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Schémas boîte hermitiens : algorithmes rapides pour la discrétisation des équations aux dérivés partielles / Hermitian box schemes : fast solvers for the discretisation of partial differential equations

Abbas, Ali 09 November 2011 (has links)
Dans ma thèse, je présente un nouveau schéma aux différences d'ordre 4 pour le problème de Poisson dans un carré et dans un cube avec conditions limites de Dirichlet. Ce schéma généralise l'approche donnée par Croisille en Compting 2006. La conception du schéma est basée sur une formulation mixte combinant l'approximation de gradient par une dérivée hermitienne d'ordre 4 avec une formulation conservative discrète sur des boîtes de longueur 2h. L'étude comporte les deux aspects suivants.• Premièrement, montrer qu'une précision d'ordre 4 est obtenue pour les deux inconnues, la solution et son gradient.• Deuxièmement, donner un algorithme de résolution directe rapide basé sur la formule de Sherman-Morrison-Woodbury et la transformée en sinus rapide. Plusieurs résultats numériques montrent que la complexité algorithmique est en O(N^2 log_2 (N )) en dimension 2 et O(N^3 log_2 (N )) en dimension 3.De très bonnes performances de calcul ont été obtenues sur une machine de bureau. A titre d'exemple, un calcul sur un maillage 1024 × 1024 est effectué en moins de cinq secondes sur un PC ordinaire. Ce solveur sert de pré conditionnement des problèmes elliptiques non réguliers. Une autre application concerne les maillages cartésiens multiéchelle. Ce type de maillages permet une résolution locale également d'ordre 4 sur des zones raffinées. Le raffinement est récursif. Les schémas boîte sont actuellement de plus en plus étudiés. Ils sont étudiés par I. Greff en 2003 pour différents problèmes elliptiques avec les méthodes d'éléments finis. Ils ont été récemment étudié par J.B. Perot en 2007.Les perspectives principales de ce travail sont les suivantes :- Généralisation des schémas boîte sur une grille cartésienne à des problèmes avec obstacles.La méthode envisagée est de type “embedded boundary”.- Utilisation du schéma présenté pour des applications en physique des particules.L'opérateur de moyenne Π^0 f_{i,j} correspond à la charge électrique dans la boîte K_{i,j} . Le schéma sert dans ce cas à calculer le potentiel et le champ électromagnétique.- Utilisation du schéma pour des modèles complexes d'équations elliptiques, comme MEMS(Microelectromechanical Systems), travail récent des Prof. Ghoussoub, Ward, Lindsay, et des équations modélisant des streamers, projet actuel à CWI du Prof. Hundsdorfer / My work is devoted to both Applied Mathematics and Scientific Computing. Concerning Scientific Computing I worked on the design and implementation of efficient fast solvers which are a crucialissue to perform practical computations. The use of such solvers in canonical geometries is at theheart of many computing codes in physics. Examples are fluid dynamics (compressible or incom-pressible Navier-Stokes equations), the Helmholtz equation, problems in astrophysics or in geophysics.In my thesis entitled « Hermitian Box Scheme - Fast Algorithms to solve Partial Differential Equations » supervised by Prof. J.P. Croisille 1 , I have developed a new compact scheme called “Hermitian Box” scheme. The focus is on Cartesian or cubic geometries with an emphasis on the fast resolution procedure. It extends the approach given by Croisille in Computing 2006. The design is based on a “Hermitian Box” approach, combining approximations of the gradient and of a discrete form of the conservation equations of “boxes” of length 2h.The main properties of the new scheme is that it is fourth order accurate for the unknown u andits gradient ∇u and satisfy the maximum principles. The code that is developed so far treats the Poisson problem in one, two and three dimensions. This problem is still the bottleneck of many computing codes in physics such as particle/grids problems in electromagnetism, gravitation, ... etc.As a first example of the computing efficiency of the new scheme we give the results obtained sofar for the three-dimensional Poisson problem in a cube−∆u(x, y, z) = f (x, y, z), in Ω = ]0, 1[x]0,1[x]0,1[,u = g, on ∂Ω.In the numerical tables, we report the maximum errors for the “Hermitian Box” (HB) scheme with different grids. The numerical results show that the HB scheme achieves fourth order convergence rate for both u and ∇u. We compare the accuracy of our scheme with the five points Laplacian scheme (CDS). The scheme CDS achieves a second order convergence rate. We note that the HB scheme yields a solution which is more accurate than that by CDS. For example, to obtain a solution with maximum error 10−4 , CDS needs a mesh-size h = 1/64, but HB only needs a mesh-size h = 1/8. If this fact is translated into CPU time, we see that HB scheme is hundreds of times faster than CDS to provide a numerically calculated solution of same accuracy.Our scheme was also used for the discretization of non separable elliptic problems in two dimensions such as−div(a(x, y)∇u(x, y)) = f (x, y), in Ω =]a, b[×]c, d[,u = g, on ∂Ω.Where a(x,y) is a regular function satisfying 0 < a(x, y) for (x, y) ∈ Ω.Meanwhile, due to the high accuracy on the boundary, the HB scheme was found very accurate when coupled to a Local Defect Correction technique in cases where the solution has a steep gradient in a small domain Ω_l
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Apprentissage actif par modèles locaux

