In dieser Arbeit geben wir eine Einführung in das Diskrete Äußere Kalkül (engl.: Discrete Exterior Calculus, kurz: DEC), das sich mit der Diskretisierung von Differentialformen und -operatoren beschäftigt. Wir beschränken uns hierbei auf zweidimensionalen orientierten kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten und zeigen auf, wie diese als wohlzentrierte Simplizialkomplexe zu approximieren sind. Dabei beschreiben wir die Implementierung der Methode und testen diese an Beispielen, wie Helmholtz-artige PDEs und die Berechnung von in- und extrinsischen Krümmungsgrößen.

Despite remarkable progress made in the past century, which has revolutionized our understanding of the universe, there are numerous open questions left in theoretical physics. Particularly important is the fact that the theories describing the fundamental interactions of nature are incompatible. Einstein's theory of general relative describes gravity as a dynamical spacetime, which is curved by matter and whose curvature determines the motion of matter. On the other hand we have quantum field theory, in form of the standard model of particle physics, where particles interact via the remaining interactions - electromagnetic, weak and strong interaction - on a flat, static spacetime without gravity. A theory of quantum gravity is hoped to cure this incompatibility by heuristically replacing classical spacetime by quantum spacetime'. Several approaches exist attempting to define such a theory with differing underlying premises and ideas, where it is not clear which is to be preferred. Yet a minimal requirement is the compatibility with the classical theory, they attempt to generalize. Interestingly many of these models rely on discrete structures in their definition or postulate discreteness of spacetime to be fundamental. Besides the direct advantages discretisations provide, e.g. permitting numerical simulations, they come with serious caveats requiring thorough investigation: In general discretisations break fundamental diffeomorphism symmetry of gravity and are generically not unique. Both complicates establishing the connection to the classical continuum theory. The main focus of this thesis lies in the investigation of this relation for spin foam models. This is done on different levels of the discretisation / triangulation, ranging from few simplices up to the continuum limit. In the regime of very few simplices we confirm and deepen the connection of spin foam models to discrete gravity. Moreover, we discuss dynamical, e.g. diffeomorphism invariance in the discrete, to fix the ambiguities of the models. In order to satisfy these conditions, the discrete models have to be improved in a renormalisation procedure, which also allows us to study their continuum dynamics. Applied to simplified spin foam models, we uncover a rich, non--trivial fixed point structure, which we summarize in a phase diagram. Inspired by these methods, we propose a method to consistently construct the continuum theory, which comes with a unique vacuum state. / Trotz bemerkenswerter Fortschritte im vergangenen Jahrhundert, die unser Verständnis des Universums revolutioniert haben, gibt es noch zahlreiche ungeklärte Fragen in der theoretischen Physik. Besondere Bedeutung kommt der Tatsache zu, dass die Theorien, welche die fundamentalen Wechselwirkungen der Natur beschreiben, inkompatibel sind. Nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine dynamische Raumzeit dargestellt, die von Materie gekrümmt wird und ihrerseits durch die Krümmung die Bewegung der Materie bestimmt. Dem gegenüber steht die Quantenfeldtheorie, die die verbliebenen Wechselwirkungen - elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung - im Standardmodell der Teilchenphysik beschreibt, in dem Teilchen auf einer statischen Raumzeit -- ohne Gravitation -- miteinander interagieren. Die Hoffnung ist, dass eine Theorie der Quantengravitation diese Inkompatibilität beheben kann, indem, heuristisch, die klassische Raumzeit durch eine 'Quantenraumzeit' ersetzt wird. Es gibt zahlreiche Ansätze eine solche Theorie zu definieren, die auf unterschiedlichen Prämissen und Ideen beruhen, wobei a priori nicht klar ist, welche zu bevorzugen sind. Eine Minimalanforderung an diese Theorien ist Kompatibilität mit der klassischen Theorie, die sie verallgemeinern sollen. Interessanterweise basieren zahlreiche Modelle in ihrer Definition auf Diskretisierungen oder postulieren eine fundamentale Diskretheit der Raumzeit. Neben den unmittelbaren Vorteilen, die Diskretisierungen bieten, z.B. das Ermöglichen numerischer Simulationen, gibt es auch gravierende Nachteile, die einer ausführlichen Untersuchung bedürfen: Im Allgemeinen brechen Diskretisierungen die fundamentale Diffeomorphismensymmetrie der Gravitation und sind in der Regel nicht eindeutig definiert. Beides erschwert die Wiederherstellung der Verbindung zur klassischen, kontinuierlichen Theorie. Das Hauptaugenmerk dieser Doktorarbeit liegt darin diese Verbindung insbesondere für Spin-Schaum-Modelle (spin foam models) zu untersuchen. Dies geschieht auf sehr verschiedenen Ebenen der Diskretisierung / Triangulierung, angefangen bei wenigen Simplizes bis hin zum Kontinuumslimes. Im Regime weniger Simplizes wird die bekannte Verbindung von Spin--Schaum--Modellen zu diskreter Gravitation bestätigt und vertieft. Außerdem diskutieren wir dynamische Prinzipien, z.B. Diffeomorphismeninvarianz im Diskreten, um die Ambiguitäten der Modelle zu fixieren. Um diese Bedingungen zu erfüllen, müssen die diskreten Modelle durch Renormierungsverfahren verbessert werden, wodurch wir auch ihre Kontinuumsdynamik untersuchen können. Angewandt auf vereinfachte Spin-Schaum-Modelle finden wir eine reichhaltige, nicht-triviale Fixpunkt-Struktur, die wir in einem Phasendiagramm zusammenfassen. Inspiriert von diesen Methoden schlagen wir zu guter Letzt eine konsistente Konstruktionsmethode für die Kontinuumstheorie vor, die einen eindeutigen Vakuumszustand definiert.

