Dans ce travail, nous étudions différents invariants de nature algébrique et dynamique définis sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface fermée orientée. Occasionnellement, nous considérerons également le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de certaines variétés symplectiques de dimension supérieure. Ces invariants peuvent être vus comme des généralisations du nombre de rotation de Poincaré, et des vecteurs de rotations associés aux difféomorphismes des surfaces. D'autre part, tous ces invariants sont reliés à la théorie de la cohomologie bornée. <br /><br />Dans le premier chapitre nous construisons des quasi-morphismes sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface de genre strictement positif, qui sont des homomorphismes en restriction au sous-groupe des difféomorphismes à support dans un ouvert difféomorphe à un disque. Ces constructions sont motivées par une question de Entov et Polterovich. Dans le second chapitre nous construisons un quasi-morphisme défini sur le revêtement universel du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique monotone. <br /><br />Le troisième chapitre contient quelques résultats concernant les actions préservant l'aire sur les surfaces de réseaux dans les groupes de Lie semi-simples. Dans l'esprit du "programme de Zimmer", nous montrons comment l'existence de nombreux quasi-morphismes, combinée avec des théorèmes d'annulation en cohomologie bornée, pourrait être utile pour exclure l'existence d'actions de réseaux de rang supérieur. Le dernier chapitre contient quelques remarques autour de la distance de Hofer.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à diverses propriétés algébriques des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes de variétés. On appelle fragmentation la possibilité d'écrire un homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Tout d'abord, nous étudions la longueur des commutateurs sur le groupe des homéomorphismes du tore et de l'anneau, ainsi que la norme de fragmentation, qui associe à tout homéomorphisme le nombre minimal de facteurs nécessaires pour écrire cet homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Dans une deuxième partie de la thèse, nous abordons una autre propriété algébrique des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes : la distorsion. Celle-ci est reliée de manière surprenante à des propriétés de fragmentation des homéomorphismes.

Les deux questions de connexité auxquelles on s'intéresse concernent : – l'espace des feuilletages de codimension 1 sur une variété de dimension 3 ; – l'espace des représentations du groupe Z^2 dans le groupe des difféomorphismes lisses de l'intervalle. Le résultat principal, qu'on démontre dans la seconde partie de la thèse, est le suivant : si deux feuilletages de codimension 1 sur une variété close de dimension 3 ont des sous-fibrés tangents homotopes, on peut les relier par un chemin de feuilletages. Cet énoncé cache une subtilité : si les feuilletages donnés sont lisses, le chemin obtenu peut contenir, près de ses extrémités, des feuilletages qui ne sont que C^1. Cela vient de ce qu'on ne sait pas si l'espace des représentations de Z^2 dans les difféomorphismes de l'intervalle est connexe ou non. En tentant de répondre à cette question, on a montré le phénomène suivant qui fait l'objet de la première partie de la thèse : de nombreux difféomorphismes lisses de R+, sans autre point fixe que l'origine, ont un centralisateur C^infini non dénombrable et dense dans leur centralisateur C^1, lequel est un groupe à un paramètre. On discute également les propriétés arithmétiques de ce sous-groupe.

Au début du XXème siècle, Poincaré puis Birkhoff ont été amenés, lors de leur recherche sur le problème restreint des trois corps, à étudier les courbes invariantes par une transformation d'une surface préservant l'aire. Cinquante ans plus tard, les théorèmes KAM démontrent la persistance de courbes invariantes après perturbation en topologie de classe k plus grande ou égale à trois. On peut alors se demander ce que devient ce résultat en topologie de classe moins élevée. Par ailleurs, l'étude des dynamiques C1-génériques connaît de nombreux développements, grâce notamment au Connecting Lemma. Par exemple, Bonatti et Crovisier on démontré qu'un difféomorphisme C1-générique d'une telle surface possède un ensemble dense de points dont l'orbite sort de tout compact. Ces deux résultats permettent de penser qu'un difféomorphisme C1-générique d'une surface n'admet pas de courbes fermées simples invariantes. C'est ce que nous démontrons dans ce travail. On obtient assez facilement, en utilisant le Connecting Lemma ainsi que les propriétés topologiques de l'anneau, qu'un difféomorphisme C1-générique de l'anneau possède des points périodiques sur toute courbe fermée simple invariante. Cela se généralise à une surface quelconque en utilisant une famille dénombrable d'anneau constituant une base de voisinages d'une courbe fermée simple quelconque. La construction d'une telle famille d'anneaux est le principal résultat du premier chapitre. Il s'agit alors de supprimer les points périodiques sur les courbes invariantes. Dans un premier temps, nous nous inspirerons d'un argument qu'Herman utilise dans le cadre de courbes invariantes par les twists de l'anneau pour montrer que tous les points périodiques ne peuvent être hyperboliques. Ensuite, nous définissons une propriété, la propriété Γ, qui si elle est vérifiée par un difféomorphisme symplectique et l'un de ses points périodiques elliptiques, empêche que ce point périodique appartienne à une courbe invariante. En montrant que cette propriété est vérifiée par un difféomorphisme C1-générique et tous ses points périodiques elliptiques, nous obtenons le résultat souhaité. Dans le quatrième chapitre, nous nous employons à définir de façon rigoureuse la notion de fonction génératrice qui est l'outil classique pour perturber des difféomorphismes symplectiques