Bondu, Alexis 24 November 2008 (has links) (PDF)
Les méthodes d'apprentissage statistiques exploitent des exemples, pour enseigner un comportement à un modèle prédictif. La classification supervisée requiert des exemples étiquetés. En pratique, l'étiquetage des exemples peut se révélé coûteux. Dans certain cas, l'étiquetage implique un expert humain, un instrument de mesure, un temps de calcul élevé...etc. Les méthodes d'apprentissage actif réduisent le coût de préparation des données d'apprentissage. Ces méthodes cherchent à étiqueter uniquement les exemples les plus utiles à l'apprentissage d'un modèle. Les travaux présentés dans ce manuscrit sont réalisés dans le cadre de l'échantillonnage sélectif, qui n'autorise pas les stratégies actives à générer de nouveaux exemples d'apprentissage. Les stratégies actives de la littérature utilisent généralement des modèles globaux à l'espace des variables d'entrées. Nous proposons dans ce manuscrit une stratégie originale qui effectue un partitionnement dichotomique récursif de l'espace d'entrée. Cette stratégie met en compétition les modèles locaux à chacune des zones, pour choisir les exemples à étiqueter. Notre stratégie décide “quand” couper une zone et “où” la couper. Une amélioration possible consiste `a exploiter une méthode de discrétisation pour prendre ces deux décisions. L'extension de l'approche de discrétisation MODL au cas de l'apprentissage semi-supervisé constitue un des apports majeurs de cette thèse. Nous proposons une deuxième amélioration qui consiste à sélectionner, localement à la meilleure zone, l'exemple le plus utile à l'apprentissage du modèle local. Nous proposons une stratégie active originale, qui maximise la probabilité des modèles de discrétisation connaissant les données et l'exemple candidat à l'étiquetage.
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Méthodes d’éléments finis a posteriori pour les équations de Reissner-Mindlin / Finite element method for the Reissner-Mindlin system

Verhille, Emmanuel 04 July 2012 (has links)
Ce travail est consacré à l’étude d’estimateurs d'erreur a posteriori de type flux équilibrés et résiduels pour la résolution des équations de Reissner-Mindlin par la méthode des éléments finis. Le mémoire débute par l'introduction du problème aux limites et de son analyse de convergence a priori par la méthode des éléments finis. Nous construisons alors pour une discrétisation conforme un estimateur a posteriori de type flux équilibrés fiable, efficace et robuste en l'épaisseur de la plaque t. Nous obtenons finalement une constante multiplicative égale à 1 pour la fiabilité. Des tests numériques illustrent nos résultats pour différents maillages. Puis nous abordons le cas d’une discrétisation non-conforme, où nous proposons un estimateur a posteriori de type résiduel, utilisant une régularisation de la solution discrète. Des tests numériques illustrent également nos résultats. La suite du travail reprend la discrétisation conforme en construisant un estimateur a posteriori défini à partir de la résolution de problèmes localisés sur les patchs de la triangulation, menant à un choix plus consistant avec le problème aux limites. Le dernier chapitre est consacré à l'estimation a posteriori pour le problème aux valeurs propres de Reissner-Mindlin. L’estimateur obtenu est fiable et efficace pour la norme de l'erreur entre les vecteurs propres, permettant également de majorer l’erreur commise entre les valeurs propres. Des tests numériques illustrent nos résultats. / This work is devoted to the study of equilibrated fluxes and residual a posteriori error estimators for the finite element resolution of the Reissner-Mindlin system. This report begins by the introduction of the boundary value problem and of its a priori convergence analysis in the finite element method context. Then, an equilibrated fluxes a posteriori estimator is built for a conform discretization, which is proven to be reliable, efficient and robust on the plate thickness t. We finally obtain a multiplicative constant equal to 1 for the reliability. Numerical tests illustrate our results on different meshes. Then, we address the non-conforming discretization case, where a residual a posteriori estimator is proposed using a regularisation of the discrete solution. Numerical tests also illustrate our results. Next we come back to the conform discretization by building an a posteriori estimator defined from localised problems resolution on stars, leading to a consistent choice with the boundary value problem. The last chapter is devoted to an a posteriori estimation for the Reissner-Mindlin eigenvalues problem. The obtained estimator is reliable and efficient for the error norm between the eigenvectors, also allowing to evaluate the error between the eigenvalues. Numerical tests illustrate our results.
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Opérateurs discrets compatibles pour la discrétisation sur maillages polyédriques des équations elliptiques et de Stokes / Compatible discrete operator schemes on polyhedral meshes for elliptic and Stokes equations

