Die Arbeit untersucht lokale Geometrien, die Twistorspinoren zulassen auf pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten beliebiger Signatur. Hierzu entwickeln wir die benötigten Methoden, nämlich das konforme Traktorkalkül, welches eine konform-invariante Beschreibung von Twistorspinoren als parallele Objekte ermöglicht, weiter. In diesem Zusammenhang ist unser erstes zentrales Resultat ein Klassifikationssatz für konforme Strukturen, deren Holonomiegruppen einen total ausgearteten Unterraum beliebiger Dimension invariant lassen. Hierauf aufbauend können wir einen partiellen Klassifikationssatz für konforme Strukturen mit Twistorspinoren beweisen. Weiterhin studieren wir die Nullstellenmenge eines Twistorspinors unter Nutzung der Theorie der Orbitzerlegungen für parabolische Geometrien. Wir können die lokale geometrische Struktur der Nullstellenmenge vollständig beschreiben und zeigen, dass lokal jeder Twistorspinor mit Nullstelle konform äquivalent zu einem parallelem Spinor ist. Eine Anwendung dieser Resultate auf niedrig-dimensionale Split-Signaturen führt zu einer vollständigen geometrischen Beschreibung von Mannigfaltigkeiten mit nicht-generischen Twistorspinoren in den Signaturen (3,2) und (3,3) durch parallele Spinoren, was die schon bekannte Analyse des generischen Falls komplementiert. Darüberhinaus wenden wir das Traktorkalkül an, um einer konformen Spin- Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise eine konforme Superalgebra zuzuordnen. Dieser Zugang führt zu verschiedenen Resultaten, die algebraische Eigenschaften dieser Superalgebra mit speziellen Geometrien auf der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit in Verbindung bringen. Weiterhin erhält man so neue Konstruktionsprinzipien für Twistorspinoren und konforme Killingformen. Zuletzt führen wir den Begriff der konformen Spin-c-Geometrie ein. Unter anderem liefern spezielle Spin-c-Twistorspinoren eine neue Charakterisierung von Fefferman-Räumen. / The present thesis studies local geometries admitting twistor spinors on pseudo- Riemannian manifolds of arbitrary signature. To this end, we refine and extend the necessary machinery of first prolongation of conformal structures and conformal tractor calculus which allows a conformally-invariant description of twistor spinors as parallel objects. In this context, our first main theorem is a classification result for conformal geometries whose conformal holonomy group admits a totally degenerate invariant subspace of arbitrary dimension. Based on this we are able to prove a partial classification result for conformal structures admitting twistor spinors. Moreover, we study the zero set of a twistor spinor using the theory of curved orbit decompositions for parabolic geometries. We can completely describe the local geometric structure of the zero set and show that locally every twistor spinor with zero is equivalent to a parallel spinor off the zero set. An application of these results in low-dimensional split-signatures leads to a complete geometric description of manifolds admitting non-generic twistor spinors in signatures (3,2) and (3,3) in terms of parallel spinors which complements the well-known analysis of the generic case. Moreover, we apply tractor calculus for the construction of a conformal superalgebra naturally associated to a conformal spin structure. This approach leads to various results linking algebraic properties of the superalgebra to special geometric structures on the underlying manifold. It also exhibits new construction principles for twistor spinors and conformal Killing forms. Finally, we introduce and elaborate on the notion of conformal Spin-c-geometry. Among other aspects, this gives rise to a new characterization of Fefferman spaces in terms of distinguished Spin-c-twistor spinors.