In dieser Arbeit geben wir eine Einführung in das Diskrete Äußere Kalkül (engl.: Discrete Exterior Calculus, kurz: DEC), das sich mit der Diskretisierung von Differentialformen und -operatoren beschäftigt. Wir beschränken uns hierbei auf zweidimensionalen orientierten kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten und zeigen auf, wie diese als wohlzentrierte Simplizialkomplexe zu approximieren sind. Dabei beschreiben wir die Implementierung der Methode und testen diese an Beispielen, wie Helmholtz-artige PDEs und die Berechnung von in- und extrinsischen Krümmungsgrößen.:0 Einführung 1 Diskrete Mannigfaltigkeiten 1.1 Primär- und Dualgitter 1.2 Kettenkomplexe 1.3 Gittergenerierung für Oberflächen 1.4 Implizit gegebene Oberflächen 2 Diskretes Äußeres Kalkül (DEC) 2.1 Diskrete Differentialformen 2.2 Äußere Ableitung 2.3 Hodge-Stern-Operator 2.4 Laplace-Operator 2.5 Primär-Dual-Gradient im Mittel 3 Anwendung: Oberflächenkrümmung 3.1 Weingartenabbildung 3.2 Krümmungsvektor 3.3 Gauß-Bonnet-Operator 3.4 Numerisches Experiment 4 Fazit und Ausblicke 5 Appendix 5.1 Häufige Bezeichner 5.2 Algorithmen 5.3 Krümmungen für impliziten Oberflächen 5.4 Ausgewählte Oberflächen Literaturverzeichnis

Itô’s Lemma Ausarbeitung im Rahmen des Seminars "Finanzmathematik", SS 2009 Die Arbeiten des japanischen Mathematikers Kiyosi Itô aus den 1940er Jahren bilden heute die Grundlage der Theorie stochastischer Integration und stochastischer Differentialgleichungen. Die Ausarbeitung beschäftigt sich mit Itô's Kalkül, in dem zunächst das Itô-Integral bezüglich diverser Integratoren bereitgestellt wird, um sich anschließend mit Itô's Lemma bzw. der Itô-Formel als grundlegendes Hilfsmittel stochastischer Integration zu widmen. Am Ende wird ein kurzer Ausblick auf das Black-Scholes-Modell für zeitstetige Finanzmärkte vollzogen. Grundlage für die Ausarbeitung ist das Buch "Risk-Neutral Valuation" von Nicholas H. Bingham und Rüdiger Kiesel.

