In this work we study several important properties of the 2-microlocal Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable integrability. Due to the richness of the weight sequence used to measure smoothness, this scale of function spaces incorporates a wide range of function spaces, of which we mention the spaces with variable smoothness. Within the existing characterizations of these spaces, the characterization via smooth atoms is undoubtedly one of the most used when it comes to obtain new results in varied directions. In this work we make use of such characterization to prove several embedding results, such as Sobolev, Franke and Jawerth embeddings, and also to study traces on hyperplanes. Despite the considerable benefits of resorting on the smooth atomic decomposition, there are still some limitations when one tries to use it in order to prove some specific results, such as pointwise multipliers and diffeomorphisms assertions. The non-smooth atomic characterization proved in this work overcome these problems, due to the weaker conditions of the (non-smooth) atoms. Moreover, it also allows us to give an intrinsic characterization of the 2-microlocal Besov and Triebel-Lizorkin spaces with variable integrability on the class of regular domains, in which connected bounded Lipschitz domains are included. / In dieser Arbeit untersuchen wir einige wichtige Eigenschaften der 2-microlokalen Besov und Triebel-Lizorkin Räume mit variabler Integrabilität. Weil die Glattheit hier mit einer reicher Gewichtsfolge gemessen wird, beinhaltet diese Skala von Funktionsräumen eine große Anzahl von Funktionsräumen, von denen wir die Räume mit variabler Glattheit erwähnen. Innerhalb der vorhandenen Charakterisierungen dieser Räume ist die Charakterisierung mit glatten Atomen zweifellos eine der am häufigsten verwendeten, um neue Ergebnisse in verschiedenen Richtungen zu erhalten. In dieser Arbeit verwenden wir eine solche Charakterisierung, um mehrere Einbettungsergebnisse zu bewiesen, wie Sobolev-Einbettungen und Einbettungen vom Franke-Jawerth Typ, und auch Spurresultate zu untersuchen. Trotz der beträchtlichen Vorteile des Rückgriffs auf die glatte Atomaren-Zerlegung gibt es immer noch einige Einschränkungen, wenn man versucht, sie zu verwenden, um einige spezifische Ergebnisse zu beweisen, wie beispielsweise punktweise Multiplikatoren und Diffeomorphismen-Assertionen. Die nichtglatte atomare Charakterisierung, die wir in dieser Arbeit beweisen, überwindet diese Probleme aufgrund der schwächeren Bedingungen von (nichtglatten) Atomen. Außerdem erlaubt es uns, eine Intrinsische Charakterisierung der 2-mikrolokalen Besov- und Triebel-Lizorkin-Räume mit variabler Integrabilität auf regulärer Gebieten zu geben.

Die vorliegende Arbeit behandelt die kollektive Dynamik identischer Klasse-I-anregbarer Elemente. Diese können im Rahmen der nichtlinearen Dynamik als Systeme nahe einer Sattel-Knoten-Bifurkation auf einem invarianten Kreis beschrieben werden. Der Fokus der Arbeit liegt auf dem Studium aktiver Rotatoren als Prototypen solcher Elemente. In Teil eins der Arbeit besprechen wir das klassische Modell abstoßend gekoppelter aktiver Rotatoren von Shinomoto und Kuramoto und generalisieren es indem wir höhere Fourier-Moden in der internen Dynamik der Rotatoren berücksichtigen. Wir besprechen außerdem die mathematischen Methoden die wir zur Untersuchung des Aktive-Rotatoren-Modells verwenden. In Teil zwei untersuchen wir Existenz und Stabilität periodischer Zwei-Cluster-Lösungen für generalisierte aktive Rotatoren und beweisen anschließend die Existenz eines Kontinuums periodischer Lösungen für eine Klasse Watanabe-Strogatz-integrabler Systeme zu denen insbesondere das klassische Aktive-Rotatoren-Modell gehört und zeigen dass (i) das Kontinuum eine normal-anziehende invariante Mannigfaltigkeit bildet und (ii) eine der auftretenden periodischen Lösungen Splay-State-Dynamik besitzt. Danach entwickeln wir mit Hilfe der Averaging-Methode eine Störungstheorie für solche Systeme. Mit dieser können wir Rückschlüsse auf die asymptotische Dynamik des generalisierten Aktive-Rotatoren-Modells ziehen. Als Hauptergebnis stellen wir fest dass sowohl periodische Zwei-Cluster-Lösungen als auch Splay States robuste Lösungen für das Aktive-Rotatoren-Modell darstellen. Wir untersuchen außerdem einen "Stabilitätstransfer" zwischen diesen Lösungen durch sogenannte Broken-Symmetry States. In Teil drei untersuchen wir Ensembles gekoppelter Morris-Lecar-Neuronen und stellen fest, dass deren asymptotische Dynamik der der aktiven Rotatoren vergleichbar ist was nahelegt dass die Ergebnisse aus Teil zwei ein qualitatives Bild für solch kompliziertere und realistischere Neuronenmodelle liefern. / We study the collective dynamics of class I excitable elements, which can be described within the theory of nonlinear dynamics as systems close to a saddle-node bifurcation on an invariant circle. The focus of the thesis lies on the study of active rotators as a prototype for such elements. In part one of the thesis, we motivate the classic model of repulsively coupled active rotators by Shinomoto and Kuramoto and generalize it by considering higher-order Fourier modes in the on-site dynamics of the rotators. We also discuss the mathematical methods which our work relies on, in particular the concept of Watanabe-Strogatz (WS) integrability which allows to describe systems of identical angular variables in terms of Möbius transformations. In part two, we investigate the existence and stability of periodic two-cluster states for generalized active rotators and prove the existence of a continuum of periodic orbits for a class of WS-integrable systems which includes, in particular, the classic active rotator model. We show that (i) this continuum constitutes a normally attracting invariant manifold and that (ii) one of the solutions yields splay state dynamics. We then develop a perturbation theory for such systems, based on the averaging method. By this approach, we can deduce the asymptotic dynamics of the generalized active rotator model. As a main result, we find that periodic two-cluster states and splay states are robust periodic solutions for systems of identical active rotators. We also investigate a 'transfer of stability' between these solutions by means of so-called broken-symmetry states. In part three, we study ensembles of higher-dimensional class I excitable elements in the form of Morris-Lecar neurons and find the asymptotic dynamics of such systems to be similar to those of active rotators, which suggests that our results from part two yield a suitable qualitative description for more complicated and realistic neural models.