L’objectif à moyen terme de ce travail est d’explorer quelques formulations des problèmes d’identification de forme et de reconnaissance de surface à partir de mesures ponctuelles. Ces problèmes ont plusieurs applications importantes dans les domaines de l’imagerie médicale, de la biométrie, de la sécurité des accès automatiques et dans l’identification de structures cohérentes lagrangiennes en mécanique des fluides. Par exemple, le problème d’identification des différentes caractéristiques de la main droite ou du visage d’une population à l’autre ou le suivi d’une chirurgie à partir des données générées par un numériseur. L’objectif de ce mémoire est de préparer le terrain en passant en revue les différents outils mathématiques disponibles pour appréhender la géométrie comme variable d’optimisation ou d’identification. Pour l’identification des surfaces, on explore l’utilisation de fonctions distance ou distance orientée, et d’ensembles de niveau comme chez S. Osher et R. Fedkiw ; pour la comparaison de surfaces, on présente les constructions des métriques de Courant par A. M. Micheletti en 1972 et le point de vue de R. Azencott et A. Trouvé en 1995 qui consistent à générer des déformations d’une surface de référence via une famille de difféomorphismes. L’accent est mis sur les fondations mathématiques sous-jacentes que l’on a essayé de clarifier lorsque nécessaire, et, le cas échéant, sur l’exploration d’autres avenues. / The mid-term objective of this work is to explore some formulations of shape identification and surface recognition problems from point measurements. Those problems have important applications in medical imaging, biometrics, security of the automatic access, and in the identification of Lagrangian Coherent Structures in Fluid Mechanics. For instance, the problem of identifying the different characteristics of the right hand or the face from a population to another or the follow-up after surgery from data generated by a scanner. The objective of this mémoire is to prepare the ground by reviewing the different mathematical tools available to apprehend the geometry as an identification or optimization variable. For surface identification it explores the use of distance functions, oriented distance functions, and level sets as in S. Osher and R. Fedkiw ; for surface recognition it emphasizes the construction of Courant metrics by A. M. Micheletti in 1972 and the point of view of R. Azencott and A. Trouvé in 1995 which consists in generating deformations of a reference surface via a family of diffeomorphisms. The accent will be put on the underlying mathematical foundations that it will attempt to clarify as necessary, and, if need be, on exploring new avenues.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L’objectif à moyen terme de ce travail est d’explorer quelques formulations des problèmes d’identification de forme et de reconnaissance de surface à partir de mesures ponctuelles. Ces problèmes ont plusieurs applications importantes dans les domaines de l’imagerie médicale, de la biométrie, de la sécurité des accès automatiques et dans l’identification de structures cohérentes lagrangiennes en mécanique des fluides. Par exemple, le problème d’identification des différentes caractéristiques de la main droite ou du visage d’une population à l’autre ou le suivi d’une chirurgie à partir des données générées par un numériseur. L’objectif de ce mémoire est de préparer le terrain en passant en revue les différents outils mathématiques disponibles pour appréhender la géométrie comme variable d’optimisation ou d’identification. Pour l’identification des surfaces, on explore l’utilisation de fonctions distance ou distance orientée, et d’ensembles de niveau comme chez S. Osher et R. Fedkiw ; pour la comparaison de surfaces, on présente les constructions des métriques de Courant par A. M. Micheletti en 1972 et le point de vue de R. Azencott et A. Trouvé en 1995 qui consistent à générer des déformations d’une surface de référence via une famille de difféomorphismes. L’accent est mis sur les fondations mathématiques sous-jacentes que l’on a essayé de clarifier lorsque nécessaire, et, le cas échéant, sur l’exploration d’autres avenues. / The mid-term objective of this work is to explore some formulations of shape identification and surface recognition problems from point measurements. Those problems have important applications in medical imaging, biometrics, security of the automatic access, and in the identification of Lagrangian Coherent Structures in Fluid Mechanics. For instance, the problem of identifying the different characteristics of the right hand or the face from a population to another or the follow-up after surgery from data generated by a scanner. The objective of this mémoire is to prepare the ground by reviewing the different mathematical tools available to apprehend the geometry as an identification or optimization variable. For surface identification it explores the use of distance functions, oriented distance functions, and level sets as in S. Osher and R. Fedkiw ; for surface recognition it emphasizes the construction of Courant metrics by A. M. Micheletti in 1972 and the point of view of R. Azencott and A. Trouvé in 1995 which consists in generating deformations of a reference surface via a family of diffeomorphisms. The accent will be put on the underlying mathematical foundations that it will attempt to clarify as necessary, and, if need be, on exploring new avenues.

