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Schémas boîte hermitiens : algorithmes rapides pour la discrétisation des équations aux dérivés partielles / Hermitian box schemes : fast solvers for the discretisation of partial differential equations

Abbas, Ali 09 November 2011 (has links)
Dans ma thèse, je présente un nouveau schéma aux différences d'ordre 4 pour le problème de Poisson dans un carré et dans un cube avec conditions limites de Dirichlet. Ce schéma généralise l'approche donnée par Croisille en Compting 2006. La conception du schéma est basée sur une formulation mixte combinant l'approximation de gradient par une dérivée hermitienne d'ordre 4 avec une formulation conservative discrète sur des boîtes de longueur 2h. L'étude comporte les deux aspects suivants.• Premièrement, montrer qu'une précision d'ordre 4 est obtenue pour les deux inconnues, la solution et son gradient.• Deuxièmement, donner un algorithme de résolution directe rapide basé sur la formule de Sherman-Morrison-Woodbury et la transformée en sinus rapide. Plusieurs résultats numériques montrent que la complexité algorithmique est en O(N^2 log_2 (N )) en dimension 2 et O(N^3 log_2 (N )) en dimension 3.De très bonnes performances de calcul ont été obtenues sur une machine de bureau. A titre d'exemple, un calcul sur un maillage 1024 × 1024 est effectué en moins de cinq secondes sur un PC ordinaire. Ce solveur sert de pré conditionnement des problèmes elliptiques non réguliers. Une autre application concerne les maillages cartésiens multiéchelle. Ce type de maillages permet une résolution locale également d'ordre 4 sur des zones raffinées. Le raffinement est récursif. Les schémas boîte sont actuellement de plus en plus étudiés. Ils sont étudiés par I. Greff en 2003 pour différents problèmes elliptiques avec les méthodes d'éléments finis. Ils ont été récemment étudié par J.B. Perot en 2007.Les perspectives principales de ce travail sont les suivantes :- Généralisation des schémas boîte sur une grille cartésienne à des problèmes avec obstacles.La méthode envisagée est de type “embedded boundary”.- Utilisation du schéma présenté pour des applications en physique des particules.L'opérateur de moyenne Π^0 f_{i,j} correspond à la charge électrique dans la boîte K_{i,j} . Le schéma sert dans ce cas à calculer le potentiel et le champ électromagnétique.- Utilisation du schéma pour des modèles complexes d'équations elliptiques, comme MEMS(Microelectromechanical Systems), travail récent des Prof. Ghoussoub, Ward, Lindsay, et des équations modélisant des streamers, projet actuel à CWI du Prof. Hundsdorfer / My work is devoted to both Applied Mathematics and Scientific Computing. Concerning Scientific Computing I worked on the design and implementation of efficient fast solvers which are a crucialissue to perform practical computations. The use of such solvers in canonical geometries is at theheart of many computing codes in physics. Examples are fluid dynamics (compressible or incom-pressible Navier-Stokes equations), the Helmholtz equation, problems in astrophysics or in geophysics.In my thesis entitled « Hermitian Box Scheme - Fast Algorithms to solve Partial Differential Equations » supervised by Prof. J.P. Croisille 1 , I have developed a new compact scheme called “Hermitian Box” scheme. The focus is on Cartesian or cubic geometries with an emphasis on the fast resolution procedure. It extends the approach given by Croisille in Computing 2006. The design is based on a “Hermitian Box” approach, combining approximations of the gradient and of a discrete form of the conservation equations of “boxes” of length 2h.The main properties of the new scheme is that it is fourth order accurate for the unknown u andits gradient ∇u and satisfy the maximum principles. The code that is developed so far treats the Poisson problem in one, two and three dimensions. This problem is still the bottleneck of many computing codes in physics such as particle/grids problems in electromagnetism, gravitation, ... etc.As a first example of the computing efficiency of the new scheme we give the results obtained sofar for the three-dimensional Poisson problem in a cube−∆u(x, y, z) = f (x, y, z), in Ω = ]0, 1[x]0,1[x]0,1[,u = g, on ∂Ω.In the numerical tables, we report the maximum errors for the “Hermitian Box” (HB) scheme with different grids. The numerical results show that the HB scheme achieves fourth order convergence rate for both u and ∇u. We compare the accuracy of our scheme with the five points Laplacian scheme (CDS). The scheme CDS achieves a second order convergence rate. We note that the HB scheme yields a solution which is more accurate than that by CDS. For example, to obtain a solution with maximum error 10−4 , CDS needs a mesh-size h = 1/64, but HB only needs a mesh-size h = 1/8. If this fact is translated into CPU time, we see that HB scheme is hundreds of times faster than CDS to provide a numerically calculated solution of same accuracy.Our scheme was also used for the discretization of non separable elliptic problems in two dimensions such as−div(a(x, y)∇u(x, y)) = f (x, y), in Ω =]a, b[×]c, d[,u = g, on ∂Ω.Where a(x,y) is a regular function satisfying 0 < a(x, y) for (x, y) ∈ Ω.Meanwhile, due to the high accuracy on the boundary, the HB scheme was found very accurate when coupled to a Local Defect Correction technique in cases where the solution has a steep gradient in a small domain Ω_l
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Méthodes d’éléments finis a posteriori pour les équations de Reissner-Mindlin / Finite element method for the Reissner-Mindlin system

