PERTENCE A \' \'L POT> INFTY\' (OMEGA), c \'> ou =\' 0, \'a IND. ij\' \'PERTECE A\' C(\' OMEGA BARRA)\' \' INTERSECCAO\' \'L POT. INFTY\' (OMEGA),e \'A IND. 0\' é parte de L em \'C IND. 0\' (\"OMEGA\'), isto é, D(\'A IND. 0\') = {u \'PERTENCE A\' \'C IND. 0\' (\'OMEGA\') \'INTERSECÇÂO\' \'W POT. 2, n INF. loc\' (\'OMEGA\') : Lu \'PERTENCE A\' \'C IND. 0\' (\'OMEGA\')\' \'A IND. 0\' u = Lu, então -\'A IND. 0\' gera um \'C IND. 0-semigrupo holomorfo limitado em \'C IND. 0\' (\'OMEGA\') / In this work we study the generation of semigroups by elliptic operators in two spaces. Firstly we study the generation of semigroup in the space \'L POT. 2\' (OMEGA) for elliptic operators of order 2m with \'OMEGA\' regular domain. More precisely, if \'OMEGA\' is a bounded domain with \\PARTIAL OMEGA\' \'IT BELONGS\' \'C POT. 2m\', L (x, D) = \\ sigma INF.ALPHA \'> or =\' 2m, \'a IND. alpha\' ( x) \'D POT alpha\' is an elliptic differential operator of order 2m, with \'a IND. alpha\' \' \'IT BELONGS\' \'C POT. j\' (OMEGA), j = max , and A : D (A) \'THIS CONTAINED\' \'L POT. 2\' (OMEGA) \'ARROW\' \'L POT. 2\' (OMEGA) is linear operator given or D(A) = \'H POT. 2m\' (OMEGA) \'INTERSECTION\' \'H POT. m INF. 0 (OMEGA) (Au) (x) = L (x,D) u then -A generates a holomorphic \'C IND. 0\'-semigroup in \'L POT. 2\'.(OMEGA). Secondly we study the generation of semigroup in \'C IND. 0\' (OMEGA) = {u \'IT BELONGS\' (c INF. O\' (OMEGA BAR) : \'u [IND. \\partial omega\' = 0} for elliptic operators of second order with \'OMEGA\' satisfying a geometric property. That is, if \'OMEGA\' \'IT BELONGS\' \'R POT. n\' (n > or = 2) is a bounded domain that satisfies the uniform exterior cone condition, L is the elliptic operator given by Lu : = - \\SIGMA SUP. n INF. i,j = 1\' \'a IND. i, j\' \'D IND. ij \' u + \\SIGMA SUP n INF. j=1\' \'b IND j D IND j\' u + cu with real coefficients \'a IND. ij, \'b IND. j\' , c satisfying \'b ind. j\' \'IT BELONGS\' \' L POT. INFTY\' (omega), j = 1, ..., n, c \'it belongs\' \'L POT. INFTY\' (OMEGA), \'c > or =\' 0, \'\'a IND. ij \'IT BELONGS\' C (OMNEGA BAR) \'INTERSECTION\' (OMEGA), and \'A IND. 0\' is part of L in \'C IND. 0\'(OMEGA), that is, D (\'A IND. 0\') = {u \'IT BELONGS\' \'C IND. 0\' (OMEGA) INTERSECTION \'W POT. 2, n IND. loc (OMEGA)} \'A IND. 0u\' = Lu, then - \'A IND. 0\' generates a bounded holomorphic \'C IND. 0\'-semigroup on \'C IND. 0\' (OMEGA)

Neste trabalho estudaremos a geração do semigrupos por operadores elípticos em dois espaços. Em primeiro lugar estudaremos a geração de semigrupo no espaço \'L POT.2\' (\'OMEGA\') por operadores elípticos de ordem 2m com \'OMEGA\' suficientemente regular. Mais precisamente, se \'OMEGA\' é um domínio limitado com \'PARTIAL OMEGA\' de classe \'C POT. 2m,\' L (x;D) = \'SIGMA\' / [\'alpha\'] \'< ou =\' \'a IND. alpha\' (x) \'D POT. alpha\' é um operador diferencial elíptico de ordem 2m, com \'a IND. alpha\' \'PERTENCE\' \' \'C POT.j\' (\'OMEGA\'), j = max {0, [\'alpha\'] - m}, e A : D(A) \'ESTÁ CONTIDO\' EM \'L POT. 2 (\'OMEGA\') \'SETA\' \' L POT. 2 (\'OMEGA\') é o operador linear dado por D(A) = \'H POT. 2m\' (\'OMEGA\') \'H POT. m INF. 0\' (\'OMEGA\'), (Au)(x) = L (x;D)u; então -A gera um \'C IND. 0\'-semigrupo holomorfo em \'L POT.2\' (\'OMEGA\'). ). Em segundo lugar estudaremos a geração de semigrupo em \'C IND. 0\'(\'OMEGA\") = ) = {u \'PERTENCE A\' C (\'OMEGA\' \'BARRA\") : u[\'PARTIAL omega\' = 0} por operadores elípticos de ordem 2 com \'OMEGA\' satisfazendo uma propriedade geométrica. Mais precisamente, se \'OMEGA\' ESTA CONTIDO EM\' \'R POT. n\' (n \'> ou =\' 2) é um domínio limitado que satisfaz a condição de cone exterior uniforme, L é o operador Lu := - \\\\SIGMA SUP n INF. i,j = 1\' \'a IND. ij \'D IND. ij u + \'\\SIGMA SUP. n IND. j=1 \'b IND. j\' u + cu com coeficientes reais \'a IND. ij\' , \'b IND. j\' , c que satisfazem \'b IND. j \' \'PERTENCE A\' \'L POT. INFTY\' (\'OMEGA\') , j = 1, ..., n, c \'PERTENCE A \' \'L POT> INFTY\' (OMEGA), c \'> ou =\' 0, \'a IND. ij\' \'PERTECE A\' C(\' OMEGA BARRA)\' \' INTERSECCAO\' \'L POT. INFTY\' (OMEGA),e \'A IND. 0\' é parte de L em \'C IND. 0\' (\"OMEGA\'), isto é, D(\'A IND. 0\') = {u \'PERTENCE A\' \'C IND. 0\' (\'OMEGA\') \'INTERSECÇÂO\' \'W POT. 2, n INF. loc\' (\'OMEGA\') : Lu \'PERTENCE A\' \'C IND. 0\' (\'OMEGA\')\' \'A IND. 0\' u = Lu, então -\'A IND. 0\' gera um \'C IND. 0-semigrupo holomorfo limitado em \'C IND. 0\' (\'OMEGA\') / In this work we study the generation of semigroups by elliptic operators in two spaces. Firstly we study the generation of semigroup in the space \'L POT. 2\' (OMEGA) for elliptic operators of order 2m with \'OMEGA\' regular domain. More precisely, if \'OMEGA\' is a bounded domain with \\PARTIAL OMEGA\' \'IT BELONGS\' \'C POT. 2m\', L (x, D) = \\ sigma INF.ALPHA \'> or =\' 2m, \'a IND. alpha\' ( x) \'D POT alpha\' is an elliptic differential operator of order 2m, with \'a IND. alpha\' \' \'IT BELONGS\' \'C POT. j\' (OMEGA), j = max , and A : D (A) \'THIS CONTAINED\' \'L POT. 2\' (OMEGA) \'ARROW\' \'L POT. 2\' (OMEGA) is linear operator given or D(A) = \'H POT. 2m\' (OMEGA) \'INTERSECTION\' \'H POT. m INF. 0 (OMEGA) (Au) (x) = L (x,D) u then -A generates a holomorphic \'C IND. 0\'-semigroup in \'L POT. 2\'.(OMEGA). Secondly we study the generation of semigroup in \'C IND. 0\' (OMEGA) = {u \'IT BELONGS\' (c INF. O\' (OMEGA BAR) : \'u [IND. \\partial omega\' = 0} for elliptic operators of second order with \'OMEGA\' satisfying a geometric property. That is, if \'OMEGA\' \'IT BELONGS\' \'R POT. n\' (n > or = 2) is a bounded domain that satisfies the uniform exterior cone condition, L is the elliptic operator given by Lu : = - \\SIGMA SUP. n INF. i,j = 1\' \'a IND. i, j\' \'D IND. ij \' u + \\SIGMA SUP n INF. j=1\' \'b IND j D IND j\' u + cu with real coefficients \'a IND. ij, \'b IND. j\' , c satisfying \'b ind. j\' \'IT BELONGS\' \' L POT. INFTY\' (omega), j = 1, ..., n, c \'it belongs\' \'L POT. INFTY\' (OMEGA), \'c > or =\' 0, \'\'a IND. ij \'IT BELONGS\' C (OMNEGA BAR) \'INTERSECTION\' (OMEGA), and \'A IND. 0\' is part of L in \'C IND. 0\'(OMEGA), that is, D (\'A IND. 0\') = {u \'IT BELONGS\' \'C IND. 0\' (OMEGA) INTERSECTION \'W POT. 2, n IND. loc (OMEGA)} \'A IND. 0u\' = Lu, then - \'A IND. 0\' generates a bounded holomorphic \'C IND. 0\'-semigroup on \'C IND. 0\' (OMEGA)

We generalize the notions of structural stability and hyperbolicity for the family of (multivalued) complex maps Hc(z) = zr + c; where r > 1 is rational and zr = exp r log z: We discovered that Hc is structurally stable at every hyperbolic parameter satisfying the escaping condition. Surprisingly, there may be infinitely many attracting periodic points for Hc. The set of such points gives rise to the dual Julia set, which is a Cantor set coming from a Conformal Iterated Funcion System. Both the Julia set and its dual are projections of holomorphic motions of dynamical systems (single valued maps) defined on compact subsets of Banach spaces, denoted by Xc and Wc, respectively. For c close to zero: (1) we show that Jc is