Cette thèse s'inscrit dans la problématique générale de l'inférence géométrique. Étant donné un objet qu'on ne connaît qu'à travers un échantillon fini, à partir de quelle qualité d'échantillonage peut-on estimer de manière fiable certaines de ses propriétés géométriques ou topologique? L'estimation de la topologie est maintenant un domaine assez mûr. La plupart des méthodes existantes sont fondées sur la notion de fonction distance. Nous utilisons cette approche pour estimer certaines notions de courbure dues à Federer, définies pour une classe assez générale d'objets non lisses. Nous introduisons une version approchée de ces courbures dont nous étudions la stabilité ainsi que calcul pratique dans le cas discret. Une version anisotrope de ces mesures de courbure permet en pratique d'estimer le lieu et la direction des arêtes vives d'une surface lisse par morceaux échantillonnée par un nuage de point. En chemin nous sommes amenés à étudier certaines propriétés de régularité de la fonction distance, comme le volume de l'axe médian. Un défaut des méthodes qui utilisent la fonction distance est leur extrême sensibilité aux points aberrants. Pour résoudre ce problème, nous sortons du cadre purement géométrique en remplaçant les compacts par des mesures de probabilité. Nous introduisons une notion de fonction distance à une mesure, robuste aux perturbations Wasserstein (et donc aux points aberrants) et qui partage certaines propriétés de régularité et de stabilité avec la fonction distance usuelle. Grâce à ces propriétés, il est possible d'étendre de nombreux théorèmes d'inférence géométrique à ce cadre.

La modélisation des équilibres thermodynamiques entre phases est essentielle pour le génie des procédés et le génie pétrolier. L’analyse de la stabilité des phases est un problème de la plus haute importance parmi les calculs d’équilibre des phases. Le calcul de stabilité décide si un système se présente dans un état monophasique ou multiphasique ; si le système se sépare en deux ou plusieurs phases, les résultats du calcul de stabilité fournissent une initialisation de qualité pour les calculs de flash (Michelsen, 1982b), et permettent la validation des résultats des calculs de flash multiphasique. Le problème de la stabilité des phases est résolu par une minimisation sans contraintes de la fonction distance au plan tangent à la surface de l’énergie libre de Gibbs (« tangent plane distance », ou TPD). Une phase est considérée comme étant thermodynamiquement stable si la fonction TPD est non- négative pour tous les points stationnaires, tandis qu’une valeur négative indique une phase thermodynamiquement instable. La surface TPD dans l’espace compositionnel est non- convexe et peut être hautement non linéaire, ce qui fait que les calculs de stabilité peuvent être extrêmement difficiles pour certaines conditions, notamment aux voisinages des singularités. On distingue deux types de singularités : (i) au lieu de la limite du test de stabilité (stability test limit locus, ou STLL), et ii) à la spinodale (la limite intrinsèque de la stabilité thermodynamique). Du point de vue géométrique, la surface TPD présente un point selle, correspondant à une solution non triviale (à la STLL) ou triviale (à la spinodale). Dans le voisinage de ces singularités, le nombre d’itérations de toute méthode de minimisation augmente dramatiquement et la divergence peut survenir. Cet inconvénient est bien plus sévère pour la STLL que pour la spinodale. Le présent mémoire est structuré sur trois grandes lignes : (i) après la présentation du critère du plan tangent à la surface de l’énergie libre de Gibbs, plusieurs solutions itératives (gradient et méthodes d’accélération de la convergence, méthodes de second ordre de Newton et méthodes quasi- Newton), du problème de la stabilité des phases sont présentées et analysées, surtout du point de vue de leurs comportement près des singularités; (ii) Suivant l’analyse des valeurs propres, du conditionnement de la matrice Hessienne et de l’échelle du problème, ainsi que la représentation de la surface de la fonction TPD, la résolution du calcul de la stabilité des phases par