In dieser Arbeit behandeln wir exakte, nicht-perturbative Ergebnisse, die mithilfe der superkonformen Index-Technik, in supersymmetrischen Eichtheorien mit vier Superladungen (d. h. N=1 Supersymmetrie in vier Dimensionen und N=2 in drei Dimensionen) gewonnen wurden. Wir benutzen die superkonforme Index-Technik um mehrere Dualitäts Vermutungen in supersymmetrischen Eichtheorien zu testen. Wir führen Tests der dreidimensionalen Spiegelsymmetrie und Seiberg ähnlicher Dualitäten durch. Das Ziel dieser Promotionsarbeit ist es moderne Fortschritte in nicht-perturbativen supersymmetrischen Eichtheorien und ihre Beziehung zu mathematischer Physik darzustellen. Im Speziellen diskutieren wir einige interessante Identitäten der Integrale, denen einfache und hypergeometrische Funktionen genügen und ihren Bezug zu supersymmetrischen Dualitäten in drei und vier Dimensionen. Methoden der exakten Berechnungen in supersymmertischen Eichtheorien sind auch auf integrierbare statistische Modelle anwendbar. Dies wird im letzten Kapitel der vorliegenden Arbeit behandelt. / In this thesis we discuss exact, non-perturbative results achieved using superconformal index technique in supersymmetric gauge theories with four supercharges (which is N = 1 supersymmetry in four dimensions and N = 2 supersymmetry in three). We use the superconformal index technique to test several duality conjectures for supersymmetric gauge theories. We perform tests of three-dimensional mirror symmetry and Seiberg-like dualities. The purpose of this thesis is to present recent progress in non-perturbative supersymmetric gauge theories in relation to mathematical physics. In particular, we discuss some interesting integral identities satisfied by basic and elliptic hypergeometric functions and their relation to supersymmetric dualities in three and four dimensions. Methods of exact computations in supersymmetric theories are also applicable to integrable statistical models, which we discuss in the last chapter of the thesis.