Verhille, Emmanuel 04 July 2012 (has links)
Ce travail est consacré à l’étude d’estimateurs d'erreur a posteriori de type flux équilibrés et résiduels pour la résolution des équations de Reissner-Mindlin par la méthode des éléments finis. Le mémoire débute par l'introduction du problème aux limites et de son analyse de convergence a priori par la méthode des éléments finis. Nous construisons alors pour une discrétisation conforme un estimateur a posteriori de type flux équilibrés fiable, efficace et robuste en l'épaisseur de la plaque t. Nous obtenons finalement une constante multiplicative égale à 1 pour la fiabilité. Des tests numériques illustrent nos résultats pour différents maillages. Puis nous abordons le cas d’une discrétisation non-conforme, où nous proposons un estimateur a posteriori de type résiduel, utilisant une régularisation de la solution discrète. Des tests numériques illustrent également nos résultats. La suite du travail reprend la discrétisation conforme en construisant un estimateur a posteriori défini à partir de la résolution de problèmes localisés sur les patchs de la triangulation, menant à un choix plus consistant avec le problème aux limites. Le dernier chapitre est consacré à l'estimation a posteriori pour le problème aux valeurs propres de Reissner-Mindlin. L’estimateur obtenu est fiable et efficace pour la norme de l'erreur entre les vecteurs propres, permettant également de majorer l’erreur commise entre les valeurs propres. Des tests numériques illustrent nos résultats. / This work is devoted to the study of equilibrated fluxes and residual a posteriori error estimators for the finite element resolution of the Reissner-Mindlin system. This report begins by the introduction of the boundary value problem and of its a priori convergence analysis in the finite element method context. Then, an equilibrated fluxes a posteriori estimator is built for a conform discretization, which is proven to be reliable, efficient and robust on the plate thickness t. We finally obtain a multiplicative constant equal to 1 for the reliability. Numerical tests illustrate our results on different meshes. Then, we address the non-conforming discretization case, where a residual a posteriori estimator is proposed using a regularisation of the discrete solution. Numerical tests also illustrate our results. Next we come back to the conform discretization by building an a posteriori estimator defined from localised problems resolution on stars, leading to a consistent choice with the boundary value problem. The last chapter is devoted to an a posteriori estimation for the Reissner-Mindlin eigenvalues problem. The obtained estimator is reliable and efficient for the error norm between the eigenvectors, also allowing to evaluate the error between the eigenvalues. Numerical tests illustrate our results.
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Apprentissage actif par modèles locaux