We study thin films with residual strain by analyzing the limit of non-Euclidean elastic energy functionals as the material’s thickness tends to 0. We begin by extending prior results (Bhattacharya et al. in Arch Ration Mech Anal 228: 143–181, 2016); (Agostiniani et al. in ESAIM Control Opt Calculus Var 25: 24, 2019); (Lewicka and Lucic in Commun Pure Appl Math 73: 1880–1932, 2018); (Schmidt in J de Mathématiques Pures et Appliquées 88: 107–122, 2007) , to a wider class of films, whose prestrain depends on both the midplate and the transversal variables. The ansatz for our convergence result uses a specific type of wrinkling, which is built on exotic solutions to the Monge-Ampere equation, constructed via convex integration (Lewicka and Pakzad in Anal PDE 10: 695–727, 2017). We show that the expression for our limit has a natural interpretation in terms of the orthogonal projection of the residual strain onto a suitable subspace. We also show that some type of wrinkling phenomenon is necessary to match the lower bound of the limit in certain circumstances. These results all assume a prestrain of the same order as the thickness; we also discuss why it is natural to focus on that regime by considering what can happen when the prestrain is larger.

Wir befassen uns mit Gleichgewichtsproblemen, die bei dem Zusammentreffen von Märkten und Marktteilnehmern entstehen, zuerst in einem Modell mit konkurrierenden Märkten mit Feedback und asymmetrischer Information und dann mit strategisch interagierenden Händlern. Zudem untersuchen wir spezielle Richtungsableitung im Kontext des pfadweisen Malliavinkalküls. Im ersten Kapitel analysieren wir ein Prinzipal-Agenten-Problem mit einem monopolistischen Dealer, der mit einem Crossing-Netzwerk (CN) um den Handel mit Agenten mit privater Information konkurriert. Wir untersuchen die gewinnmaximierenden Angebote des Dealers für unterschiedliche Outside-Optionen und formulieren hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Lösung. In unserem Modell ist die Einführung des CN für die Agenten vorteilhaft und ein Gleichgewichtspreis existiert. Im zweiten Kapitel analysieren wir den Einfluss vergleichender Leistungsbewertung von Händlern auf die Preisfindung im Marktgleichgewicht. Ein Derivat soll einen markträumenden Preis bekommen unter Beachtung der strategisch handelnden Agenten. Das Risiko eines Händlers setzt sich aus dem eigenen Risikoprofil und dem Erfolg des Handelns relativ zum durchschnittlichen Handelserfolg aller zusammen und er wird durch eine BSDE gemessen. Wir bestimmen einen repräsentativen Agenten und zeigen so die Existenz und Eindeutigkeit eines Gleichgewichtspreises. Weiterhin können wir diesen charakterisieren und im Spezialfall von entropischen Risikomaßen konkret berechnen. In diesem Spezialfall führen wir auch eine Parameteranalyse durch. Das dritte Kapitel verknüpft klassischen und pfadweisen Malliavinkalkül. Wir definieren und analysieren pfadweise Richtungsableitungen mit Hilfe von Perturbationen mit Cameron-Martin-Funktionen, mit (Hölder-)stetigen Funktionen, mit unstetigen Funktionen und mit Maßen. Somit sind sowohl die klassische Malliavin-Ableitung als auch Dupires vertikale Ableitung als Spezialfälle enthalten. / We analyze equilibrium problems arising from interacting markets and market participants, first competing markets with feedback and asymmetric information, then strategically interacting traders; moreover we analyze a new notion of a pathwise directional derivative in the context of pathwise Malliavin calculus. The first chapter analyzes a principal-agent game in which a monopolistic profit-maximizing dealer competes with a crossing network (CN) for trading with privately informed agents. We analyze the structure of the dealer’s offered pricing schedules for different outside options. We give sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to the dealer’s problem and show that in our setting the introduction of the CN is beneficial for the agents. Additionally, we discuss existence and uniqueness of an equilibrium price for the feedback between dealer and CN. In the second chapter we analyze the impact of performance concerns on a problem of equilibrium pricing. A derivative is priced such that the market clears, given strategically behaving agents. Their risk stems from a risky position in the future and the relative trading gains compared to all other agents. The risk measure of each agent is specified by a BSDE. In spite of the strategic interaction, we are able to apply a representative agent approach to obtain existence and uniqueness of the equilibrium market price of external risk. In the special case of entropic risk measures, we perform a parameter analysis. The third chapter provides a link between classical and pathwise Malliavin calculus. We define and analyze pathwise directional derivatives via perturbations with Cameron-Martin functions, (Hölder-)continuous functions, discontinuous functions and measures, thereby including both the traditional Malliavin derivative and the vertical derivative from Dupire’s work.

