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Inférence géométrique discrète / discrete geometric inferenceCuel, Louis 18 December 2014 (has links)
Ces travaux s'inscrivent dans la thématique de l'inférence géométrique dont le but est de répondre au problème suivant : étant donné un objet géométrique dont on ne connaît qu'une approximation, peut-on estimer de manière robuste ses propriétés? On se place dans cette thèse dans le cas où l'approximation est un nuage de points ou un ensemble digital dans un espace euclidien de dimension finie. On montre tout d'abord un résultat de stabilité d'un estimateur de normale basé sur l'analyse en composante principale, ainsi qu'un résultat de convergence multigrille d'un estimateur du Voronoi Covariance Measure qui utilise des matrices de covariance de cellules de Voronoi. Ces deux résultats, comme la plupart des résultats en inférence géométrique, utilisent la stabilité de la fonction distance à un compact. Cependant, la présence d'un seul point aberrant suffit pour que les hypothèses des résultats de stabilité ne soient pas satisfaites. La distance à une mesure est une fonction distance généralisée introduite récemment qui est robuste aux points aberrants. Dans ce travail, on généralise le Voronoi Covariance Measure à des fonctions distances généralisées et on montre que cet estimateur appliqué à la distance à une mesure est robuste aux points aberrants. On en déduit en particulier un estimateur de normale très robuste. On présente également des résultats expérimentaux qui montrent une forte robustesse des estimations de normales, courbures, directions de courbure et arêtes vives. Ces résultats sont comparés favorablement à l'état de l'art. / The purpose of geometric inference is to answer the following problem : Given a geometric object that is only known through an approximation, can we get a robust estimation of its properties? We consider in this thesis the case where the approximation is a point cloud or a digital set in a finite dimensional Euclidean space. We first show a stability result for a normal estimator based on the principal component analysis, as well as a result of multigrid convergence of an estimator of the Voronoi covariance measure, which uses covariance matrices of Voronoi cells. As most of geometric inference results, these two last results use the robustness of the distance function to a compact set. However, the presence of a single outlier is sufficient to make the assumptions of these results not satisfied. The distance to a measure is a generalized distance function introduced recently, that is robust to outliers. In this work, we generalize the Voronoi Covariance Measure to generalized distance functions and we show that this estimator applied to the distance to a measure is robust to outliers. We deduce a very robust normal estimator. We present experiments showing the robustness of our approach for normals, curvatures, curvature directions and sharp features estimation. These results are favorably compared to the state of the art.
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Détection de structure géométrique dans les nuages de pointsMérigot, Quentin 10 December 2009 (has links) (PDF)
Cette thèse s'inscrit dans la problématique générale de l'inférence géométrique. Étant donné un objet qu'on ne connaît qu'à travers un échantillon fini, à partir de quelle qualité d'échantillonage peut-on estimer de manière fiable certaines de ses propriétés géométriques ou topologique? L'estimation de la topologie est maintenant un domaine assez mûr. La plupart des méthodes existantes sont fondées sur la notion de fonction distance. Nous utilisons cette approche pour estimer certaines notions de courbure dues à Federer, définies pour une classe assez générale d'objets non lisses. Nous introduisons une version approchée de ces courbures dont nous étudions la stabilité ainsi que calcul pratique dans le cas discret. Une version anisotrope de ces mesures de courbure permet en pratique d'estimer le lieu et la direction des arêtes vives d'une surface lisse par morceaux échantillonnée par un nuage de point. En chemin nous sommes amenés à étudier certaines propriétés de régularité de la fonction distance, comme le volume de l'axe médian. Un défaut des méthodes qui utilisent la fonction distance est leur extrême sensibilité aux points aberrants. Pour résoudre ce problème, nous sortons du cadre purement géométrique en remplaçant les compacts par des mesures de probabilité. Nous introduisons une notion de fonction distance à une mesure, robuste aux perturbations Wasserstein (et donc aux points aberrants) et qui partage certaines propriétés de régularité et de stabilité avec la fonction distance usuelle. Grâce à ces propriétés, il est possible d'étendre de nombreux théorèmes d'inférence géométrique à ce cadre.
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