Bondu, Alexis 24 November 2008 (has links) (PDF)
Les méthodes d'apprentissage statistiques exploitent des exemples, pour enseigner un comportement à un modèle prédictif. La classification supervisée requiert des exemples étiquetés. En pratique, l'étiquetage des exemples peut se révélé coûteux. Dans certain cas, l'étiquetage implique un expert humain, un instrument de mesure, un temps de calcul élevé...etc. Les méthodes d'apprentissage actif réduisent le coût de préparation des données d'apprentissage. Ces méthodes cherchent à étiqueter uniquement les exemples les plus utiles à l'apprentissage d'un modèle. Les travaux présentés dans ce manuscrit sont réalisés dans le cadre de l'échantillonnage sélectif, qui n'autorise pas les stratégies actives à générer de nouveaux exemples d'apprentissage. Les stratégies actives de la littérature utilisent généralement des modèles globaux à l'espace des variables d'entrées. Nous proposons dans ce manuscrit une stratégie originale qui effectue un partitionnement dichotomique récursif de l'espace d'entrée. Cette stratégie met en compétition les modèles locaux à chacune des zones, pour choisir les exemples à étiqueter. Notre stratégie décide “quand” couper une zone et “où” la couper. Une amélioration possible consiste `a exploiter une méthode de discrétisation pour prendre ces deux décisions. L'extension de l'approche de discrétisation MODL au cas de l'apprentissage semi-supervisé constitue un des apports majeurs de cette thèse. Nous proposons une deuxième amélioration qui consiste à sélectionner, localement à la meilleure zone, l'exemple le plus utile à l'apprentissage du modèle local. Nous proposons une stratégie active originale, qui maximise la probabilité des modèles de discrétisation connaissant les données et l'exemple candidat à l'étiquetage.
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Opérateurs discrets compatibles pour la discrétisation sur maillages polyédriques des équations elliptiques et de Stokes / Compatible discrete operator schemes on polyhedral meshes for elliptic and Stokes equations

Bonelle, Jérôme 21 November 2014 (has links)
Cette thèse présente une nouvelle classe de schémas de discrétisation spatiale sur maillages polyédriques, nommée Compatible Discrete Operator (CDO) et en étudie l'application aux équations elliptiques et de Stokes. La préservation au niveau discret des caractéristiques essentielles du système continu sert de fil conducteur à la construction des opérateurs. Les opérateurs de de Rham définissent les degrés de liberté en accord avec la nature physique des champs à discrétiser. Les équations sont décomposées de manière à différencier les relations topologiques (lois de conservation) des relations constitutives (lois de fermeture).Les relations topologiques sont associées à des opérateurs différentiels discrets et les relations constitutives à des opérateurs de Hodge discrets. Une particularité de l'approche CDO est l'utilisation explicite d'un second maillage, dit dual, pour bâtir l'opérateur de Hodge discret. Deux familles de schémas CDO sont ainsi considérées : les schémas vertex-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage (primal), et les schémas cell-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage dual (les sommets duaux étant en bijection avec les cellules primales).Les schémas CDO associés à ces deux familles sont présentés et leur convergence est analysée. Une première analyse s'appuie sur une définition algébrique de l'opérateur de Hodge discret et permet d'identifier trois propriétés clés : symétrie, stabilité et $mathbb{P}_0$-consistance. Une seconde analyse s'appuie sur une définition de l'opérateur de Hodge discret à l'aide d'opérateurs de reconstruction pour lesquels sont identifiées les propriétés à satisfaire. Par ailleurs, les schémas CDO fournissent une vision unifiée d'une large gamme de schémas de la littérature (éléments finis, volumes finis, schémas mimétiques…).Enfin, la validité et l'efficacité de l'approche CDO sont illustrées sur divers cas tests et plusieurs maillages polyédriques / This thesis presents a new class of spatial discretization schemes on polyhedral meshes, called Compatible Discrete Operator (CDO) schemes and their application to elliptic and Stokes equations. In CDO schemes, preserving the structural properties of the continuous equations is the leading principle to design the discrete operators. De Rham maps define the degrees of freedom according to the physical nature of fields to discretize. CDO schemes operate a clear separation between topological relations (balance equations) and constitutive relations (closure laws).Topological relations are related to discrete differential operators, and constitutive relations to discrete Hodge operators. A feature of CDO schemes is the explicit use of a second mesh, called dual mesh, to build the discrete Hodge operator. Two families of CDO schemes are considered: vertex-based schemes where the potential is located at (primal) mesh vertices, and cell-based schemes where the potential is located at dual mesh vertices (dual vertices being in one-to-one correspondence with primal cells).The CDO schemes related to these two families are presented and their convergence is analyzed. A first analysis hinges on an algebraic definition of the discrete Hodge operator and allows one to identify three key properties: symmetry, stability, and $mathbb{P}_0$-consistency. A second analysis hinges on a definition of the discrete Hodge operator using reconstruction operators, and the requirements on these reconstruction operators are identified. In addition, CDO schemes provide a unified vision on a broad class of schemes proposed in the literature (finite element, finite element, mimetic schemes...).Finally, the reliability and the efficiency of CDO schemes are assessed on various test cases and several polyhedral meshes
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Préparation non paramétrique des données pour la fouille de données multi-tables

