Orientador: João Peres Vieira / Banca: Daniel Vendrúscolo / Banca: Thiago de Melo / Resumo: O principal objetivo deste trabalho é demonstrar teoremas relevantes como o Teorema Fundamental da Álgebra e o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer no plano, além dos problemas de extensão e levantamento e o Teorema de Mayer-Vietoris. Para isto, primeiramente associamos a cada espaço topológico X uma estrutura de grupo ou de conjunto G(X), e a cada função contínua f : X → Y um homomor smo de estruturas f∗ : G(X) → G(Y ) ou f∗ : G(Y ) → G(X) satisfazendo determinadas propriedades / Abstract: The main objective is to prove relevant theorems as the Fundamental Theorem of Algebra and Brouwer's Fixed Point Theorem in the plane, besides the problems of extension and lifting theorem and the Mayer-Vietoris Theorem. For this, rst we associate to each topological space X a group structure or set G(X), and every continuous function f : X → Y a homomorphism f∗ : G(X) → G(Y ) or f∗ : G(Y ) → G(X) satisfying certain properties / Mestre

Orientador: Alcibiades Rigas, Tomas Edson Barros / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-06T01:35:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Hoefel_EduardoOuteiralCorrea_D.pdf: 1956293 bytes, checksum: 425e3f8509c6c6d5b7e71d692027dfaf (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Esta tese consiste do estudo das OCHAs (Open-Closed Homotopy Algebras) sob os pontos de vista algébrico e geométrico. São demonstrados essencialmente dois resultados novos. O primeiro refere-se à definição de OCHA através de coderivações. Mais especificamente, provamos que qualquer coderivação D E Coderl (sc'Hc 0 TC'Ho) de grau 1 satisfazendo D2 = O define uma estrutura de OCHA em 'H = 'Hcffi'Ho. Onde 'Hc e 'Ho são os espaços de estados da teoria de campo de corda para cordas fechadas ("dosed strings") e cordas abertas ("open strings"), respectivamente. Até então, sabia-se que as OCHAs eram dadas por coderivações [14], mas o fato de que qualquer coderivação define uma OCHA, é novo. O segundo resultado envolve a relação entre OCHA e a versão real da compactificação de Fulton MacPherson do espaço de configurações de pontos no semi-plano superior fechado. Este resultado mostra a estreita relação entre OCHAs e a operada do "Queijo Suíço" introduzida por Voronov [41], tal relação foi de fato sugeri da na introdução de [14]. O capítulo 1 contém uma discussão sobre a definição de OCHA usando coálgebras e a conseqüente caracterização das coderivações mencionada acima. Mostramos também que a estrutura de OCHA pode ser obtida a partir de certas álgebras A(X) de forma inteiramente análoga ao modo como álgebras de Lie podem ser obtidas a partir de álgebras associativas. Em seguida, o capítulo 2 traz a abordagem das OCHAs através de operadas. O capítulo 3 traz uma discussão detalhada do espaço C(p, q) (a compactificação de Fulton;.MacPherson do espaço de configurações de p + q pontos no semi-plano superior fechado com p pontos no interior e q pontos no bordo) e no capítulo 4 mostramos que a parte essencial da operada que descreve as OCHAs aparece na primeira linha do termo E1 da seqüência espectral induzida por aquele espaço. O resultado mencionado acima significa que a estrutura algébrica das OCHAs está codificada na estratificação do bordo da variedade C(p, q), visto que esta última tem uma estrutura de variedade com córneres. No capítulo final discutimos o significado dos dois resultados obtidos procurando fazer um paralelo entre as abordagens geométrica e algébrica e mencionamos alguns problemas interessantes, como continuação deste trabalho, que podem ser considerados por estudantes interessados em Álgebras Homotópicas e temas relacionados / Abstract: This thesis consists of the study of OCHA (Open-Closed Homotopy Algebras) from both the algebraic and geometric viewpoint. It essentially contains the proof of two new results. The first one is related to the definition of OCHA through coderivations. More specifically, it is shown that any degree one coderivation D E Caderl(Sc7íc 0 TC7ío) such that D2 = O defines an OCHA structure on 7í = 7íc E9 7ío. Where 7íc and 7ío are respectively the state spaces of Closed String Field Theory and apen String Field Theory. It was cIear since its definition in 2004 that OCHAs can be defined in terms of coderivations. Nevertheless, the fact that any such coderivation is of the OCHA form is new. The second result involves the relation between OCHA and the real version of the Fulton MacPherson compactification of the configuration space of points on the cIosed upper half-plane. That result shows the cIose relation between OCHAs and the Swiss-Cheese operad introduced by Voronov [411. Such relation was in fact suggested in the introductian of [141. Chapter 1 contains a discussion about the coalgebraic definition of OCHA and the above mentioned characterization of alI coderivations. It is also shown that OCHA can be obtained from certain A8 algebras, similarly to way in which Lie algebras are obtained fro_ associative algebras. Chapter 2 then shows how to approach OCHA using aperads. The space C(p, q) (the FuIton-MacPherson compactification of the configuration space of p + q points on the upper half-plane with p interior points and q boundary points) is discussed on chapter 3 and on chapter 4 it is shown that the essential part of the operad describing OCHA appears on the first line Of the spectral sequence induced by that space. In other words, we could say that the algebraic structure of OCHA is encoded in the stratification of C(p, q), since this space has the structure of a manifold with corners. The final chapter is a discussion about the meaning of the two mais results of this thesis. After that, some problems which could be explored by the student interested on homotopy algebras and related subjects are mentioned. / Doutorado / Geometria Topologia / Doutor em Matemática