L'objectif de cette thèse est de traiter de deux aspects différents de la théorie de l'exposant de Lyapunov de cocycles de Schrödinger définis par une dynamique ergodique. Dans la première partie, on s'intéresse aux estimées de grandes déviations de type Bourgain & Goldstein pour des cocycles quasi-périodiques, puis pour ceux définis par le doublement de l'angle. Après avoir montré que seule une estimée par dessus sur une bande complexe est nécessaire pour avoir la minoration, on redémontre cette inégalité pour une dynamique quasi-périodique en utilisant des techniques de mouvement brownien en lien avec des fonctions sous-harmoniques. Ensuite on adapte la méthode au cas du doublement de l'angle pour lequel on prouve des estimées de grandes déviations sur les branches inverses de cette dynamique. Dans la deuxième partie sont étudiés des cocycles de Schrödinger dont la dynamique est une somme de dynamiques quasi-périodique et aléatoire. On démontre que, dans le régime perturbatif, les développements asymptotiques de l'exposant de Lyapunov attaché à ces cocycles sont similaires à ceux déjà démontrés dans le cas aléatoire par Figotin & Pastur ou Sadel & Schulz-Baldes. L'analyse se fait en fonction du caractère diophantien ou résonant de l'énergie par rapport à la fréquence diophantienne de la partie quasi-périodique du potentiel. / In this thesis we are interested in the Lyapunov exponent of ergodic Schrödinger cocycles. These cocycles occur in the analysis of solutions to the Schrödinger equation where the potential is defined with ergodic dynamics. We study two distinct aspects related to the the Lyapunov exponent for different kinds of dynamics. First we focus on a large deviation theorem for quasi-periodic cocycles and then for potentials defined by the doubling map. We prove that estimates of Bourgain & Goldstein type are granted if an upper estimate involved in the theorem is true on a strip of the complex plane. Then we establish a new technique to prove this upper bound in the quasi-periodic setting, based on subharmonic arguments suggested by Avila, Jitomirskaya & Sadel. We adapt afterwards the method to the doubling map and prove a large deviation theorem for the inverse branches of this dynamics. In the second part, we establish an asymptotic development similar to the results of Figotin & Pastur and Sadel & Schulz-Baldes for the Lyapunov exponent of Schrödinger cocycles at small coupling when the potential is a mixture of quasi-periodic and random. The analysis distinguishes the cases when the energy is either diophantine or resonant with respect to the frequency of the quasi-periodic part of the potential.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à diverses propriétés algébriques des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes de variétés. On appelle fragmentation la possibilité d'écrire un homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Tout d'abord, nous étudions la longueur des commutateurs sur le groupe des homéomorphismes du tore et de l'anneau, ainsi que la norme de fragmentation, qui associe à tout homéomorphisme le nombre minimal de facteurs nécessaires pour écrire cet homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Dans une deuxième partie de la thèse, nous abordons una autre propriété algébrique des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes : la distorsion. Celle-ci est reliée de manière surprenante à des propriétés de fragmentation des homéomorphismes. / In this thesis, we are interested in various algebraic properties of groups of homeomorphisms and diffeomorphisms of manifolds. We call fragmentation the possibility to write a homeomorphism as a composition of homeomorphisms supported in balls. First, we study the commutator length on the group of homeomorphisms of the torus and of the annulus, as well as the fragmentation norm, which associates to any homeomorphism the minimal number of factors necessary to write this homeomorphism as a composition of homeomorphisms supported in balls. In a second part of this thesis, we deal with another algebraic property of homeomorphism and diffeomorphism groups: the distortion. This last notion is surprisingly related to fragmentation properties of homeomorphisms.