The NP-complete k-SAT problem - decide wether a given formula is satisfiable - is of fundamental importance in theoretical computer science. In this dissertation we study random 4-SAT formulas with > 116 n^2 clauses. These formulas are almost surly unsatisfiable. Here we show the existence of a polynomial time algorithm that certifies the unsatisfiability. Therefore we study the discrepancy of hypergraphs and multigraphs. We also combine spectral techniques with approximation algorithms to achieve the new result. Our new algorithm is adaptable for Not-All-Equal-4-SAT and the 2-colouring of 4-uniform hypergraphs. We also extends the Hajos construction of non k-colourable graphs to non k-colourable uniform hypergraphs. / Das NP-vollständige Problem k-SAT ist von zentraler Bedeutung in der theoretischen Informatik. In der Dissertation werden zufällige 4-SAT-Formeln mit > n^2 vielen Klauseln studiert. Diese Formeln sind mit hoher Wahrscheinlichkeit unerfüllbar. Hier wird erstmalig die Existenz eines Algorithmus gezeigt, der diese Unerfüllbarkeit effizient verifiziert. Hierfür wird die geringe Diskrepanz von Hypergrpahen und Multigraphen betrachtet. Der Schlüssel zu diesem Algorithmus liegt in der Kombination von spektralen Techniken mit Approximationsalgorithmen der klassischen kombinatorischen Optimierung. Der vorgestellte Algorithmus kann auf den effizienten Nachweis der Unerfüllbarkeit von Not-All-Equal-4-SAT-Formeln und die Nicht-2-Färbbarkeit von 4-uniformen Hypergraphen erweitert werden. Es wird ebenfalls eine Erweiterung der Hajos-Konstruktion nicht k-färbbarer Graphen auf nicht k-färbbare uniforme Hypergraphen angegeben.

Der vorliegende Band der wissenschaftlichen Schriftenreihe Eingebettete Selbstorganisierende Systeme widmet sich dem Entwurf von verteilten Eingebetteten Systemen. Einsatzgebiete solcher Systeme sind unter anderem Missions- und Steuerungssysteme von Flugzeugen (Aerospace-Anwendungen) und , mit zunehmender Vernetzung, der Automotive Bereich. Hier gilt es höchste Sicherheitsstandards einzuhalten und maximale Verfügbarkeit zu garantieren. In dieser Arbeit wird diese Problematik frühzeitig im Entwurfsprozess, in der Spezifikationsphase, aufgegriffen. Es werden Implementierungsvarianten wie Hardware und Software sowie Systemkomponenten wie Berechungskomponenten und Kommunikationskomponenten unterschieden. Für die übergreifende Spezifikation wird auf Grundlage des π-Kalküls ein formales Framework, das eine einheitliche Modellierung von Teilsystemen in den unterschiedlichen Entwurfsphasen unterstützt, entwickelt. Besonderer Schwerpunkt der Untersuchungen von Herrn Förster liegt auf Erweiterungen von Systemspezifikationen. So wird es möglich, Teilkomponenten zu verändern oder zu substituieren und die Gesamtspezifikation auf Korrektheit und Konsistenz automatisiert zu überprüfen. / This volume of the scientific series Eingebettete, selbstorganisierende Systeme (Embedded Self-Organized Systems) gives an outline of the design of distributed embedded systems. Fields of application for such systems are, amongst others, mission systems and control systems of airplanes (aeronautic applications) and - with increasing level of integration - also the automotive area. In this area it is essential to meet highest safety standards and to ensure the maximum of availability. Mr Förster addresses these problems in an early state of the design process, namely the specification. Implementation versions like hardware and software are differentiated as well as system components like computation components and communication components. For a general specification Mr Förster develops a formal framework based on the pi-calculus, which supports a standardised modelling of modules in different design steps. The main focus of Mr Förster's research is the extension of system specifications. Therefore it will be possible to modify or substitute modules and to check automatically the correctness and consistency of the total specification. Mr Förster can prove the correctness of his approach and demonstrates impressively the complexity by clearly defined extension relations and formally verifiable embedding in the pi-calculus formalism. A detailed example shows the practical relevance of this research. I am glad that Mr Förster publishes his important research in this scientific series. So I hope you will enjoy reading it and benefit from it.