Sejam K, a garrafa de Klein, e K M S^ um fibrado com base S^ e fibra K. Neste trabalho estudamos o seguinte problema: dadas aplicações f, g : M M que preservam fibra sobre S^, quando o par (f, g) pode ser deformado, por uma homotopia que preserva fibra sobre S^, a um par de aplicações (f^{\'} , g^{\'} ) livre de coincidência? / Let K be the Klein bottle and let K M S be a Klein bottle bundle over S 1 . In this work we study the following question: given a pair of fiber preserving maps over S^ , when can it be deformed by a fiberwise homotopy over S into a pair of coincidence free fiber preserving maps over S^, (f^{\'} , g^{\'} ) ?

Este trabalho é um estudo de raízes para aplicações f : S → Wn, onde S é uma superfície compacta, conexa e sem bordo e Wn é o espaço obtido pela reunião em um ponto do círculo S1 com n esferas S2 . / The propose of this work is studies the root problem for maps f : S → Wn, where S is a closed, connected, compact surface and W n is the space obtained by the one point union of circle S1 and n spheres S2.

Seja p um \'S POT. 3\' - fibrado principal sobre uma esfera \'S POT. n\' , com n \' >OU=\' 4 . O objetivo deste trabalho é calcular os tipos de homotopia do grupo de gauge \'G IND. p\' desses fibrados p, estendendo o resultado determinado por A. Kono [25] quando n = 4. Apresentamos fórmulas explícitas para o operador bordo na seqüência exata de homotopia associada com a aplicação avaliação ev : m(\'S POT. n\' , B \'S POT. 3\' ) \'SETA\' B \'S POT. 3\' , traduzindo o problema nos cálculos envolvendo grupos de homotopia de esferas. Calculamos todos os casos clássicos, ou seja, aqueles que podem ser avaliados usando as informações encontradas no livro de H. Toda [46], determinando o tipo de homotopia do grupo de gauge desses fibrados para cada n \' > OU =\' 25 / Let p be a principal \'S POT. 3\' - bundle over a sphere \'S POT. n\' , with n\' > or =\' 4\'. The subject of this work is to calculate the homotopy type of the gauge group \'G IND. p\' of these bundles p, extending the result determined by A. Kono [25] when n = 4. We present explicit formulas for the boundary operator in the homotopy exact sequence associated with the evaluation map ev : m(\'S POT. n\' , B \'S POT. 3\' ) \' ARROW\' B \'S POT. 3\' , translating that problem into calculations involving homotopy groups of sphere. We calculate all the classical cases, namely those that can be dealt with using the information in the book of H. Toda [46], determining the homotopy type of the gauge group of these bundles for each n \'> or = 25