a union of quasiconformal arcs around the unit circle; (2) the set Xc is an holomorphic motion of the solenoid X0; (3) using the formalism of Gibbs states we exhibit an upper bound for the Hausdorff dimension of Jc; which implies that Jc has zero Lebesgue measure. / Generalizamos as noções de estabilidade estrutural e hiperbolicidade para a família de correspondências holomorfas Hc(z) = zr + c; onde r > 1 é racional e zr = exp r log z: Descobrimos que Hc é estruturalmente estável em todos os parâmetros hiperbólicos satisfazendo a condição de fuga. Tipicamente Hc possui infinitos pontos periódicos atratores, fato totalmente inesperado, uma vez que este número é sempre finito para aplicações racionais. O conjunto de tais pontos dá origem ao chamado conjunto de Julia dual, que é um conjunto de Cantor proveniente de um Conformal Iterated Function System. Tanto o conjunto de Julia e quanto seu dual são projeções de movimentos holomorfos de sistemas definidos em subconjuntos compactos denotados por Xc e Wc; respectivamente de um espaço de Banach. Para todo c próximo de zero: (1) mostramos que Jc é reunião de arcos quase-conformes próximos do círculo unitário; (2) o conjunto Xc é um movimento holomorfo do solenóide X0; (3) utilizando o formalismo dos estados de Gibbs, exibimos um limitante superior para a dimensão de Hausdorff de Jc. Consequentemente, Jc possui medida de Lebesgue nula.

We generalize the notions of structural stability and hyperbolicity for the family of (multivalued) complex maps Hc(z) = zr + c; where r > 1 is rational and zr = exp r log z: We discovered that Hc is structurally stable at every hyperbolic parameter satisfying the escaping condition. Surprisingly, there may be infinitely many attracting periodic points for Hc. The set of such points gives rise to the dual Julia set, which is a Cantor set coming from a Conformal Iterated Funcion System. Both the Julia set and its dual are projections of holomorphic motions of dynamical systems (single valued maps) defined on compact subsets of Banach spaces, denoted by Xc and Wc, respectively. For c close to zero: (1) we show that Jc is a union of quasiconformal arcs around the unit circle; (2) the set Xc is an holomorphic motion of the solenoid X0; (3) using the formalism of Gibbs states we exhibit an upper bound for the Hausdorff dimension of Jc; which implies that Jc has zero Lebesgue measure. / Generalizamos as noções de estabilidade estrutural e hiperbolicidade para a família de correspondências holomorfas Hc(z) = zr + c; onde r > 1 é racional e zr = exp r log z: Descobrimos que Hc é estruturalmente estável em todos os parâmetros hiperbólicos satisfazendo a condição de fuga. Tipicamente Hc possui infinitos pontos periódicos atratores, fato totalmente inesperado, uma vez que este número é sempre finito para aplicações racionais. O conjunto de tais pontos dá origem ao chamado conjunto de Julia dual, que é um conjunto de Cantor proveniente de um Conformal Iterated Function System. Tanto o conjunto de Julia e quanto seu dual são projeções de movimentos holomorfos de sistemas definidos em subconjuntos compactos denotados por Xc e Wc; respectivamente de um espaço de Banach. Para todo c próximo de zero: (1) mostramos que Jc é reunião de arcos quase-conformes próximos do círculo unitário; (2) o conjunto Xc é um movimento holomorfo do solenóide X0; (3) utilizando o formalismo dos estados de Gibbs, exibimos um limitante superior para a dimensão de Hausdorff de Jc. Consequentemente, Jc possui medida de Lebesgue nula.