Lahbib, Dhafer 06 December 2012 (has links) (PDF)
Dans la fouille de données multi-tables, les données sont représentées sous un format relationnel dans lequel les individus de la table cible sont potentiellement associés à plusieurs enregistrements dans des tables secondaires en relation un-à-plusieurs. Afin de prendre en compte les variables explicatives secondaires (appartenant aux tables secondaires), la plupart des approches existantes opèrent par mise à plat, obtenant ainsi une représentation attribut-valeur classique. Par conséquent, on perd la représentation initiale naturellement compacte mais également on risque d'introduire des biais statistiques. Dans cette thèse, nous nous intéressons à évaluer directement les variables secondaires vis-à-vis de la variable cible, dans un contexte de classification supervisée. Notre méthode consiste à proposer une famille de modèles non paramétriques pour l'estimation de la densité de probabilité conditionnelle des variables secondaires. Cette estimation permet de prendre en compte les variables secondaires dans un classifieur de type Bayésien Naïf. L'approche repose sur un prétraitement supervisé des variables secondaires, par discrétisation dans le cas numérique et par groupement de valeurs dans le cas catégoriel. Dans un premier temps, ce prétraitement est effectué de façon univariée, c'est-à-dire, en considérant une seule variable secondaire à la fois. Dans un second temps, nous proposons une approche de partitionnement multivarié basé sur des itemsets de variables secondaires, ce qui permet de prendre en compte les éventuelles corrélations qui peuvent exister entre variables secondaires. Des modèles en grilles de données sont utilisés pour obtenir des critères Bayésiens permettant d'évaluer les prétraitements considérés. Des algorithmes combinatoires sont proposés pour optimiser efficacement ces critères et obtenir les meilleurs modèles.Nous avons évalué notre approche sur des bases de données multi-tables synthétiques et réelles. Les résultats montrent que les critères d'évaluation ainsi que les algorithmes d'optimisation permettent de découvrir des variables secondaires pertinentes. De plus, le classifieur Bayésien Naïf exploitant les prétraitements effectués permet d'obtenir des taux de prédiction importants.
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Ecoulements en milieux fracturés : vers une intégration des approches discrètes et continues.

Delorme, Matthieu 02 April 2015 (has links) (PDF)
Simuler les réservoirs souterrains permet d’optimiser la production d’hydrocarbures. Les réservoirs naturellement ou hydrauliquement fracturés détiennent une part importante des réserves et exhibent un degré élevé d’hétérogénéité : les fractures, difficiles à détecter, impactent fortement la production via des réseaux préférentiels d’écoulement. Une modélisation précise de ces forts contrastes permettrait d’optimiser l’exploitation des ressources tout en maîtrisant mieux les risques environnementaux. L’enjeu est de prédire les processus d’écoulement multi échelles par un modèle simplement paramétrable. Une stratégie de simulations, qui améliore la fiabilité et les temps de calculs est mise au point dans cette thèse. Elle permet de simuler numériquement ou analytiquement la complexité d’un réservoir fracturé à grande échelle. Ces techniques dont l’intérêt est démontré sur un réservoir de roche mère trouvent des applications en géothermie ou dans la gestion des ressources en eau.
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Uniform controllability of discrete partial differential equations / Contrôlabilité uniforme des équations aux dérivées partielles disécrétisées