Der vierte Band der wissenschaftlichen Schriftenreihe Eingebettete Selbstorganisierende Systeme widmet sich der Entwicklung von Fehlermodellen für eingebettete, verteilte Multi – Prozessorsysteme. Diese werden zu einem hierarchischen Netzwerk zur Steuerung von Flugzeugen (Avionik) verbunden und mehr und mehr im Automotive Bereich eingesetzt. Hier gilt es höchste Sicherheitsstandards einzuhalten und maximale Verfügbarkeit zu garantieren. Herr Fischer integriert die Modellierung von möglichen Fehlern in den Entwurfsprozess. Auf Grundlage des π-Kalküls entwickelt Herr Fischer ein formales Fehlermodell, das eine einheitliche Modellierung von Fehlerfällen unterstützt. Dabei werden interessante Bezüge zur Bi-Simulation sowie zu Methoden des Modell Checkings hergestellt. Die theoretischen Ergebnisse werden an einem komplexen Beispiel anschaulich illustriert. So kann der Leser die Mächtigkeit des entwickelten Ansatzes nachvollziehen und wird motiviert, die entwickelte Methodik auf weitere Anwendungsfälle zu übertragen. / The 4th volume of the scientific series Eingebettete, selbstorganisierende Systeme (Embedded Self-Organized Systems) outlines the design of fault models for embedded distributed multi processor systems. These multi processor systems will be connected to a hierarchical network to control airplanes (avionics) and also be used more and more in the automotive area. Here it is essential to meet highest safety standards and to ensure the maximum of availability. Mr Fischer integrates the modelling of potential faults into the design process. Based on the pi-calculus, he develops a formal framework, which supports a standardised modelling of faults. Thereby, interesting connections to the Bi-Simulation as well as to methods of the Model checking are established. The theoretical results are depicted on a complex example. So it is possible for the reader to understand the complexity of this approach and is motivated to use the developed methodology in other applications. I am glad that Mr Fischer publishes his important research in this scientific series.

Itô’s Lemma Ausarbeitung im Rahmen des Seminars "Finanzmathematik", SS 2009 Die Arbeiten des japanischen Mathematikers Kiyosi Itô aus den 1940er Jahren bilden heute die Grundlage der Theorie stochastischer Integration und stochastischer Differentialgleichungen. Die Ausarbeitung beschäftigt sich mit Itô's Kalkül, in dem zunächst das Itô-Integral bezüglich diverser Integratoren bereitgestellt wird, um sich anschließend mit Itô's Lemma bzw. der Itô-Formel als grundlegendes Hilfsmittel stochastischer Integration zu widmen. Am Ende wird ein kurzer Ausblick auf das Black-Scholes-Modell für zeitstetige Finanzmärkte vollzogen. Grundlage für die Ausarbeitung ist das Buch "Risk-Neutral Valuation" von Nicholas H. Bingham und Rüdiger Kiesel.