Neste trabalho tratamos da homotopia monotônica entre trajetórias de um sistema de controle ∑ sobre uma variedade M. Esta é uma variante apropriada da homotopia usual, na qual duas trajetórias são consideradas homotopicas se podem ser deformadas continuamente através de trajetórias. Inicialmente apresentamos alguns aspectos gerais e resultados fundamentais da teoria do controle. Em seguida, introduzimos a noção de regularidade para controles e a homotopia monotônica entre trajetórias de ∑ geradas por essa classe de controles. Em particular, apresentamos um exemplo de um sistema que admite trajetórias que são homotópicas mas não são monotonicamente homotópicas. O objetivo principal foi entender a construção (análoga), para homotopia monotônica, de espaço de recobrimento universal. Entre outros, o conjunto Γ(∑,x) de classes de homotopia monotônica das trajetórias do sistema ∑ a partir x ∈ M possui uma estrutura de variedade diferenciável de mesma dimensão que a variedade M(o espaço estado). Como consequência desse resultado temos um difeomorfismo local que nos permitirá levantar ∑ para a variedade Γ(∑,x), obtendo assim um novo sistema ∑^ em Γ(∑,x). A fim de compreendermos as propriedades universais de Γ(∑,x), tomamos um recobrimento π : N → ΑR(∑,x) no sentido de que N é uma variedade diferenciável munida com um sistema de controle ∑~ e π é um difeomorfismo local que leva e∑~ ao ∑. Comparando as trajetórias de sistemas ∑^ e ∑~ construímos uma aplicação de levantamento ƒ : Γ(∑,x) → N que relaciona ∑^ e ∑~. Finalizamos este trabalho levando em conta a classe particular de sistemas simétricos, para qual os espaços de recobrimento monotônico Γ(∑,x) e topológico M~ de M coincidem. / In this work, we deal with monotonic homotopy between trajectories of a control system ∑ on a manifold M. This is an apropriate variant of usual homotopy, where two trajectories are considered to be homotopic if they can be deformed to each other in a continuous way through trajectories. We introduce regularity for controls and consider monotonic homotopy between trajectories generated by regular controls. In particular, we present an example of a system having homotopic trajectories which are not monotonically homotopic. The main goal was to understand the construction for monotonic homotopy of the universal covering space and, in particular, the differentiable manifold structure on the set Γ(∑,x) of monotonic homotopy classes of trajectories starting at x ∈ M. As a consequence of that result, we obtain a local diffeomorphism which permits lifting of ∑ to another system ∑^ in Γ(∑,x). To consider universal properties of Γ(∑, x) we take a covering π : N → ΑR(∑,x) in the sense that N is a differentiable manifold provided with a control system ∑~ and π is a local diffeomorphism mapping ∑~ to ∑. Comparing the trajectories of ∑^ and ∑~ we construct a lifting mapping ƒ : Γ(∑,x) → N that relates ∑^ and ∑~. Finally, we take into account the particular class of symmetric systems, for which both coverings Γ(∑,x) and M~ coincide.