Bonelle, Jérôme 21 November 2014 (has links)
Cette thèse présente une nouvelle classe de schémas de discrétisation spatiale sur maillages polyédriques, nommée Compatible Discrete Operator (CDO) et en étudie l'application aux équations elliptiques et de Stokes. La préservation au niveau discret des caractéristiques essentielles du système continu sert de fil conducteur à la construction des opérateurs. Les opérateurs de de Rham définissent les degrés de liberté en accord avec la nature physique des champs à discrétiser. Les équations sont décomposées de manière à différencier les relations topologiques (lois de conservation) des relations constitutives (lois de fermeture).Les relations topologiques sont associées à des opérateurs différentiels discrets et les relations constitutives à des opérateurs de Hodge discrets. Une particularité de l'approche CDO est l'utilisation explicite d'un second maillage, dit dual, pour bâtir l'opérateur de Hodge discret. Deux familles de schémas CDO sont ainsi considérées : les schémas vertex-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage (primal), et les schémas cell-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage dual (les sommets duaux étant en bijection avec les cellules primales).Les schémas CDO associés à ces deux familles sont présentés et leur convergence est analysée. Une première analyse s'appuie sur une définition algébrique de l'opérateur de Hodge discret et permet d'identifier trois propriétés clés : symétrie, stabilité et $mathbb{P}_0$-consistance. Une seconde analyse s'appuie sur une définition de l'opérateur de Hodge discret à l'aide d'opérateurs de reconstruction pour lesquels sont identifiées les propriétés à satisfaire. Par ailleurs, les schémas CDO fournissent une vision unifiée d'une large gamme de schémas de la littérature (éléments finis, volumes finis, schémas mimétiques…).Enfin, la validité et l'efficacité de l'approche CDO sont illustrées sur divers cas tests et plusieurs maillages polyédriques / This thesis presents a new class of spatial discretization schemes on polyhedral meshes, called Compatible Discrete Operator (CDO) schemes and their application to elliptic and Stokes equations. In CDO schemes, preserving the structural properties of the continuous equations is the leading principle to design the discrete operators. De Rham maps define the degrees of freedom according to the physical nature of fields to discretize. CDO schemes operate a clear separation between topological relations (balance equations) and constitutive relations (closure laws).Topological relations are related to discrete differential operators, and constitutive relations to discrete Hodge operators. A feature of CDO schemes is the explicit use of a second mesh, called dual mesh, to build the discrete Hodge operator. Two families of CDO schemes are considered: vertex-based schemes where the potential is located at (primal) mesh vertices, and cell-based schemes where the potential is located at dual mesh vertices (dual vertices being in one-to-one correspondence with primal cells).The CDO schemes related to these two families are presented and their convergence is analyzed. A first analysis hinges on an algebraic definition of the discrete Hodge operator and allows one to identify three key properties: symmetry, stability, and $mathbb{P}_0$-consistency. A second analysis hinges on a definition of the discrete Hodge operator using reconstruction operators, and the requirements on these reconstruction operators are identified. In addition, CDO schemes provide a unified vision on a broad class of schemes proposed in the literature (finite element, finite element, mimetic schemes...).Finally, the reliability and the efficiency of CDO schemes are assessed on various test cases and several polyhedral meshes
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Couplage Methodes Multipoles - Discretisation Microlocale pour les Equations Integrales de l'Electromagnetisme