Dans quelle mesure peut-on lire les propriétés dynamiques (quand le temps tend vers l’infini) d’un système sur des simulations numériques ? Pour tenter de répondre à cette question, on étudie dans cette thèse un modèle rendant compte de ce qui se passe lorsqu’on calcule numériquement les orbites d’un système à temps discret f (par exemple un homéomorphisme). L’ordinateur travaillant à précision numérique finie, il va remplacer f par une discrétisation spatiale de f, notée f_N (où l’ordre de la discrétisation N rend compte de la précision numérique). On s’intéresse en particulier au comportement dynamique des applications finies f_N pour un système f générique et pour l’ordre N tendant vers l’infini, où générique sera à prendre dans le sens de Baire (principalement parmi des ensembles d’homéomorphismes ou de C^1-difféomorphismes). La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude de la dynamique des discrétisations f_N lorsque f est un homéomorphisme conservatif/dissipatif générique d’une variété compacte. L’étude montre qu’il est illusoire de vouloir retrouver la dynamique du système de départ f à partir de celle d’une seule discrétisation f_N : la dynamique de f_N dépend fortement de l’ordre N. Pour détecter certaines dynamiques de f il faut considérer l’ensemble des discrétisations f_N, lorsque N parcourt N.La seconde partie traite du cas linéaire, qui joue un rôle important dans l’étude du cas des C^1-difféomorphismes génériques, abordée dans la troisième partie de cette thèse. Sous ces hypothèses, on obtient des résultats similaires à ceux établis dans la première partie, bien que plus faibles et de preuves plus difficiles. / How is it possible to read the dynamical properties (ie when the time goes to infinity) of a system on numerical simulations ? To try to answer this question, we study inthis thesis a model reflecting what happens when the orbits of a discrete time system f (for example an homeomorphism) are computed numerically. The computer working in finite numerical precision, it will replace f by a spacial discretization of f, denotedby f_N (where the order N of discretization stands for the numerical accuracy). In particular, we will be interested in the dynamical behaviour of the finite maps f_N for a generic system f and N going to infinity, where generic will be taken in the sense of Baire (mainly among sets of homeomorphisms or C^1-diffeomorphisms). The first part of this manuscript is devoted to the study of the dynamics of the discretizations f_N, when f is a generic conservative/dissipative homeomorphism of a compact manifold. We show that it would be mistaken to try to recover the dynamics of f from that of a single discretization f_N : its dynamics strongly depends on the order N. To detect some dynamical features of f we have to consider all thediscretizations f_N when N goes through N.The second part deals with the linear case, which plays an important role in the study of C^1-generic diffeomorphisms, discussed in the third part of this manuscript. Under these assumptions, we obtain results similar to those established in the first part,though weaker and harder to prove.

L’objectif à moyen terme de ce travail est d’explorer quelques formulations des problèmes d’identification de forme et de reconnaissance de surface à partir de mesures ponctuelles. Ces problèmes ont plusieurs applications importantes dans les domaines de l’imagerie médicale, de la biométrie, de la sécurité des accès automatiques et dans l’identification de structures cohérentes lagrangiennes en mécanique des fluides. Par exemple, le problème d’identification des différentes caractéristiques de la main droite ou du visage d’une population à l’autre ou le suivi d’une chirurgie à partir des données générées par un numériseur. L’objectif de ce mémoire est de préparer le terrain en passant en revue les différents outils mathématiques disponibles pour appréhender la géométrie comme variable d’optimisation ou d’identification. Pour l’identification des surfaces, on explore l’utilisation de fonctions distance ou distance orientée, et d’ensembles de niveau comme chez S. Osher et R. Fedkiw ; pour la comparaison de surfaces, on présente les constructions des métriques de Courant par A. M. Micheletti en 1972 et le point de vue de R. Azencott et A. Trouvé en 1995 qui consistent à générer des déformations d’une surface de référence via une famille de difféomorphismes. L’accent est mis sur les fondations mathématiques sous-jacentes que l’on a essayé de clarifier lorsque nécessaire, et, le cas échéant, sur l’exploration d’autres avenues. / The mid-term objective of this work is to explore some formulations of shape identification and surface recognition problems from point measurements. Those problems have important applications in medical imaging, biometrics, security of the automatic access, and in the identification of Lagrangian Coherent Structures in Fluid Mechanics. For instance, the problem of identifying the different characteristics of the right hand or the face from a population to another or the follow-up after surgery from data generated by a scanner. The objective of this mémoire is to prepare the ground by reviewing the different mathematical tools available to apprehend the geometry as an identification or optimization variable. For surface identification it explores the use of distance functions, oriented distance functions, and level sets as in S. Osher and R. Fedkiw ; for surface recognition it emphasizes the construction of Courant metrics by A. M. Micheletti in 1972 and the point of view of R. Azencott and A. Trouvé in 1995 which consists in generating deformations of a reference surface via a family of diffeomorphisms. The accent will be put on the underlying mathematical foundations that it will attempt to clarify as necessary, and, if need be, on exploring new avenues.