la minimisation des fonctions coût modifiées est adoptée. Ces fonctions « coût » sont choisies de telle sorte que tout point stationnaire (y compris les points selle) de la fonction TPD soit converti en minimum global; la Hessienne à la STLL est dans ce cas positif définie, et non indéfinie, ce qui mène a une amélioration des propriétés de convergence, comme montré par plusieurs exemples pour des mélanges représentatifs, synthétiques et naturels. Finalement, (iii) les calculs de stabilité sont menés par une méthode d’optimisation globale, dite de Tunneling. La méthode de Tunneling consiste à détruire (en plaçant un pôle) les minima déjà trouvés par une méthode de minimisation locale, et a tunneliser pour trouver un point situé dans une autre vallée de la surface de la fonction coût qui contient un minimum 9 à une valeur plus petite de la fonction coût; le processus continue jusqu'à ce que les critères du minimum global soient remplis. Plusieurs exemples soigneusement choisis montrent la robustesse et l’efficacité de la méthode de Tunneling pour la minimisation de la fonction TPD, ainsi que pour la minimisation des fonctions coût modifiées. / The thermodynamic phase equilibrium modelling is an essential issue for petroleum and process engineering. Phase stability analysis is a highly important problem among phase equilibrium calculations. The stability computation establishes whether a given mixture is in one or several phases. If a mixture splits into two or more phases, the stability calculations provide valuables initialisation sets for the flash calculations, and allow the validation of multiphase flash calculations. The phase stability problem is solved as an unconstrained minimisation of the tangent plan distance (TPD) function to the Gibbs free energy surface. A phase is thermodynamically stable if the TPD function is non-negative at all its stationary points, while a negative value indicates an unstable case. The TPD surface is non-convex and may be highly non-linear in the compositional space; for this reason, phase stability calculation may be extremely difficult for certain conditions, mainly within the vicinity of singularities. One can distinguish two types of singularities: (i) the stability test limit locus (STLL), and (ii) the intrinsic limit of stability (spinodal). Geometrically, the TPD surface exhibits a saddle point, corresponding to a non-trivial (at the STLL) or trivial solution (at the spinodal). In the immediate vicinity of these singularities, the number of iterations of all minimisation methods increases dramatically, and divergence could occur. This inconvenient is more severe for the STLL than for the spinodal. The work presented herein is structured as follow: (i) after the introduction to the concept of tangent plan distance to the Gibbs free energy surface, several iterative methods (gradient, acceleration methods, second-order Newton and quasi-Newton) are presented, and their behaviour analysed, especially near singularities. (ii) following the analysis of Hessian matrix eigenvalues and conditioning, of problem scaling, as well as of the TPD surface representation, the solution of phase stability computation using modified objective functions is adopted. The latter are chosen in such a manner that any stationary point of the TPD function becomes a global minimum of the modified function; at the STLL, the Hessian matrix is no more indefinite, but positive definite. This leads to a better scheme of convergence as will be shown in various examples for synthetic and naturally occurring mixtures. Finally, (iii) the so-called Tunneling global optimization method is used for the stability analysis. This method consists in destroying the minima already found (by placing poles), and to tunnel to another valley of the modified objective function to find a new minimum with a smaller value of the objective function. The process is resumed when criteria for the global minimum are fulfilled. Several carefully chosen examples demonstrate the robustness and the efficiency of the Tunneling method to minimize the TPD function, as well as the modified objective functions.