In this work, we prove that the set of link-homotopy classes of generalized string links over a closed, connected and orientable surface M of genus g ≥ 1 form a group, denoted by Bn(M) and we find a presentation for it. Moreover, we prove that its normal subgroup PBnn(M), namely, the homotopy string links over M, is bi-orderable. These results extend results proved by Juan GonzalezMeneses in [GM], [GM2] and Ekaterina Yurasovskaya in [Y], respectively. Also, we obtain an exact sequence for link-homotopy braid groups, which is an extension of [Go, Theorem 1]. / Sem resumo

In this work, we prove that the set of link-homotopy classes of generalized string links over a closed, connected and orientable surface M of genus g ≥ 1 form a group, denoted by Bn(M) and we find a presentation for it. Moreover, we prove that its normal subgroup PBnn(M), namely, the homotopy string links over M, is bi-orderable. These results extend results proved by Juan GonzalezMeneses in [GM], [GM2] and Ekaterina Yurasovskaya in [Y], respectively. Also, we obtain an exact sequence for link-homotopy braid groups, which is an extension of [Go, Theorem 1]. / Sem resumo

O objetivo desse trabalho é fazer uma enumeração dos fibrados planos reais sobre algumas superfícies, como por exemplo, a esfera e o g-toro. Entre outras ferramentas, utilizamos a co-homologia das superfícies, com coeficientes locais, e também o método desenvolvido por Larmore para contar classes de homotopia de levantamento de funções. / The aim of this work is enumerate the plane bundles over some surfaces, for example the sphere and the g-torus. Among other tools we used cohomology of the surfaces with local coefficients and also the method developed by Larmore to count homotopy classes of lifting of functions.

Orientador: Julio Marny Hoff da Silva / Resumo: Espinores exóticos surgem quando a topologia da variedade $M$ tomada como sendo o espaço-tempo é suposta ser não-trivial, no sentindo que seu grupo fundamental é não-trivial: $\pi_1(M) \neq 0$. Assim, um novo termo exótico $\partial_\mu \theta$ surge na equação dinâmica destes espinores, e novas propriedades se apresentam. A não-trivialidade de $\pi_1(M)$ pode ser diretamente ligada a própria existência de buracos negros. Assim, estudamos, nesta tese, relações entre estruturas espinoriais exóticas e a taxa de emissão de radiação Hawking por buracos negros assintoticamente \textit{flat} em Relatividade Geral, encontrando equações diferenciais para o termo exótico, o que dá a possibilidade de inferir uma forma explícita para $\theta$. Também, tratamos aqui dos chamados espinores RIM, que são espinores que respeitam uma equação dinâmica não-linear chamada de equação não-linear de Heisenberg. Apresentamos dois lemas relativos a estes espinores: um deles encontrando restrições para ocorrer a decomposição de espinores de Dirac em termos de espinores RIM, e outro que nega a existência de espinores RIM exóticos, ou seja, relaciona a existência de espinores RIM a própria estrutura topológica do espaço-tempo. Ainda, encontramos um método de classificarmos os espinores RIM nas classes de Lounesto. Por fim, apresentamos, na forma de dois teoremas, maneiras de deformar homotopicamente tais espinores no que chamamos de \textit{spinor-plane}. / Abstract: Exotic spinors emerge when the topology associatd to the manifold $M$, which is token as being the spacetime, is suppose to be non-trivial, in the sense that its fundamental group is non-trivial: $\pi_1(M) \neq 0$. Thus, a new exotic term $\partial_\mu \theta$ rises from the dynamical equation related to these spinors, and new properties are in order. The non-triviality of $\pi_1(M)$ may be directly linked to the very existence of black holes. In this vein, we study some relations between exotic spinorial structures and the Hawking radiation emission rate by asymptotically flat black holes solutions of General Relativity, finding an equation from which an explicity form for the exotic term could be inferred. Moreover, we work on the so-called RIM spinors, which are spinor fields satisfying a non-linear dynamical equation known as Heiseing non-linear equation. We present two \textit{lemmata} related to these spinors: one of them gives us restrictions for the decompostion of Dirac fields in terms of RIM spinors to occur, while the other deny the existence of exotic RIM spinors, i.e., it relates the very existence of RIM spinors to the spacetime topological structure. Besides, we develop a classifying method for RIM spinors into the Lounesto classes. Finally, we present, in the form of two theorems, ways to homotopically deform such spinors in what we call the spinor-plane. / Doutor