Darrigrand, Eric 26 September 2002 (has links) (PDF)
La résolution des équations intégrales liées aux problèmes de propagation des ondes est confrontée aux limitations des moyens informatiques pour la considération des problèmes à hautes fréquences. Nous proposons dans ce mémoire de thèse, un couplage de deux types de méthodes ayant pour but de réduire les couts de calcul et la place mémoire consommée lors de la résolution de ces équations intégrales par méthode itérative. La méthode de discrétisation microlocale introduite par T. Abboud, J.-C. Nédélec et B. Zhou, permet de réduire considérablement la taille du système par approximation de la phase de l'inconnue. Cependant, elle nécessite un précalcul très couteux. Nous utilisons alors le principe des méthodes multipoles rapides introduites par V. Rokhlin, pour accélérer ce précalcul. Cette application originale des méthodes multipoles dans le cadre d'une discrétisation microlocale aboutit à une méthode dont l'application à la formulation intégrale de B. Després pour l'équation de Helmholtz est très efficace. Son application à la résolution des équations de Maxwell bien que moins spectaculaire est tout de meme intéressante.
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Préparation non paramétrique des données pour la fouille de données multi-tables

Lahbib, Dhafer 06 December 2012 (has links) (PDF)
Dans la fouille de données multi-tables, les données sont représentées sous un format relationnel dans lequel les individus de la table cible sont potentiellement associés à plusieurs enregistrements dans des tables secondaires en relation un-à-plusieurs. Afin de prendre en compte les variables explicatives secondaires (appartenant aux tables secondaires), la plupart des approches existantes opèrent par mise à plat, obtenant ainsi une représentation attribut-valeur classique. Par conséquent, on perd la représentation initiale naturellement compacte mais également on risque d'introduire des biais statistiques. Dans cette thèse, nous nous intéressons à évaluer directement les variables secondaires vis-à-vis de la variable cible, dans un contexte de classification supervisée. Notre méthode consiste à proposer une famille de modèles non paramétriques pour l'estimation de la densité de probabilité conditionnelle des variables secondaires. Cette estimation permet de prendre en compte les variables secondaires dans un classifieur de type Bayésien Naïf. L'approche repose sur un prétraitement supervisé des variables secondaires, par discrétisation dans le cas numérique et par groupement de valeurs dans le cas catégoriel. Dans un premier temps, ce prétraitement est effectué de façon univariée, c'est-à-dire, en considérant une seule variable secondaire à la fois. Dans un second temps, nous proposons une approche de partitionnement multivarié basé sur des itemsets de variables secondaires, ce qui permet de prendre en compte les éventuelles corrélations qui peuvent exister entre variables secondaires. Des modèles en grilles de données sont utilisés pour obtenir des critères Bayésiens permettant d'évaluer les prétraitements considérés. Des algorithmes combinatoires sont proposés pour optimiser efficacement ces critères et obtenir les meilleurs modèles.Nous avons évalué notre approche sur des bases de données multi-tables synthétiques et réelles. Les résultats montrent que les critères d'évaluation ainsi que les algorithmes d'optimisation permettent de découvrir des variables secondaires pertinentes. De plus, le classifieur Bayésien Naïf exploitant les prétraitements effectués permet d'obtenir des taux de prédiction importants.
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Modélisation en risque de crédit. Calibration et discrétisation de modèles financiers

Alfonsi, Aurélien 06 1900 (has links) (PDF)
Le premier volet de cette thèse traite du marché du risque de crédit. Après un bref chapitre introductif à ce marché et à sa modélisation, nous introduisons un modèle à intensité de défaut baptisé SSRD pour Shifted Square-Root Diffusion. Ce modèle a pour qualité principale de pouvoir être automatiquement calibré aux prix des Credit Default Swaps observés sur le marché. En outre, il permet d'avoir une intensité de défaut et un taux d'intérêt dépendants entre eux. Ensuite, nous présentons une nouvelle classe de fonctions copules appelées "copules périodiques" car leur construction est basée sur des fonctions périodiques. Les copules interviennent en risque de crédit dans la modélisation jointe de plusieurs instants de défaut. Les copules périodiques permettent de balayer un large spectre de dépendances, de C- à C+ en passant par C
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Estimation récursive de la mesure invariante d'un processus de diffusion.