En fournissant en plus de l'information spatiale une mesure spectrale en fonction des longueurs d'ondes, l'imagerie hyperspectrale s'enorgueillie d'atteindre une précision bien plus importante que l'imagerie couleur. Grâce à cela, elle a été utilisée en contrôle qualité, inspection de matériaux,… Cependant, pour exploiter pleinement ce potentiel, il est important de traiter la donnée spectrale comme une mesure, d'où la nécessité de la métrologie, pour laquelle exactitude, incertitude et biais doivent être maitrisés à tous les niveaux de traitement.Face à cet objectif, nous avons choisi de développer une approche non-linéaire, basée sur la morphologie mathématique et de l'étendre au domaine spectral par le biais d'une relation d'ordre spectral basée sur les fonctions de distance. Une nouvelle fonction de distance spectrale et une nouvelle relation d'ordonnancement sont ainsi proposées. De plus, un nouvel outil d'analyse du basé sur les histogrammes de différences spectrales a été développé.Afin d'assurer la validité des opérateurs, une validation théorique rigoureuse et une évaluation métrologique ont été mises en œuvre à chaque étage de développement. Des protocoles d'évaluation de la qualité des traitements morphologiques sont proposés, exploitant des jeux de données artificielles pour la validation théorique, des ensembles de données dont certaines caractéristiques sont connues pour évaluer la robustesse et la stabilité et des jeux de données de cas réel pour prouver l'intérêt des approches en contexte applicatif. Les applications sont développées dans le contexte du patrimoine culturel pour l'analyse de peintures et pigments. / Providing not only spatial information but also spectral measure as a function of wavelength, hyperspectral imaging boasts a much greater gain in accuracy than the traditional color imaging. And for this capability, hyperspectral imaging has been employed for quality control, inspection of materials in various fields. However, to fully exploit this potential, it is important to process the spectral data as a measure. This induces the need of metrology where accuracy, uncertainty, and bias are managed at every level of processing.Aiming at developing a metrological image processing framework for spectral data, we select to develop a nonlinear approach using the mathematical morphology framework and extended it to the spectral domain by means of a distance-based ordering relation. A novel spectral distance function and spectral ordering relation are proposed, in addition of a new analysis tools based on spectral differences. To ensure the validity of the spectral mathematical morphology framework, rigorous theoretical validation and metrological assessment are carried out at each development stages. So, protocols for quality assessment of spectral image processing tools are developed. These protocols consist of artificial datasets to validate completely the theoretical requirements, datasets with known characteristics to assess the robustness and stability, and datasets from real cases to proof the usefulness of the framework on applicative context. The application tasks themselves are within the cultural heritage domain, where the target images come from pigments and paintings. / Hyperspektral avbildning muliggjør mye mer nøyaktige målinger enn tradisjonelle gråskala og fargebilder, gjennom både høy romlig og spektral oppløsning (funksjon av bølgelengde). På grunn av dette har hyperspektral avbildning blitt anvendt i økende grad ulike applikasjoner som kvalitetskontroll og inspeksjon av materialer. Men for å fullt ut utnytte sitt potensiale, er det viktig å være i stand til å behandle spektrale bildedata som målinger på en gyldig måte. Dette induserer behovet for metrologi, der nøyaktighet, usikkerhet og skjevhet blir adressert og kontrollert på alle nivå av bildebehandlingen.Med sikte på å utvikle et metrologisk rammeverk for spektral bildebehandling valgte vi en ikke-lineær metodikk basert på det etablerte matematisk morfologi-rammeverket. Vi har utvidet dette rammeverket til det spektrale domenet ved hjelp av en avstandsbasert sorteringsrelasjon. En ny spektral avstandsfunksjon og nye spektrale sorteringsrelasjoner ble foreslått, samt nye verktøy for spektral bildeanalyse basert på histogrammer av spektrale forskjeller.For å sikre gyldigheten av det nye spektrale rammeverket for matematisk morfologi, har vi utført en grundig teoretisk validering og metrologisk vurde-ring på hvert trinn i utviklingen. Dermed er og-så nye protokoller for kvalitetsvurdering av spektrale bildebehandlingsverktøy utviklet. Disse protokollene består av kunstige datasett for å validere de teoretiske måletekniske kravene, bildedatasett med kjente egenskaper for å vurdere robustheten og stabiliteten, og datasett fra reelle anvendelser for å bevise nytten av rammeverket i en anvendt sammenheng. De valgte anvendelsene er innenfor kulturminnefeltet, hvor de analyserte bildene er av pigmenter og malerier.