Nguyen, Thi Nhu Thuy 26 October 2012 (has links)
Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de contrôlabilité uniforme des semidiscrets approximations de systèmes paraboliques. Dans une première partie, nous nous intéressons à la minimisation de Lq-norme (q > 2) des contrôles semidiscrete pour l'équation parabolique. Notre objectif est de dépasser la limitation de [LT06] à propos de l'ordre ½ de l'absence de limites d'opérateur de contrôle. Plus précisément, nous montrons que la propriété d'observabilité uniforme est également titulaire dans Lq (q > 2), même dans le cas d'un degré d'absence de limites supérieure à 1/2. En outre, une procédure de minimisation pour calculer les commandes d'approximation est fournie. L'étude de l'optimalité Lq dans lapremière partie est dans un contexte général. Cependant, les inégalités d'observabilité discrets qui sont obtenus ne sont pas aussi précises que celles dérivées puis avec des estimations de Carleman. Dans une seconde partie, dans le contexte particulier de unidimensionnels-finis différences nous démontrons une inégalité de Carleman pour une version semi-discret de l'opérateur parabole @t − @x(c@x) qui permet pour dériver les inégalités d'observabilité qui sont beaucoup plus précis. On considère ici que dans le cas où le coefficient de diffusion a un saut qui donne une formulation du problème de transmission. Conséquence de cette inégalité de Carleman, on en déduit cohérentes nul contrôlabilité des résultats pour les classes de linéaires et semi-linéaire des équations paraboliques. / In this thesis, we study uniform controllability properties of semi-discrete approximations for parabolic systems. In a first part, we address the minimization of the Lq-norm (q > 2) of semidiscrete controls for parabolic equation. Our goal is to overcome the limitation of [LT06] about the order 1/2 of unboundedness of the control operator. Namely, we show that the uniform observability property also holds in Lq (q > 2) even in the case of a degree of unboundedness greater than 1/2. Moreover, a minimization procedure to compute the approximation controls is provided. The study of Lq optimality in the first part is in a general context. However, the discrete observability inequalities that are obtained are not so precise than the ones derived then with Carleman estimates. In a second part, in the discrete setting of one-dimensional finite-differences we prove a Carleman estimate for a semi discrete version of the parabolic operator @t − @x(c@x) which allows one to derive observability inequalities that are far more precise. Here we consider in case that the diffusion coefficient has a jump which yields a transmission problem formulation. Consequence of this Carleman estimate, we deduce consistent null-controllability results for classes of linear and semi-linear parabolic equations.
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Analyse de stabilité des systèmes à commutations singulièrement perturbés / Stability analysis of singularly perturbed switched systems

Hachemi, Fouad El 05 December 2012 (has links)
Un grand nombre de phénomènes nous entourant peuvent être décrit par des modèles hybrides, c'est-à-dire, mettant en jeu simultanément une dynamique continu et une dynamique discrète. Également, il n'est pas rare que ces dynamiques puissent évoluer dans des échelles de temps différentes. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'analyse de stabilité des systèmes à commutations singulièrement perturbés à temps continu. En présence de commutations, l'analyse de stabilité des systèmes singulièrement perturbés dite "classique" (séparation des échelles de temps) n'est plus valable. En nous plaçant en dimension deux et en considérant deux modes, nous donnons une caractérisation complète du comportement asymptotique de tels systèmes lorsque le paramètre de perturbation tend vers zéro. Ensuite, nous étudions la discrétisation des systèmes à commutations singulièrement perturbés, en portant un intérêt particulier aux méthodes de discrétisation permettant de préserver la stabilité et les fonctions de Lyapunov quadratiques communes / Many phenomena we encounter can be described by hybrid models, namely, consisting of one continuous dynamic and one discret dynamic at the same time. Moreover, these dynamics often evolves in different time scales. In this thesis, we deal with the stability analysis of singularly perturbed switched systems in continuous time. When we consider switchings, the "classical" approach (decoupling fast and slow dynamics) allowing to analyse stability of singularly perturbed systems doesn't hold anymore. Considering second order singularly perturbed switched systems woth two modes, we completely characterize de stability behavior of such systems when the perturbation parameter goes to zero. Then, we study the discretization of singularly perturbed switched systems. In particular, we focus on methods allowing to preserve stability and common quadratic Lyapunov functions
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Developpements d'outils d'aide au diagnostic en contexte incertain / Development of a diagnostic support tools in uncertain context