Lemaire, Vincent 08 December 2005 (has links) (PDF)
L'objet de la thèse est l'étude d'un algorithme, simple d'implémentation et récursif, permettant de calculer l'intégrale d'une fonction par rapport à la probabilité invariante d'un processus solution d'une équation différentielle stochastique de dimension finie. <br /> La principale hypothèse sur ces solutions (diffusions) est l'existence d'une fonction de Lyapounov garantissant une condition de stabilité. Par le théorème ergodique on sait que les mesures empiriques de la diffusion convergent vers une mesure invariante. Nous étudions une convergence similaire lorsque la diffusion est discrétisée par un schéma d'Euler de pas décroissant. Nous prouvons que les mesures empiriques pondérées de ce schéma convergent vers la mesure invariante de la diffusion, et qu'il est possible d'intégrer des fonctions exponentielles lorsque le coefficient de diffusion est suffisamment petit. De plus, pour une classe de diffusions plus restreinte, nous prouvons la convergence presque sûre et dans Lp du schéma d'Euler vers la diffusion.<br /> Nous obtenons des vitesses de convergence pour les mesures empiriques pondérées et donnons les paramètres permettant une vitesse optimale. Nous finissons l'étude de ce schéma lorsqu'il y a présence de multiples mesures invariantes. Cette étude se fait en dimension 1, et nous permet de mettre en évidence un lien entre classification de Feller et fonctions de Lyapounov.<br /> Dans la dernière partie, nous exposons un nouvel algorithme adaptatif permettant de considérer des problèmes plus généraux tels que les systèmes Hamiltoniens ou les systèmes monotones. Il s'agit de considérer les mesures empiriques d'un schéma d'Euler construit à partir d'une suite de pas aléatoires adaptés dominée par une suite décroissant vers 0.
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Une méthode de calcul des modes de vibrations non linéaires de structures

Arquier, Remi 30 April 2007 (has links) (PDF)
Cette thèse vise à fournir et éprouver de nouveaux outils théoriques, numériques et informatiques de calculs de modes non linéaires pour des structures à non linéarité géométrique et discrétisées par éléments finis. La surface invariane de l'espace des phases caractérisant le mode non linéaire est décrite à partir d'une famille d'orbites périodiques solutions des équations du mouvement. Chaque orbite périodique est discrétisée en temps (schéma de Newmark et de Simo) et formulée à l'aide d'un système d'équation global contenant toutes les inconnues à tous les pas de temps, c'est la méthode simultanée, par opposition à la méthode de tir classique. Les familles d'orbites solutions du système global sont obtenues par la méthode de continuation MAN (Méthode Asymptotique Numérique). Des variations autour de la MAN sont aussi abordées. Il s'agit d'apports liés au contrôle de la continuation au passage des points de bifurcations à l'aide d'une perturbation ajoutée au système d'équation non linéaire. On présente un outil-logiciel, MANLAB, permettant la continuation interactive de diagrammes de bifurcation complexes, qui est appliquée à la continuation de famille d'orbites périodiques.
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Simulation dynamique et applications robotiques

Joukhadar, Ammar 02 June 1997 (has links) (PDF)
Nous décrivons, dans cette thèse, des modèles et des algorithmes conçus pour produire des simulations dynamiques efficaces et consistantes, dans le contexte de la Robotique d'intervention (c'est-à-dire, pour les tâches robotiques qui impliquent des contraintes fortes sur la nature de l'interaction entre des objets qui ne sont pas forcément rigides). Ces modèles et ces algorithmes ont été intégrés et implantés dans le système Robot_Phy qui peut être potentiellement reconfiguré pour traiter une grande variété de tâches d'intervention, comme la manipulation dextre d'un objet par une main robotique, la manipulation d'un objet non rigide, la téléprogrammation du mouvement d'un véhicule tout-terrain, ou encore des tâches chirurgicales assistées par robot (par exemple, le positionnement d'un ligament artificiel dans la chirurgie du genou). L'approche utilise une nouvelle technique de modélisation physique pour produire des simulations dynamiques qui sont à la fois efficaces et consistantes avec les lois de la physique. Les avantages par rapport aux travaux antérieurs dans le domaine de la robotique et de la synthèse d'image sont: le développement d'une structure unique pour traiter simultanément le mouvement, les déformations, et les interactions; et l'incorporation d'algorithmes et de modèles appropriés pour obtenir un temps d'exécution efficace en assurant un comportement consistant avec les lois de la physique. Les contributions principales de ce système sont: l'intégration de la notion du système masse/ressort avec la dynamique d'objets rigides, la discrétisation adaptative basée sur la notion de matrice d'inertie et de centre d'inertie, le pas de temps adaptatif basé sur la notion de l'énergie mécanique pour optimiser le temps de calcul et éviter la divergence numérique, la détection rapide du contact entre polyèdres déformables, et l'identification des paramètres physiques en utilisant les algorithmes génétiques.

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