Ce travail comprends deux parties indépendantes, mais intimement liées. La première partie concerne le calcul et l'évaluation numérique des invariants holomorphes des difféomorphismes tangents à l'identité, dans le cas-type. On y expose notamment trois méthodes de calculs numériques, dont l'une est basée sur une formule explicite des invariants. Celle-ci résulte de l'évaluation de l'application de cornes 7[+, dont les ingrédients de base sont des rationnels, des coefficients de Taylor du difféomorphisme étudié et des multitangentes. La seconde partie concerne l'étude des multitangentes et des relations les liant entre elles. Il s'agit de fonctions I-périodiques, généralisant les séries d'Eisenstein, et définissant un moule symétr~l. D'autres relations existent, tels la réduction en monotangentes qui indique un lien profond entre les multitangentes et les multizêtas. Des propriétés et conjectures de nature purement algébrique, arithmétique ou analytique sont ensuite exposées.

L’objectif à moyen terme de ce travail est d’explorer quelques formulations des problèmes d’identification de forme et de reconnaissance de surface à partir de mesures ponctuelles. Ces problèmes ont plusieurs applications importantes dans les domaines de l’imagerie médicale, de la biométrie, de la sécurité des accès automatiques et dans l’identification de structures cohérentes lagrangiennes en mécanique des fluides. Par exemple, le problème d’identification des différentes caractéristiques de la main droite ou du visage d’une population à l’autre ou le suivi d’une chirurgie à partir des données générées par un numériseur. L’objectif de ce mémoire est de préparer le terrain en passant en revue les différents outils mathématiques disponibles pour appréhender la géométrie comme variable d’optimisation ou d’identification. Pour l’identification des surfaces, on explore l’utilisation de fonctions distance ou distance orientée, et d’ensembles de niveau comme chez S. Osher et R. Fedkiw ; pour la comparaison de surfaces, on présente les constructions des métriques de Courant par A. M. Micheletti en 1972 et le point de vue de R. Azencott et A. Trouvé en 1995 qui consistent à générer des déformations d’une surface de référence via une famille de difféomorphismes. L’accent est mis sur les fondations mathématiques sous-jacentes que l’on a essayé de clarifier lorsque nécessaire, et, le cas échéant, sur l’exploration d’autres avenues. / The mid-term objective of this work is to explore some formulations of shape identification and surface recognition problems from point measurements. Those problems have important applications in medical imaging, biometrics, security of the automatic access, and in the identification of Lagrangian Coherent Structures in Fluid Mechanics. For instance, the problem of identifying the different characteristics of the right hand or the face from a population to another or the follow-up after surgery from data generated by a scanner. The objective of this mémoire is to prepare the ground by reviewing the different mathematical tools available to apprehend the geometry as an identification or optimization variable. For surface identification it explores the use of distance functions, oriented distance functions, and level sets as in S. Osher and R. Fedkiw ; for surface recognition it emphasizes the construction of Courant metrics by A. M. Micheletti in 1972 and the point of view of R. Azencott and A. Trouvé in 1995 which consists in generating deformations of a reference surface via a family of diffeomorphisms. The accent will be put on the underlying mathematical foundations that it will attempt to clarify as necessary, and, if need be, on exploring new avenues.