Mabrouk, Ahmed 13 September 2016 (has links)
Le diagnostic des scénarios d'accidents nucléaires graves représente un enjeu majeur pour la sûreté nucléaire et la gestion de crise. Le problème est complexe à cause de la complexité des phénomènes physiques et chimiques sous-jacents des accidents graves, la difficulté de la compréhension des différentes corrélations entre ces derniers, et de surcroît la rareté des base de données descriptives. Ainsi, ce travail de thèse vise à proposer un outil dédié à la modélisation et au diagnostic des scénarios d'accident à base de réseaux bayésiens. L'usage des réseaux bayésiens reposera sur l'apprentissage à partir de bases de données de calculs créés avec le logiciel de calcul d'accident grave ASTEC. Dans ce contexte, l'utilisation des réseaux bayésiens a été, tout au long de ce travail doctoral, sujet à de nombreuses difficultés, notamment l'apprentissage de ces derniers à partir des données accidentelles qui, suite à de nombreuses études menées, ne se sont avérées pas tout à fait pertinentes pour mener à bien cette tâche. Ces difficultés proviennent principalement du fait que les données utilisées sont d'un coté de nature continue et de l'autre côté reliées à la fois par des relations déterministes et probabilistes. Ces deux contraintes posent un sérieux problème pour les algorithmes de construction des réseaux bayésiens qui supposent à la fois que toutes les relations entre variables sont de nature probabiliste et l'ensemble des variables utilisées sont de nature factorielle (ou discrète). Concernant le premier point, nous avons proposé un nouvel algorithme d’apprentissage de structure utilisant un ensemble de nouvelles règles (dont l'efficacité a été prouvée théoriquement et expérimentalement). Concernant l’étape de discrétisation, nous avons proposé une approche multivariée, qui d’après une étude expérimentale détaillée, nous a permis de pallier les inconvénients des algorithmes de l'état de l'art tout en minimisant la perte de l’information lors de la transformation des données. / The diagnosis of severe nuclear accident scenarios represents a major challenge for nuclear safety and crisis management. The problem is complex and remains until now one of the main research topics due to the complexity of the physical and chemical phenomena underlying severe accidents, the difficulty in understanding the different correlations between them, and in addition the unavailability of efficient public datasets. Thus, the purpose of this thesis is to propose a dedicated tool for modeling and diagnosis of accident scenarios based on Bayesian networks. The learning process of the Bayesian networks is based on the use of databases created with the ASTEC severe accident software. It should be emphasized that the use of Bayesian networks in this context has faced many challenges, notably the learning process from the accidental data which, after numerous studies, has been doomed to be ineffective to address efficiently this task. These difficulties arise mainly because the used data contains on the one hand, many continuous variables and on the other hand a set of both deterministic and probabilistic relationships between variables. These two constraints present a serious problem for the learning algorithms of Bayesian networks because these latter assume that all relationships between variables are probabilistic and all the used variables in the datasets are factorial (or discrete). Concerning the first point, we proposed of a new structure learning algorithm based on the use of a set of new rules (whose effectiveness has been proven theoretically and experimentally). Regarding discretization step, we proposed a multivariate approach which, according to a detailed experimental study, has enabled us to overcome the drawbacks of these latter while minimizing the information loss during the data transformation.
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Modélisation mathématique et numérique de structures en présence de couplages linéaires multiphysiques / Mathematical and numerical modeling of structures with linear multiphysics couplings

Bonaldi, Francesco 06 July 2016 (has links)
Cette thèse est consacrée à l’enrichissement du modèle mathématique classique des structures intelligentes, en tenant compte des effets thermiques, et à son étude analytique et numérique. Il s'agit typiquement de structures se présentant sous forme de capteurs ou actionneurs, piézoélectriques et/ou magnétostrictifs, dont les propriétés dépendent de la température. On présente d'abord des résultats d'existence et unicité concernant deux problèmes posés sur un domaine tridimensionnel : le problème dynamique et le problème quasi-statique. A partir du problème quasi-statique on déduit un modèle bidimensionnel de plaque grâce à la méthode des développements asymptotiques en considérant quatre types différents de conditions aux limites, chacun visant à modéliser un comportement de type capteur et/ou actionneur. Chacun des quatre problèmes se découple en un problème membranaire et un problème de flexion. Ce dernier est un problème d'évolution qui tient compte d'un effet d'inertie de rotation. On focalise ensuite notre attention sur ce problème et on en présente une étude mathématique et numérique. L'analyse numérique est complétée avec des tests effectués sous l'environnement FreeFEM++. / This thesis is devoted to the enrichment of the usual mathematical model of smart structures, by taking into account thermal effects, and to its mathematical and numerical study. By the expression "smart structures" we refer to structures acting as sensors or actuators, whose properties depend on the temperature. We present at first the results of existence and uniqueness concerning two problems posed on a three-dimensional domain: the dynamic problem and the quasi-static problem. Based on the quasi-static problem, we infer a two-dimensional plate model by means of the asymptotic expansion method by considering four different sets of boundary conditions, each one featuring a sensor-like or an actuator-like behavior. Each of the four problems decouples into a membrane problem and a flexural problem. The latter is an evolution problem that accounts for a rotational inertia effect. Attention is then focused on this problem by presenting a mathematical and numerical study of it. Our numerical analysis is complemented with numerical tests carried out under the FreeFEM++ environment.

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